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1.3.2“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)1.3.2“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)1一般地,對于nN*有二項定理:一、新課引入二項展開式中的二項式系數(shù)指的是那些?共有多少個?下面我們來研究二項式系數(shù)有些什么性質(zhì)?二項式系數(shù)有什么特點?一般地,對于nN*有二項定理:一、新課引入二項展開2展開式中的二項式系數(shù),如下表所示:
11
121
1331
1464115101051
………………二項式系數(shù)展開式中的二項式系數(shù),如下表所示:11123(a+b)1………11(a+b)2…121(a+b)3………………1331(a+b)4……………14641(a+b)5……………15101051(a+b)6…………1615201561………遞推法二項式系數(shù)的特點(a+b)1………14這個表稱為楊輝三角。在《詳解九章算法》一書里,還說明了表里“一”以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和,楊輝指出這個方法出于《釋鎖》算書,且我國北宋數(shù)學(xué)家賈憲(約公元11世紀(jì))已經(jīng)用過它。在歐洲,這個表被認(rèn)為是法國數(shù)學(xué)家帕斯卡(BlaisePascal,1623年—1662年)首先發(fā)現(xiàn)的,他們把這個表叫做帕斯卡三角。這個表稱為楊輝三角。在《詳解九章算法》一書里,還說5二項式系數(shù)的性質(zhì)
展開式的二項式系數(shù)依次是:
從函數(shù)角度看,可看成是以r為自變量的函數(shù),其定義域是:
當(dāng)時,其圖象是右圖中的7個孤立點.二項式系數(shù)的性質(zhì)展開式的二項式系數(shù)依次6二項式系數(shù)的性質(zhì)2.二項式系數(shù)的性質(zhì)
(1)對稱性
與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等.
這一性質(zhì)可直接由公式得到.圖象的對稱軸:二項式系數(shù)的性質(zhì)2.二項式系數(shù)的性質(zhì)(1)對稱性7二項式系數(shù)的性質(zhì)(2)增減性與最大值
由于:所以相對于的增減情況由決定.
二項式系數(shù)的性質(zhì)(2)增減性與最大值由于:所以相對于8二項式系數(shù)的性質(zhì)(2)增減性與最大值
由:
二項式系數(shù)是逐漸增大的,由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的,且中間項取得最大值。
可知,當(dāng)時,二項式系數(shù)的性質(zhì)(2)增減性與最大值由:二項式系數(shù)9二項式系數(shù)的性質(zhì)(2)增減性與最大值
當(dāng)n為偶數(shù)時,中間一項的二項式系數(shù)
取得最大值;
當(dāng)n為奇數(shù)時,中間兩項的二項式系數(shù)、相等,且同時取得最大值。二項式系數(shù)的性質(zhì)(2)增減性與最大值當(dāng)n為偶數(shù)時,中間10(3)各二項式系數(shù)的和
二項式系數(shù)的性質(zhì)在二項式定理中,令,則:
這就是說,的展開式的各二項式系數(shù)的和等于:同時由于,上式還可以寫成:這是組合總數(shù)公式.
(3)各二項式系數(shù)的和二項式系數(shù)的性質(zhì)在二項式定理中,令11
一般地,展開式的二項式系數(shù)有如下性質(zhì):(1)(2)(3)當(dāng)時,(4)當(dāng)時,一般地,展開式的二項式系數(shù)(112初步訓(xùn)練、選擇填空:1.(1﹣x)13的展開式中系數(shù)最小的項是()(A)第六項(B)第七項(C)第八項(D)第九項2.一串裝飾彩燈由燈泡串聯(lián)而成,每串有20個燈泡,只要有一個燈泡壞了,整串燈泡就不亮,則因燈泡損壞致使一串彩燈不亮的可能性的種數(shù)為()(A)20(B)219(C)220(D)220-1CD4或5初步訓(xùn)練、選擇填空:1.(1﹣x)13的展開式中系數(shù)13課堂練習(xí):1)已知,那么=
;2)的展開式中,二項式系數(shù)的最大值是
;3)若的展開式中的第十項和第十一項的二項式系數(shù)最大,則n=
;課堂練習(xí):14
例1
證明在的展開式中,奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和.例1證明在的展開式中,奇數(shù)項的二項式154項的二項式系數(shù)是倒數(shù)第2項的二項式系數(shù)的7倍,求展開式中x的一次項.例2
已知的展開式中,第4項的二項式系數(shù)是倒數(shù)第2項的二項式系數(shù)的7倍,求展開式中x16
例3:的展開式中第6項與第7項的系數(shù)相等,求展開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項。變式引申:1、的展開式中,系數(shù)絕對值最大的項是()A.第4項B.第4、5項C.第5項D.第3、4項2、若展開式中的第6項的系數(shù)最大,則不含x的項等于()A.210B.120C.461D.416例3:的展17例4、若展開式中前三項系數(shù)成等差
數(shù)列,求(1)展開式中含x的一次冪的項;(2)展開式中所有x的有理項;(3)展開式中系數(shù)最大的項。例4、若181、已知的展開式中x3的系數(shù)為,則常數(shù)a的值是_______2、在(1-x3)(1+x)10的展開式中x5的系數(shù)是()A.-297B.-252C.297D.2073、(x+y+z)9中含x4y2z3的項的系數(shù)是__________課堂練習(xí)4.已知(1+)n展開式中含x-2的項的系數(shù)為12,求n.5.已知(10+xlgx)5的展開式中第4項為106,求x的值.1、已知19作業(yè)作業(yè)本1.3.2(1)(1)二項式系數(shù)的三個性質(zhì)。(2)數(shù)學(xué)思想:函數(shù)思想。a單調(diào)性;b圖象;c最值。(3)數(shù)學(xué)方法:賦值法、遞推法研究題:求二項式(x+2)7展開式中系數(shù)最大的項,試歸納出求形如(ax+b)n
展開式中系數(shù)最大項的方法或步驟。小結(jié)作業(yè)作業(yè)本1.3.2(1)(1)二項
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