廈門理工學(xué)院理論力學(xué)第五章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)概述課件

第二篇運(yùn)動(dòng)學(xué)研究物體運(yùn)動(dòng)的幾何性質(zhì)第二篇運(yùn)動(dòng)學(xué)研究物體運(yùn)動(dòng)的幾何性質(zhì)點(diǎn)和剛體運(yùn)動(dòng)的描述（運(yùn)動(dòng)方程）點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特征量（軌跡、速度和加速度）剛體運(yùn)動(dòng)特征量（角速度和角加速度）第二篇運(yùn)動(dòng)學(xué)1、運(yùn)動(dòng)學(xué)的任務(wù)2、明確兩個(gè)基本概念物體的空間位置必須說(shuō)明它是對(duì)哪個(gè)物體而言的運(yùn)動(dòng)學(xué)中涉及的時(shí)間概念有兩個(gè)：瞬時(shí)和時(shí)間間隔點(diǎn)和剛體運(yùn)動(dòng)的描述（運(yùn)動(dòng)方程）第二篇運(yùn)動(dòng)學(xué)1、運(yùn)動(dòng)學(xué)的任能選用合適的方法描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和剛體的運(yùn)動(dòng)，能熟練計(jì)算速度和加速度，角速度和角加速度；能正確分析剛體的平面運(yùn)動(dòng)，能熟練確定速度瞬值，計(jì)算剛體角速度，熟練選用不同的方法求平面圖形上各點(diǎn)速度和角速度。正確選擇動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系，應(yīng)用合成運(yùn)動(dòng)的方法求點(diǎn)的速度和角速度。3、要求4、難點(diǎn)和重點(diǎn)點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng)第二篇運(yùn)動(dòng)學(xué)能選用合適的方法描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和剛體的運(yùn)動(dòng)，能熟練計(jì)算速度和加（1）參考體:要確定某物體在空間的位置，必須選取另一不變形的物體作為參考體。如:書和黑板擦放在講臺(tái)上，書在運(yùn)動(dòng)，選黑板擦為“參考體”。（2）參考坐標(biāo)系:如將坐標(biāo)系固連于參考體上，就構(gòu)成參考坐標(biāo)系。若某一物體相對(duì)參考坐標(biāo)系是靜體，則對(duì)于此坐標(biāo)系來(lái)說(shuō)，物體靜止；反之運(yùn)動(dòng)。（3）靜坐標(biāo)系：一般固連于地球上的坐標(biāo)系為參考坐標(biāo)系，通常稱為靜坐標(biāo)系。5、運(yùn)動(dòng)學(xué)基本概念第二篇運(yùn)動(dòng)學(xué)（1）參考體:要確定某物體在空間的位置，必須選取另一不變形（4）瞬時(shí)：對(duì)應(yīng)于某一事件發(fā)生或終止的時(shí)間。如上課開始時(shí)。（5）時(shí)間間隔:

兩個(gè)瞬時(shí)之間的時(shí)間數(shù)。如得開始與結(jié)束之間的時(shí)間數(shù)45分鐘。（6）軌跡:

點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路線。直線運(yùn)動(dòng),曲線運(yùn)動(dòng)。第二篇運(yùn)動(dòng)學(xué)（4）瞬時(shí)：對(duì)應(yīng)于某一事件發(fā)生或終止的時(shí)間。如上課開始時(shí)。第§5－1矢量法§5－2直角坐標(biāo)法§5－3自然法第五章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)第二篇運(yùn)動(dòng)學(xué)§5－1矢量法第五章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)第二篇運(yùn)動(dòng)學(xué)1.運(yùn)動(dòng)方程

選取參考系上某確定點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，自點(diǎn)O向動(dòng)點(diǎn)M作矢量r，稱為點(diǎn)M相對(duì)原點(diǎn)O的位置矢量，簡(jiǎn)稱矢徑。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，矢徑r隨時(shí)間而變化，并且是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)，即以矢量表示的點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程第一節(jié)矢量法MrO1.運(yùn)動(dòng)方程選取參考系上某確定點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，自點(diǎn)2.速度動(dòng)點(diǎn)的速度矢等于它的矢徑對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。

動(dòng)點(diǎn)的速度矢沿著矢徑的矢端曲線的切線，即沿動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的切線，并與此點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向一致。AMBOr(t)r(t+Δt)M'vv*Δr第一節(jié)矢量法2.速度動(dòng)點(diǎn)的速度矢等于它的矢徑對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。動(dòng)點(diǎn)3.加速度

點(diǎn)的速度矢對(duì)時(shí)間的變化率稱為加速度。點(diǎn)的加速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的變化。點(diǎn)的加速度等于它的速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于它的矢徑對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。有時(shí)為了方便，在字母上方加“.”表示該量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，加“..”表示該量對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。第一節(jié)矢量法3.加速度點(diǎn)的速度矢對(duì)時(shí)間的變化率稱為加速度。點(diǎn)的加速度如在空間任意取一點(diǎn)O，把動(dòng)點(diǎn)M在連續(xù)不同瞬時(shí)的速度矢v0,v1,v2，…等都平行地移到點(diǎn)O，連接各矢量的端點(diǎn)M1，M2，M3，…，就構(gòu)成了矢量v端點(diǎn)的連續(xù)曲線，稱為速度矢端曲線，如圖所示。速度矢端曲線OM1M2M3v0v1v2a加速度的方向確定第一節(jié)矢量法如在空間任意取一點(diǎn)O，把動(dòng)點(diǎn)M在連續(xù)不同瞬時(shí)的這組方程叫做用直角坐標(biāo)表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。如以矢徑r的起點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，則矢徑r可表示為：MrOkijyyxxzz第二節(jié)直角坐標(biāo)法這組方程叫做用直角坐標(biāo)表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。如以矢徑r的起

速度在各坐標(biāo)軸上的投影等于動(dòng)點(diǎn)的各對(duì)應(yīng)坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。1、速度若已知速度的投影，則速度的大小為其方向余弦為第二節(jié)直角坐標(biāo)法速度在各坐標(biāo)軸上的投影等于動(dòng)點(diǎn)的各對(duì)應(yīng)坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)

加速度在各坐標(biāo)軸上的投影等于動(dòng)點(diǎn)的各對(duì)應(yīng)坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。2、加速度若已知加速度的投影，則加速度的大小為其方向余弦為第二節(jié)直角坐標(biāo)法加速度在各坐標(biāo)軸上的投影等于動(dòng)點(diǎn)的各對(duì)應(yīng)坐標(biāo)對(duì)例1下圖為偏心驅(qū)動(dòng)油泵中的曲柄導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)。設(shè)曲柄OA

長(zhǎng)為r

，自水平位置開始以勻角速度w

轉(zhuǎn)動(dòng)，即j

=wt，滑槽K-K與導(dǎo)桿B-B制成一體。曲柄端點(diǎn)A通過(guò)滑塊在滑槽K-K中滑動(dòng)，因而曲柄帶動(dòng)導(dǎo)桿B-B作上下直線運(yùn)動(dòng)。試求導(dǎo)桿的運(yùn)動(dòng)方程，速度和加速度。BABOKMKwxjx第二節(jié)直角坐標(biāo)法例1下圖為偏心驅(qū)動(dòng)油泵中的曲柄導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)。設(shè)曲柄OA長(zhǎng)為解：取M點(diǎn)的直線軌跡為x

軸，曲柄的轉(zhuǎn)動(dòng)中心O為坐標(biāo)圓點(diǎn)。M點(diǎn)的坐標(biāo)為：BABOKMKwxjx將j=wt帶入上式，得M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程：將上式對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)得：第二節(jié)直角坐標(biāo)法解：取M點(diǎn)的直線軌跡為x軸，曲柄的轉(zhuǎn)動(dòng)中心O為坐標(biāo)圓點(diǎn)。例2橢圓規(guī)的曲柄OC可繞定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，其端點(diǎn)C與規(guī)尺AB的中點(diǎn)以鏈相連接，而規(guī)尺A、B兩端分別在相互垂直的滑槽中運(yùn)動(dòng)，如圖所示，已知：OC=AC=BC=l，MC=a

，

j=wt，求規(guī)尺上點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程，運(yùn)動(dòng)軌跡，速度和加速度。第二節(jié)直角坐標(biāo)法例2橢圓規(guī)的曲柄OC可繞定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，其端點(diǎn)C與規(guī)尺AB的如果點(diǎn)沿著已知的軌跡運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程可用點(diǎn)在已知軌跡上所走過(guò)的弧長(zhǎng)隨時(shí)間變化的規(guī)律描述。運(yùn)動(dòng)方程：第三節(jié)自然法1、弧坐標(biāo)在軌跡上任選一點(diǎn)O為參考點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)O的某一側(cè)為正向，動(dòng)點(diǎn)P在軌跡上的位置由弧長(zhǎng)s確定，視弧長(zhǎng)s為代數(shù)量，稱它為動(dòng)點(diǎn)P在軌跡上的弧坐標(biāo)。如果點(diǎn)沿著已知的軌跡運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程可用點(diǎn)在已知軌跡上所t1t'1tM1在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線上取極為接近的兩點(diǎn)M和M1，這兩點(diǎn)切線的單位矢量分別為t和t1，其指向與弧坐標(biāo)正向一致。將t1平移到點(diǎn)M，則t

和t1’決定一平面。令M無(wú)限趨近點(diǎn)M1，則此平面趨近于某一極限位置，此極限平面稱為曲線在點(diǎn)M的密切面。過(guò)點(diǎn)M并與切線垂直的平面稱為法平面，法平面與密切面的交線稱主法線。令主法線的單位矢量為n，指向曲線內(nèi)凹一側(cè)。過(guò)點(diǎn)M且垂直于切線及主法線的直線稱副法線，其單位矢量為b，指向與t、n構(gòu)成右手系。第三節(jié)自然法2、自然軸系

t1t'1tM1在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線上取極為接近的兩點(diǎn)M和M1即以點(diǎn)M為原點(diǎn)，以切線、主法線和副法線為坐標(biāo)軸組成的正交坐標(biāo)系稱為曲線在點(diǎn)M的自然坐標(biāo)系，這三個(gè)軸稱為自然軸系。且三個(gè)單位矢量滿足右手法則，即Mnbt第三節(jié)自然法即以點(diǎn)M為原點(diǎn)，以切線、主法線和副法線為坐標(biāo)

曲線切線的轉(zhuǎn)角對(duì)弧長(zhǎng)一階導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值稱為曲線在M點(diǎn)的曲率。曲率的倒數(shù)稱為M點(diǎn)的曲率半徑，曲率半徑用ρ表示。3、曲率MM'△s△jtt'第三節(jié)自然法曲線切線的轉(zhuǎn)角對(duì)弧長(zhǎng)一階導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值稱為曲線在M點(diǎn)的曲率OMM't"t't△j△s△t第三節(jié)自然法當(dāng)Δt→0，Δφ

→0，Δt與t垂直，其單位向量用n表示OMM't"t't△j△s△t第三節(jié)自然法當(dāng)Δt→0，P′Po第三節(jié)自然法4、點(diǎn)的速度

P′Po第三節(jié)自然法4、點(diǎn)的速度5、點(diǎn)的切向加速度和法向加速度

由于所以第三節(jié)自然法5、點(diǎn)的切向加速度和法向加速度由于所以第三節(jié)自然法上式表明加速度矢量a是由兩個(gè)分矢量組成：分矢量at的方向永遠(yuǎn)沿軌跡的切線方向，稱為切向加速度，它表明速度代數(shù)值（大?。╇S時(shí)間的變化率；分矢量an的方向永遠(yuǎn)沿主法線的方向，稱為法向加速度，它表明速度方向隨時(shí)間的變化率。第三節(jié)自然法注：判別點(diǎn)作加速運(yùn)動(dòng)還是減速運(yùn)動(dòng)，是用at，而不是用a，當(dāng)v與at同號(hào)時(shí)是加速運(yùn)動(dòng)，反之做減速運(yùn)動(dòng)。（p152思考題5-3）上式表明加速度矢量a是由兩個(gè)分矢量組成：分矢量at的方向永遠(yuǎn)全加速度為at和an的矢量和全加速度的大小和方向由下列二式?jīng)Q定：大?。悍较颍旱谌?jié)自然法全加速度為at和an的矢量和全加速度的大小和方向由下列二式?jīng)Q思考題1、點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的位移、路程和弧坐標(biāo)是否相同？答案：不相同（1）位移是矢量，路程是純正量，弧坐標(biāo)是代數(shù)量；（2）路程和弧坐標(biāo)的大小相同，位移的大小與路程、弧坐標(biāo)的大小不相同。第三節(jié)自然法思考題1、點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的位移、路程和弧坐標(biāo)答案：不相同2、點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，下述說(shuō)法是否正確：（1）若切向加速度為正，則點(diǎn)作加速運(yùn)動(dòng)（2）若切向加速度與速度符號(hào)相同，則點(diǎn)作加速運(yùn)動(dòng)（3）若切向加速度為零，則速度為常矢量。第三節(jié)自然法2、點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，下述說(shuō)法是否正確：第三節(jié)自然法

3、當(dāng)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的加速度a是恒矢量，問(wèn)點(diǎn)是否作勻變速運(yùn)動(dòng)？第三節(jié)自然法3、當(dāng)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的加速度a是恒矢量，問(wèn)點(diǎn)是否4、判斷下列情況是否存在？答案：

A、B存在，

C、D、E不存在。第三節(jié)自然法4、判斷下列情況是否存在？答案：第三節(jié)自然法5、下述各種情況下，動(dòng)點(diǎn)的全加速度、切向加速度和法向加速度三個(gè)矢量之間有何關(guān)系？

(1)點(diǎn)沿曲線作勻速運(yùn)動(dòng)

(2)點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng)，在該瞬時(shí)其速度為零

(3)點(diǎn)沿直線作變速運(yùn)動(dòng)

(4)點(diǎn)沿曲線作變速運(yùn)動(dòng)第三節(jié)自然法5、下述各種情況下，動(dòng)點(diǎn)的全加速度、切向加速度和法向加速度三例3下圖為料斗提升機(jī)示意圖。料斗通過(guò)鋼絲繩由繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的卷筒提升。已知：卷筒的半徑為R＝16cm，料斗沿鉛垂提升的運(yùn)動(dòng)方程為y＝2t2，y以cm記，t以s計(jì)。求卷筒邊緣一點(diǎn)M在t＝4s時(shí)的速度和加速度。解：此時(shí)M點(diǎn)的切向加速度為：v＝4×4＝16cm/s當(dāng)t=4s時(shí)速度大小為：（方向？）OMRM'A0AM0y第三節(jié)自然法例3下圖為料斗提升機(jī)示意圖。料斗通過(guò)鋼絲繩由繞水平軸O轉(zhuǎn)M點(diǎn)的法向加速度為：M點(diǎn)的全加速度為：第三節(jié)自然法M點(diǎn)的法向加速度為：M點(diǎn)的全加速度為：第三節(jié)自然法例4桿AB繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)套在半徑為R的固定大圓環(huán)上的小護(hù)環(huán)M運(yùn)動(dòng)，已知φ＝wt(w為常數(shù))。求小環(huán)M的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。則即為小環(huán)M的運(yùn)動(dòng)方程。第三節(jié)自然法例4桿AB繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)套在半徑為R的固定大圓環(huán)上故M點(diǎn)的速度大小為其方向余弦為故M點(diǎn)的加速度大小為第三節(jié)自然法其方向余弦為:故M點(diǎn)的速度大小為其方向余弦為故M點(diǎn)的加速度大小為第三節(jié)MMjRoj例5半徑為R的輪子沿直線軌道純滾動(dòng)(無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng))。設(shè)輪子保持在同一豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，，試分析輪子邊緣