復變函數(shù)與積分變化課件復數(shù)

復變函數(shù)與積分變化課件復數(shù)第1頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月xiesongfa@126.com與積分變換復變函數(shù)謝松法華中科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院/ec3.0/C35/index.asp第2頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月一、教學及考核方式主要參考書（略）考試方式：閉卷考試成績：作業(yè)占20%，考試占80%作業(yè)：每周交作業(yè)一次答疑：每周一次課堂教學：

40學時(練習冊)(科技樓南樓813室)第3頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月二、教學內容本課程由復變函數(shù)與積分變換兩個部分組成。復變函數(shù)與積分變換課程是工科各專業(yè)必修的重要基礎理論課，是工程數(shù)學的主要課程之一。復變函數(shù)與積分變換在科學研究、工程技術等各行各業(yè)中有著廣泛的應用。復變函數(shù)的內容包括：復數(shù)與復變函數(shù)、解析函數(shù)、復變函數(shù)的積分、解析函數(shù)的級數(shù)表示、留數(shù)及其應用、共形映射以及解析函數(shù)在平面場的應用。其中，帶“*”號的內容本課堂不需要掌握。積分變換的內容包括：傅里葉變換和拉普拉斯變換。第4頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月第一章復數(shù)與復變函數(shù)復數(shù)領域的推廣和發(fā)展。復變函數(shù)理論中的許多概念、理論和方法是實變函數(shù)在復數(shù)的產(chǎn)生最早可以追溯到十六世紀中期。但直到十八世紀末期，經(jīng)過了卡爾丹、笛卡爾、歐拉以及高斯等許多人的長期努力，復數(shù)的地位才被確立下來。復變函數(shù)理論產(chǎn)生于十八世紀，在十九世紀得到了全面為這門學科的發(fā)展作了大量奠基工作的發(fā)展。為復變函數(shù)理論的創(chuàng)建做了早期工作的是歐拉、達朗貝爾、拉普拉斯等。則是柯西、黎曼和維爾斯特拉斯等。(虛數(shù)史話)第5頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月第一章復數(shù)與復變函數(shù)§1.2復數(shù)的幾種表示§1.1復數(shù)§1.3平面點集的一般概念§1.5復變函數(shù)§1.4無窮大與復球面第6頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.1復數(shù)一、復數(shù)及其運算二、共軛復數(shù)第7頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月一、復數(shù)及其運算1.復數(shù)的基本概念定義(1)設

x

和

y

是任意兩個實數(shù)，(或者

)的數(shù)稱為復數(shù)。(2)x

和

y

分別稱為復數(shù)

z

的實部與虛部，并分別表示為：當y=0時，因此，實數(shù)可以看作是復數(shù)的特殊情形。(3)當x=0時，稱為純虛數(shù)；就是實數(shù)。將形如其中

i

稱為虛數(shù)單位，即P1

第8頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月設與是兩個復數(shù)，如果則稱與相等。它們之間只有相等與不相等的關系。一、復數(shù)及其運算1.復數(shù)的基本概念相等當且僅當特別地，復數(shù)與實數(shù)不同，兩個復數(shù)(虛部不為零)不能比較大小，注第9頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月一、復數(shù)及其運算2.復數(shù)的四則運算設與是兩個復數(shù)，(1)復數(shù)的加減法加法減法(2)復數(shù)的乘除法乘法如果存在復數(shù)z，使得則除法P2

第10頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月一、復數(shù)及其運算2.復數(shù)的四則運算(3)運算法則交換律結合律分配律第11頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月二、共軛復數(shù)1.共軛復數(shù)的定義設是一個復數(shù)，定義稱為

z

的共軛復數(shù)，記作。共軛復數(shù)有許多用途。注比如P2

第12頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月二、共軛復數(shù)2.共軛復數(shù)的性質其中，“”可以是(2)(3)(1)性質P3

第13頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月解(1)(2)第14頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月證明P4例1.1

第15頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月卡爾丹稱它們?yōu)椤疤摌嫷牧俊被颉霸庌q的量”。他還把它們與負數(shù)統(tǒng)稱為“虛偽數(shù)”；把正數(shù)稱為“證實數(shù)”。附：歷史知識——虛數(shù)史話兩數(shù)的和是

10

,積是

40

,求這兩數(shù)．卡爾丹發(fā)現(xiàn)只要把

10

分成和即可。

1545

年，卡爾丹第一個認真地討論了虛數(shù)，他在《大術》中求解這樣的問題：卡爾丹的這種處理，遭到了當時的代數(shù)學權威韋達和他的學生哈里奧特的責難。第16頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月附：歷史知識——虛數(shù)史話整個十七世紀，很少有人理睬這種“虛構的量”。僅有極少數(shù)的數(shù)學家對其存在性問題爭論不休。意義下的“復數(shù)”的名稱。1632

年，笛卡爾在《幾何學》中首先把這種“虛構的量”改稱為“虛數(shù)”，與“實數(shù)”相對應。同時，還給出了如今第17頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月附：歷史知識——虛數(shù)史話到了十八世紀，虛數(shù)才開始被關注起來。1722

年，法國數(shù)學家德摩佛給出德摩佛定理：

其中

n

是大于零的整數(shù)。1748

年，歐拉給出了著名的公式：并證明了德摩佛定理對

n

是實數(shù)時也成立。1777

年，歐拉在遞交給彼德堡科學院的論文《微分公式》中首次使用

i

來表示第18頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月附：歷史知識——虛數(shù)史話十八世紀末，高斯的出現(xiàn)使得復數(shù)的地位被確立下來。1797

年，當時年僅20歲的高斯在他的博士論文中證明了代數(shù)基本定理。高斯在證明中巧妙地給出了復數(shù)的幾何表示，使得人們直觀地理解了復數(shù)的真實意義。十九世紀中葉以后，復變函數(shù)論開始形成，并逐漸發(fā)展成為一個龐大的數(shù)學分支。而且

n次多項式恰好有

n個根。任何多項式在復數(shù)域里必有根，即第19頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月附：人物介紹——高斯許多數(shù)學學科的開創(chuàng)者和奠基人。幾乎對數(shù)學的所有領域都做出了重大貢獻。享有數(shù)學王子的美譽。德國數(shù)學家、(1777～1855)高斯JohannCarlFriedrichGauss物理學家、天文學家第20頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月高斯去世后，哥廷根大學