彈性力學(xué)平面問題極坐標(biāo)課件

§6-5平面問題在極坐標(biāo)系下的基本方程yOPrxxy一.直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的微分關(guān)系此即一階微分關(guān)系在平面問題中，有些物體的截面幾何形狀（邊界）為圓形、扇形，對(duì)于這類形狀的物體宜采用極坐標(biāo)(r,)來解?！?-5平面問題在極坐標(biāo)系下的基本方程yOPrxxy一1同理可得各階微分關(guān)系，如同理可得各階微分關(guān)系，如2二.極坐標(biāo)系下的平衡微分方程1.直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)系下的應(yīng)力分量關(guān)系如圖，根據(jù)應(yīng)力狀態(tài)的定義，過P點(diǎn)分別以r方向和方向?yàn)榉ň€的截面上的應(yīng)力r、、rr，作為在極坐標(biāo)系下的應(yīng)力分量。（1）極坐標(biāo)系下的應(yīng)力分量和體力分量ryOxrPrrr（2）應(yīng)力分量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換視P-r

為舊坐標(biāo)，P點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為r、、rr；視O-xy為新坐標(biāo)，求P點(diǎn)的應(yīng)力分量x、y、xyyx。由應(yīng)力狀態(tài)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式

r稱為徑向應(yīng)力，稱為環(huán)向向應(yīng)力。二.極坐標(biāo)系下的平衡微分方程1.直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)系下的應(yīng)3ryOxrPFbFbr代入計(jì)算得（3）體力分量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換設(shè)極坐標(biāo)系下的體力分量為Fbr、Fb。將其分別向x、y方向投影得ryOxrPFbFbr代入計(jì)算得（3）體力分量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)42.極坐標(biāo)系下的平衡微分方程由直角坐標(biāo)系下的平衡微分方程推導(dǎo)當(dāng)時(shí)ryx以此位置的直角坐標(biāo)系，建立平衡微分方程。即2.極坐標(biāo)系下的平衡微分方程由直角坐標(biāo)系下的平衡微分方程推5同理代入即得同理代入即得6三.極坐標(biāo)系下的幾何方程1.直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)系下的位移分量關(guān)系ryOxrPuuruv類似體力分量的投影關(guān)系2.極坐標(biāo)系下的應(yīng)變分量將P點(diǎn)分別沿r和方向（相互垂直）兩線元的線應(yīng)變r(jià)、及其切應(yīng)變r(jià)，作為P點(diǎn)的應(yīng)變分量。3.極坐標(biāo)系下的幾何方程可通過微分關(guān)系直接由直角坐標(biāo)系下的幾何方程得到。同前分析，當(dāng)0時(shí)，三.極坐標(biāo)系下的幾何方程1.直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)系下的位移分7所以所以8即四.極坐標(biāo)系下的物理方程因r、方向正交，則物理方程與直角坐標(biāo)系下具有相同形式。即當(dāng)為平面應(yīng)變問題時(shí)，E1E、1

。五.極坐標(biāo)系下的相容方程極坐標(biāo)系下如果用應(yīng)力函數(shù)表示相容方程，體力必須為零或關(guān)于(r，)有勢。即四.極坐標(biāo)系下的物理方程因r、方向正交，則9（展開共8項(xiàng)）將O-xy坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)至x與r重合，即0，此時(shí)ryx在不計(jì)體力的情況下，可通過微分關(guān)系直接由直角坐標(biāo)系下的相容方程得到。所以（展開共8項(xiàng)）將O-xy坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)至x與r重合，即10五.極坐標(biāo)系下的應(yīng)力邊界條件設(shè)邊界S的外法線方向與r、方向的方向余弦分別為l1、l2，其上作用的面力沿r、方向的分量分別為pr、p。則其應(yīng)力邊界條件與直角坐標(biāo)系下具有相同形式。即當(dāng)體力不為零或無勢時(shí)，可用應(yīng)力表示相容方程五.極坐標(biāo)系下的應(yīng)力邊界條件設(shè)邊界S的外法線11例6-6寫出圖示問題的應(yīng)力邊界條件（1）Oxylq0r上邊：斜邊：（2）rPM內(nèi)側(cè)：rrrr外側(cè)：xOyab0，l10，l21，l10，l2+1ra，l11，l20rb，l1+1，l20例6-6寫出圖示問題的應(yīng)力邊界條件（1）Oxylq0r上12r上端：0，l10，l21或向O簡化面力向形心簡化rxOyabPMr上端：0，l10，l21或向O簡化13OMxy（3）半無限平面rrra當(dāng)r

0時(shí)，上邊當(dāng)r

0時(shí)，O點(diǎn)受集中力偶，但無法使用圣維南原理進(jìn)行簡化?？墒褂媒孛娣ń⑼饬εc內(nèi)力的關(guān)系，即O點(diǎn)的應(yīng)力邊界條件。由半圓上的應(yīng)力和外力的平衡關(guān)系，有OMxy（3）半無限平面rrra當(dāng)r0時(shí)，14五.極坐標(biāo)系下的基本方程總結(jié)平衡微分方程幾何方程物理方程五.極坐標(biāo)系下的基本方程總結(jié)平衡微分方程幾何方程物理方程15相容方程應(yīng)力分量應(yīng)力邊界條件位移邊界條件（不計(jì)體力）（無體力）（計(jì)體力）或相容方程應(yīng)力分量應(yīng)力邊界條件位移邊界條件（不計(jì)體力）（無體力16§6-6平面問題在極坐標(biāo)系下求解一.軸對(duì)稱問題的應(yīng)力與相應(yīng)的位移1.軸對(duì)稱問題的特征（1）截面的幾何形狀對(duì)稱于中心軸，（2）荷載與約束對(duì)稱于中心軸。如圓環(huán)、圓盤、圓筒。因此環(huán)向體力Fb

0；在邊界上，環(huán)向的面力和位移為零；即（3）導(dǎo)致物體的應(yīng)力、應(yīng)變和位移分布也是軸對(duì)稱的。即rxyO由于任何通過中心軸（z軸）的平面均為對(duì)稱面，故各分量均與無關(guān)。即§6-6平面問題在極坐標(biāo)系下求解一.軸對(duì)稱問題的應(yīng)力與172.軸對(duì)稱問題的基本方程平衡微分方程幾何方程物理方程相容方程應(yīng)力分量邊界條件（不計(jì)體力）（不計(jì)體力）計(jì)體力時(shí)2.軸對(duì)稱問題的基本方程平衡微分方程幾何方程物理方程相容方程183.應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量將相容方程展開得令同理代入——常系數(shù)微分方程3.應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量將相容方程展開得令同理代入——常系數(shù)微19特征方程平面軸對(duì)稱問題（不計(jì)體力），應(yīng)力分量的一般表達(dá)式。其中A、B、C為待定系數(shù)，由邊界條件和位移單值條件確定?！矫孑S對(duì)稱問題（不計(jì)體力）的應(yīng)力函數(shù)特征方程平面軸對(duì)稱問題（不計(jì)體力），應(yīng)力分量的一般表達(dá)式。其204.位移分量由物理方程和幾何方程①②③①式積分4.位移分量由物理方程和幾何方程①②③①式積分21代入②式積分得將ur、u代入③式，整理得欲使之成立，兩端必等于同一常數(shù)。即——F為常數(shù)分別解方程代入②式積分得將ur、u代入③式，整理得欲使之成立，兩端22所以，無體力應(yīng)力軸對(duì)稱的位移分量其中，A、B、C、H、I、K為待定常數(shù)，由應(yīng)力邊界條件、位移邊界條件（約束）和位移單值條件確定。5.幾點(diǎn)說明（1）當(dāng)物體僅幾何和荷載軸對(duì)稱時(shí)，只產(chǎn)生軸對(duì)稱應(yīng)力，位移不一定軸對(duì)稱（從u可見）。稱之為軸對(duì)稱應(yīng)力問題。（2）軸對(duì)稱應(yīng)力問題的位移不一定軸對(duì)稱乃約束不一定軸對(duì)稱所致?？梢宰C明，I、K為物體分別沿x、y方向的剛體位移，H則為繞軸心的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。（3）當(dāng)位移邊界條件（約束）也軸對(duì)稱時(shí)，位移也軸對(duì)稱，應(yīng)有u0，則BHIK0所以，無體力應(yīng)力軸對(duì)稱的位移分量其中，A、B、C、H、I、K23（4）多連體中的位移單值條件，實(shí)質(zhì)上就是物體的連續(xù)性條件。（即位移連續(xù)性條件）。按位移法求解時(shí)：若取位移分量為單值，由此求出的應(yīng)變分量（幾何方程）也為單值，求出的應(yīng)力分量（物理方程）也為單值；按應(yīng)力法求解時(shí)：若取應(yīng)力分量為單值，由此求出的應(yīng)變分量（物理方程）也為單值，但求出的位移分量（幾何方程積分）常為多值。對(duì)于單連域，位移單值條件一般自然滿足；但對(duì)于多連域一般需檢驗(yàn)位移單值條件。（4）多連體中的位移單值條件，實(shí)質(zhì)上就是物體的連續(xù)性條件。（241.圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫aqbbaO二.軸對(duì)稱問題示例已知：求：應(yīng)力分布。（1）確定應(yīng)力分量的表達(dá)式：邊界條件：代入應(yīng)力分量表達(dá)式，有1.圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫aqbbaO二.軸對(duì)稱問題示例已25式中有三個(gè)未知常數(shù)，二個(gè)方程還不足以完全確定常數(shù)考察多連體中的位移單值條件。是多值函數(shù)，如(r,)和(r

,)同指一點(diǎn)，但由此計(jì)算卻得出兩個(gè)位移。由位移的單值條件，必有：B=0所以式中有三個(gè)未知常數(shù)，二個(gè)方程還不足以完全確定常數(shù)26qbbaO將其代回應(yīng)力分量式（繁分式稱為拉梅解答）討論：（1）外壓無內(nèi)壓：●當(dāng)a

0

時(shí)：二向等壓qbbaO將其代回應(yīng)力分量式（繁分式稱為拉梅解答）討論：（127（2）內(nèi)壓無外壓：qaba●當(dāng)b時(shí)：具有圓孔的無限大薄板若a

0但a

0●當(dāng)r

a

時(shí)：（針孔問題）可見針孔處有應(yīng)力集中現(xiàn)象，最大應(yīng)力為無孔的二倍。●當(dāng)ba

t

R(半徑)

時(shí)：薄壁圓環(huán)與材力結(jié)果相同（2）內(nèi)壓無外壓：qaba●當(dāng)b時(shí)：具有圓孔的282.壓力隧洞問題：厚壁圓筒（E，）埋在無限大彈性體（E

，）內(nèi)，受內(nèi)壓q作用，求圓筒的應(yīng)力。分析：相當(dāng)于兩個(gè)軸對(duì)稱問題，（1）內(nèi)外半徑分別為a、b，受內(nèi)壓q、外壓p的厚壁圓筒；qpbaO（2）內(nèi)半徑為b，外半徑為，受內(nèi)壓p的厚壁圓筒；qbaOE，E

，pbO且均為平面應(yīng)變問題。2.壓力隧洞問題：厚壁圓筒（E，）埋在無限大彈性體（E29確定壓力p的兩個(gè)條件：徑向變形連續(xù)徑向應(yīng)力連續(xù)求解：厚壁圓筒的應(yīng)力分量及其邊界條件無限大彈性體的應(yīng)力分量及其邊界條件將應(yīng)力分量代入邊界條件確定壓力p的兩個(gè)條件：徑向變形連續(xù)徑向應(yīng)力連續(xù)求解：厚壁30四個(gè)方程，五個(gè)未知量（p未知）補(bǔ)充位移連續(xù)條件平面應(yīng)變問題四個(gè)方程，五個(gè)未知量（p未知）補(bǔ)充位移連續(xù)條件平面應(yīng)變問題31欲使對(duì)任意的成立，須有令上式整理為因與前三式聯(lián)立求解A、C、A、p，并代入得欲使對(duì)任意的成立，須有令上式整理為因與前三式聯(lián)立求解A323.圓弧曲梁的純彎曲問題：矩形截面曲梁,rxyabMMO為曲梁的曲率中心，內(nèi)半徑為a，外半徑為b，在兩端受有大小相等而轉(zhuǎn)向相反的彎矩M作用，兩端面間極角為。分析：取曲梁的曲率中心O為坐標(biāo)的原點(diǎn)，并按圖示建立坐標(biāo)系。O由于各截面上彎矩M相同，因而可假定各截面上應(yīng)力相同，構(gòu)成一軸對(duì)稱問題（對(duì)稱軸為z軸）。求解：（1）應(yīng)力分量由于是單連域，位移式中無多值項(xiàng)，故3.圓弧曲梁的純彎曲問題：矩形截面曲梁,rxyabM33（2）邊界條件內(nèi)外側(cè)：自然滿足①②自然滿足端面：取=

端自然滿足兩式直接積分有一定困難，可利用應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系簡化積分（2）邊界條件內(nèi)外側(cè)：自然滿足①②自然滿足端面：取=34由滿足③聯(lián)立①②③求解得由滿足③聯(lián)立①②③求解得35其中所以討論：a）r=a時(shí)，取得最大值（絕對(duì)值）；b）中性軸不過截面形心，而偏于內(nèi)側(cè)；c）關(guān)于截面不成線性分布，且擠壓應(yīng)力r與同量級(jí)。其中所以討論：a）r=a時(shí)，取得最大值（絕對(duì)值36三.圓孔的孔邊應(yīng)力集中1.問題的提法無體力的矩形薄板，薄板內(nèi)有一個(gè)小圓孔（半徑a遠(yuǎn)小于板的尺寸）。薄板對(duì)邊均勻拉力q作用，由于板內(nèi)有微小圓孔，孔邊應(yīng)力將遠(yuǎn)大于距孔稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力，稱應(yīng)力集中問題。2a本問題即是求解圖示彈性體的應(yīng)力解答。qq2.問題的分析以孔心作為原點(diǎn)建立坐標(biāo)yxr（1）無孔時(shí)在極坐標(biāo)系下三.圓孔的孔邊應(yīng)力集中1.問題的提法無體37yxba(r)r=b(r)r=bqqyxa（2）有孔時(shí)b應(yīng)力分布將發(fā)生變化，但在距孔邊較遠(yuǎn)處，其應(yīng)力分布與無孔時(shí)幾乎一致。因此用較大半徑ba，以孔心為圓心作圓，該圓周上的應(yīng)力即與無孔時(shí)的應(yīng)力相同。(r)r=b(r)r=b由截面法，以半徑為b的大圓將板截為內(nèi)外半徑分別為a、b的圓環(huán)。視圓周上的應(yīng)力為圓環(huán)的面力，即將面力分解為兩組，即yxba(r)r=b(r)r=bqqyxa（38問題轉(zhuǎn)化為圓環(huán)分別在兩組面力作用下應(yīng)力解答的疊加。yxbaprpyxbaprpyxbapr3.問題的求解——第一組解答在第一組面力作用下，系圓環(huán)僅受外壓應(yīng)力解答的軸對(duì)稱問題。=問題轉(zhuǎn)化為圓環(huán)分別在兩組面力作用下應(yīng)力解答的394.問題的求解——第二組解答在第二組面力作用下，圓環(huán)受非對(duì)稱荷載，系非對(duì)稱問題。用應(yīng)力函數(shù)半逆解法求解。（1）應(yīng)力函數(shù)由應(yīng)力邊界條件可知，只要r不接近a，由應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系可知，故設(shè)代入相容方程得4.問題的求解——第二組解答在第二組面40解該Euler方程得所以（2）應(yīng)力分量（3）邊界條件內(nèi)邊界：外邊界：解該Euler方程得所以（2）應(yīng)力分量（3）邊界條件內(nèi)邊界：41將應(yīng)力分量代入聯(lián)立解之，并令所以將應(yīng)力分量代入聯(lián)立解之，并令所以425.問題的應(yīng)力解答解答的此形式稱為齊爾西（G.Kirsch）解6.討論（1）應(yīng)力集中孔邊（ra）最大應(yīng)力無孔時(shí)可見,應(yīng)力集中系數(shù)5.問題的應(yīng)力解答解答的此形式稱為齊爾西（G.Kirsc43（2）應(yīng)力分布qqyxq3q●沿水平方向（0）q0.16q之后趨近于零，與無孔時(shí)的分布相同。●沿豎直方向（2）之后趨近于q，與無孔時(shí)的分布相同。說明應(yīng)力集中的影響范圍僅限于局部區(qū)域，與力的局部作用原理（圣維南原理）相同。（2）應(yīng)力分布qqyxq3q●沿水平方向（044yx（3）結(jié)果應(yīng)用①雙向均勻拉壓矩形薄板，距邊界遠(yuǎn)處開小圓孔的計(jì)算q2q1yxrq1y1x1r1分解為兩個(gè)齊爾西解疊加q2y2r22x2②均勻應(yīng)力任意形狀薄板，距邊界遠(yuǎn)處開小圓孔的計(jì)算yx1212xy由無孔時(shí)計(jì)算所得的均勻應(yīng)力狀態(tài)，計(jì)算任一點(diǎn)的主應(yīng)力和主方向；以主方向?yàn)閤、y軸，以圓心為原點(diǎn)作矩形；由于各點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)相同，所以矩形兩對(duì)邊的面力即為主應(yīng)力。問題化為①。需注意問題轉(zhuǎn)化前后研究點(diǎn)的坐標(biāo)方位。yx（3）結(jié)果應(yīng)用①雙向均勻拉壓矩形薄板，距邊界遠(yuǎn)處開45③工程中近似計(jì)算孔邊應(yīng)力的方法先求出無孔時(shí)相應(yīng)于圓孔中心處的應(yīng)力分量sx

、sy

、txy

；再由應(yīng)力分量求出相應(yīng)的主應(yīng)力和主方向；最后將圓孔附近部分當(dāng)作沿兩個(gè)主方向受均布拉力q1

=s1

及q2=s2

，從而由前述的疊加法求得孔邊應(yīng)力?！蔷鶆驊?yīng)力狀態(tài)③工程中近似計(jì)算孔邊應(yīng)力的方法先求出無46四.楔形體的楔頂與楔面受力1.楔頂受集中力作用xyOPr楔形體頂角為，下端為無限長（單位厚度）。求楔頂與楔面受力時(shí)的應(yīng)力分布。設(shè)集中力P與中心線的夾角為。（1）應(yīng)力函數(shù)量綱分析法：問題的條件中，所有的量僅有P(Nm)、、、r(m)、。要由這些量構(gòu)成應(yīng)力的量綱(Nm2)，只有且僅含Pr的一次項(xiàng)。所以，應(yīng)力分量r1應(yīng)力函數(shù)比應(yīng)力分量高兩次故設(shè)代入相容方程得四.楔形體的楔頂與楔面受力1.楔頂受集中力作用xyOP47即整理得所以xy線性項(xiàng)（2）應(yīng)力分量即整理得所以xy線性項(xiàng)（2）應(yīng)力分量48（3）邊界條件楔面：自然滿足楔頂：截取含楔頂?shù)拿撾x體建立平衡關(guān)系。以楔頂為圓心任作一圓弧，取其上部建立平衡方程。xyOPr0rrab將應(yīng)力分量代入自然滿足（3）邊界條件楔面：自然滿足楔頂：截取含楔頂?shù)拿撾x體建立平衡49積分得代入應(yīng)力分量得——密切爾（Michell）解答（4）討論②0：豎向力P作用③2：水平力P作用Pr正對(duì)稱分布反對(duì)稱分布Pr①當(dāng)r0時(shí)：r，不可能（？）積分得代入應(yīng)力分量得——密切爾（Michell）解答（450④

、0：半平面體邊界受法向力P作用PxyOr2.楔頂受集中力偶作用xyOrM（1）應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力分量r2

故設(shè)代入相容方程得注意到集中力偶矩應(yīng)為單位厚度的矩，即M的量綱為(N)。因此若受分布力作用，可由疊加法對(duì)上式積分。④、0：半平面體邊界受法向力P作51（2）應(yīng)力分量考慮到反對(duì)稱載荷下，對(duì)稱體的應(yīng)力分布應(yīng)反對(duì)稱。即r應(yīng)是的奇函數(shù)，r應(yīng)是的偶函數(shù)。所以，A0（3）邊界條件楔面：自然滿足①（2）應(yīng)力分量考慮到反對(duì)稱載荷下，對(duì)稱體的應(yīng)52楔頂：以楔頂為圓心任作一圓弧，取其上部建立平衡方程。自然滿足自然滿足②聯(lián)立①②求解得xyOr0rrabM代入應(yīng)力分量英格立斯（Inglis）解答楔頂：以楔頂為圓心任作一圓弧，533.楔面受分布力作用Oxyrq（1）應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力分量r0