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主講教師:王升瑞高等數(shù)學(xué)第三十講1主講教師:高等數(shù)學(xué)第三十講1可降階的高階微分方程第五節(jié)型的微分方程型的微分方程型的微分方程第七章一、二、三、2可降階的高階微分方程第五節(jié)型的微分方程型的微分方程型的一、令因此即同理可得依次通過

n

次積分,可得含

n

個任意常數(shù)的通解.型的微分方程

（純x型）3一、令因此即同理可得依次通過n次積分,可得含n個任例1.解:

4例1.解:4型的微分方程

設(shè)原方程化為一階方程設(shè)其通解為則得再一次積分,得原方程的通解二、（缺y型）5型的微分方程設(shè)原方程化為一階方程設(shè)其通解為則得再一次積分,例2解6例2解6例3.求解解:代入方程得分離變量積分得利用于是有兩端再積分得利用因此所求特解為7例3.求解解:代入方程得分離變量積分得利用于是有兩端再積例4：求滿足的積分曲線，使其在點（1，0）處有切線解：由題意可知此為缺y型，且令代入原方程得分離變量得所得積分曲線為：8例4：求滿足的積分曲線，使其在點（1，0）處有切線解：由題意三、型的微分方程

令故方程化為設(shè)其通解為即得分離變量后積分,得原方程的通解（缺x型）9三、型的微分方程令故方程化為設(shè)其通解為即得分離變量后積分,例5.求解代入方程得兩端積分得(一階線性齊次方程)故所求通解為解:10例5.求解代入方程得兩端積分得(一階線性齊次方程)故例6解初值問題解:令代入方程得積分得利用初始條件,根據(jù)積分得故所求特解為得11例6解初值問題解:令代入方程得積分得利用初始條件,根例7：求滿足的特解。解：方程中不含x設(shè)代入方程得兩邊積分得注意到初始條件分離變量兩邊積分所求特解為12例7：求滿足的特解。解：方程中不含x設(shè)代入方程得兩邊積分解將方程寫成積分后得通解注意:這一段技巧性較高,關(guān)鍵是配導(dǎo)數(shù)的方程.例813解將方程寫成積分后得通解注意:這一段技巧性較高,關(guān)鍵是配導(dǎo)解代入原方程解線性方程,得兩端積分,得原方程通解為例914解代入原方程解線性方程,得兩端積分,得原方程通解為例914內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法——降階法逐次積分令令15內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法——降階法逐次積分令令15思考與練習(xí)1.方程如何代換求解?答:令或一般說,用前者方便些.均可.有時用后者方便.例如,2.解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題?答:(1)一般情況,邊解邊定常數(shù)計算簡便.(2)遇到開平方時,要根據(jù)題意確定正負(fù)號.例616思考與練習(xí)1.方程如何代換求解?答:令或一般說,用

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