利用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的零點問題專題講座

利用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的零點問題專題講座第1頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月全國卷高考數(shù)學題展示(2014年全國卷）已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍？第2頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月

函數(shù)零點是新課標教材的新增內(nèi)容之一,縱觀近幾年全國各地的高考試題,經(jīng)常出現(xiàn)一些與零點有關(guān)的問題,它可以以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，也可以在解答題中與其它知識交匯后閃亮登場，可以說“零點”成為了高考新的熱點和亮點.高考地位第3頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月一：復(fù)習舊知函數(shù)與方程函數(shù)與圖像函數(shù)零點使函數(shù)的實數(shù)方程的實數(shù)解函數(shù)的圖像與軸交點的橫坐標函數(shù)零點使函數(shù)的實數(shù)方程的實數(shù)解函數(shù)的圖像與軸交點的橫坐標第4頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)論：函數(shù)的零點就是方程f(x)=0的實數(shù)根，也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標。等價關(guān)系：方程f(x)=0有實數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)y=f(x)有零點第5頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月唯一在上單調(diào)在有零點在上連續(xù)零點的存在性定理第6頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月等價關(guān)系除了用判定定理外，你還想到什么方法呢？第7頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月導(dǎo)數(shù)在函數(shù)零點問題上的應(yīng)用函數(shù)零點導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合零數(shù)零位參數(shù)范圍第8頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月研究兩條曲線的交點個數(shù)的基本方法(1)數(shù)形結(jié)合法，通過畫出兩個函數(shù)圖象，研究圖形交點個數(shù)得出答案.(2)函數(shù)與方程法，通過構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)零點的個數(shù)得出兩曲線交點的個數(shù).第9頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月1、三次函數(shù)的圖象四種類型第10頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月2.三次函數(shù)的零點分布三次函數(shù)在存在兩個極值點的情況下，由于當x→∞時，函數(shù)值也趨向∞，因此只要按照極值與零的大小關(guān)系確定其零點的個數(shù)即可.存在兩個極值點x1，x2且x1＜x2的函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零點分布情況如下：a的符號零點個數(shù)充要條件a＞0(f(x1)為極大值，f(x2)為極小值)一個f(x1)＜0或f(x2)＞0兩個f(x1)＝0或者f(x2)＝0三個f(x1)＞0且f(x2)＜0a＜0(f(x1)為極小值，f(x2)為極大值)一個f(x2)＜0或f(x1)＞0兩個f(x1)＝0或者f(x2)＝0三個f(x1)＜0且f(x2)＞0第11頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：

函數(shù)f(x)=x3-3x2+a(a∈R)的零點個數(shù).例題選講一、三次函數(shù)的零點問題第12頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)f(x)=x3-3x2+a(a∈R)的零點個數(shù).幾何畫板演示第13頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)f(x)=x3-3x2+a(a∈R)的零點個數(shù).幾何畫板演示第14頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月

已知函數(shù)f(x)=x3-x2-x+a的圖象與x軸僅有一個交點，求實數(shù)a的取值范圍.鞏固練習1第15頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月第16頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月幾何畫板演示第17頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月鞏固練習2第18頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月第19頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月當x變化時，g(x)與g′(x)的變化情況如下：x(－∞，0)0(0，1)1(1，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)t＋3t＋1所以，g(0)＝t＋3是g(x)的極大值，g(1)＝t＋1是g(x)的極小值.當g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3時，此時g(x)在區(qū)間(－∞，1]和[1，＋∞)上分別至多有1個零點，所以g(x)至多有2個零點.當g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1時，此時g(x)在區(qū)間(－∞，0)和[0，＋∞)上分別至多有1個零點，所以g(x)至多有2個零點.第20頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月當g(0)＞0且g(1)＜0，即－3＜t＜－1時，因為g(－1)＝t－7＜0，g(2)＝t＋11＞0，所以g(x)分別在區(qū)間[－1，0)，[0，1)和[1，2)上恰有1個零點，由于g(x)在區(qū)間(－∞，0)和(1，＋∞)上單調(diào)，所以g(x)分別在區(qū)間(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1個零點.綜上可知，當過點P(1，t)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切時，t的取值范圍是(－3，－1).探究提高

解決曲線的切線問題的關(guān)鍵是求切點的橫坐標，解題時先不要管其他條件，先使用曲線上點的橫坐標表達切線方程，再考慮該切線與其他條件的關(guān)系，如本題第(2)問中的切線過點(1，t).第21頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月鞏固練習3第22頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)證明由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.設(shè)g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.由題設(shè)知1－k＞0.當x≤0時，g′(x)＝3x2－6x＋1－k＞0，g(x)單調(diào)遞增，g(－1)＝k－1＜0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一實根.當x＞0時，令h(x)＝x3－3x2＋4，則g(x)＝h(x)＋(1－k)x＞h(x).h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0，2)單調(diào)遞減，在(2，＋∞)單調(diào)遞增，所以g(x)＞h(x)≥h(2)＝0.所以g(x)＝0在(0，＋∞)沒有實根.綜上，g(x)＝0在R有唯一實根，即曲線y＝f(x)與直線y＝kx－2只有一個交點.探究提高

研究方程的根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，并借助函數(shù)的大致圖象判斷方程根的情況，這是導(dǎo)數(shù)這一工具在研究方程中的重要應(yīng)用.第23頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月例題選講二、非三次函數(shù)的零點問題第24頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月幾何畫板演示第25頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月附：非三次函數(shù)的零點問題也是通過導(dǎo)數(shù)求極值來畫出其圖象，采用類似于三次函數(shù)的方法探究零點。第26頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月例題選講第27頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月f(x)與f′(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的變化情況如下表：第28頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月第29頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月探究提高對于函數(shù)零點的個數(shù)的相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想來求解.這類問題求解的通法是：(1)構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點和難點，并求其定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點；(3)畫出函數(shù)草圖；(4)數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點情況進而求解.第30頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月1、已知函數(shù)f(x)=x3-3ax-1,a>0(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在x=-1處取得極值，直線y=m與y=f(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍．課后測試第31頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月第32頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月幾何畫板演示第33頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月第34頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月第35頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月第36頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月第37頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月解:(1)設(shè)曲線y=f(x)與x軸切于點,則

,即

解得當時,x軸是y=f(x)的切線.3.已知函數(shù),g(x)=-lnx(1)當a為何值時,x軸為曲線y=f(x)的切線(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,設(shè)函數(shù)h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),討論h(x)零點的個數(shù).(2)當x>1時,g(x)=-lnx<0,從而h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0故h(x)在無零點.當x=1時,若,則f(1)=h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=0,x=1是h(x)的一個零點若,則h(1)=f(1)<0,h(x)無零點.第38頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月當0<x<1時,g(x)>0無零點,只需考慮f(x)在(0,1)上的零點個數(shù).

(?)當a≥0時,,f(x)在(0,1)單調(diào)遞增且f(0)>0故f(x)(0,1)上無零點.(??)當a≤-3時,,f(x)在(0,1)單調(diào)遞減且,f(x)在(0,1)內(nèi)僅有一個零點.(???)當-3<a<0時,f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增故f(x)在(0,1)上的最小值為a)若,即時,f(x)在(0,1)上無零點b)若,即時,f(x)在(0,1)上有一個零點第39頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月c)當,即時

綜上所述:當或時,h(x)有一個零點。當或時,h(x)有兩個零點。當時,h(x)有三個零點。