2022-2023學年山西省大同市渾源重點中學高二（下）期末數學試卷（含解析）

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一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.命題“，”的否定為()

A.，B.，

C.，D.，

2.設在定義域內可導，其圖象如圖所示，則導函數的圖象可能是()

A.B.

C.D.

3.短道速滑隊組織名隊員含賽前系列賽積分最靠前的甲乙丙三名隊員在內進行冬奧會選拔，記“甲得第一名”為，“乙得第二名”為，“丙得第三名”為，若是真命題，是假命題，是真命題，則選拔賽的結果為()

A.甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名

B.甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名

C.甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名

D.甲得第一名、乙沒得第二名、丙得第三名

4.若函數的最小值是，則實數的取值范圍是()

A.B.C.D.

5.的展開式中的常數項是()

A.B.C.D.

6.平行六面體的棱長均為，則對角線的長為()

A.B.C.D.

7.已知拋物線的焦點為，過的直線交于點，，分別在點，處作的兩條切線，兩條切線交于點，則的取值范圍是()

A.B.C.D.

8.的值等于()

A.B.C.D.

9.實驗測得六組成對數據的值為，，，，，，由此可得與之間的回歸方程為，則可預測當時，的值為()

A.B.C.D.

10.“”是“屬于函數單調遞增區(qū)間”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分且必要條件D.既不充分也不必要條件

11.已知定義在上的函數對任意區(qū)間和，若存在開區(qū)間，使得，且對任意都成立，則稱為在上的一個“點”有以下兩個命題：

若是在區(qū)間上的最大值，則是在區(qū)間上的一個點；

若對任意，都是在區(qū)間上的一個點，則在上嚴格增．

那么()

A.是真命題，是假命題B.是假命題，是真命題

C.、都是真命題D.、都是假命題

12.若不等式在上有實數解，則的取值范圍是()

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.設雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上一點，且，則的大小為______．

14.數列中，，，則的前項的和為______．

15.某校高二班統計全班同學中午在食堂用餐時間，有人用時為分鐘，有人用時分鐘，有人用時為分鐘，還有人用時為分鐘，則高二班全體同學用餐平均用時為______分鐘．

16.已知圓：，，是圓上兩點，點且，則最大值是______．

三、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

已知函數的圖象過點，且在點處的切線恰好與直線垂直．

求函數的解析式；

若函數在區(qū)間上單調遞增，求實數的取值范圍．

18.本小題分

已知正項數列的前項和為，且滿足．

求，；

設，數列的前項和為，求證：．

19.本小題分

如圖，直四棱柱，底面是邊長為的菱形，，，點在平面上，且平面D.

求的長；

若為的中點，求與平面所成角的正弦值．

20.本小題分

已知．

求單調區(qū)間；

點為圖象上一點，設函數在點處的切線為直線，若直線與軸交于點，求的最大值．

21.本小題分

．

求在上的最小值；

，且，，，求的取值范圍．

22.本小題分

已知拋物線：上一點與焦點的距離為．

求和；

若在拋物線上存在點，，使得，設的中點為，且到拋物線的準線的距離為，求點的坐標．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：根據全稱命題的否定可得，命題“，”的否定為：

“，”

故選：．

根據全稱命題的否定為特稱命題判斷即可．

本題主要考查全稱命題的否定，屬于基礎題．

2.【答案】

【解析】解：由的圖象可得，在軸的左側，圖象下降，遞減，

即有導數小于，可排除，；

再由軸的右側，圖象先下降再上升，最后下降，

函數遞減，再遞增，后遞減，

即有導數先小于，再大于，最后小于，

可排除；

則B正確．

故選：．

由的圖象可得在軸的左側，圖象下降，遞減，軸的右側，圖象先下降再上升，最后下降，即有軸左側導數小于，右側導數先小于，再大于，最后小于，對照選項即可判斷．

本題考查導數的概念和應用，考查函數的單調性與其導數符號的關系，以及數形結合的思想方法，屬于基礎題．

3.【答案】

【解析】解：記“甲得第一名”為，“乙得第二名”為，“丙得第三名”為，

是真命題，為真命題，說明丙為第三名，為假命題說明乙不為第二名，

若是真命題，是假命題，說明真假，說明甲為第一名．

故選：．

直接利用推理來進行判定結論．

本題考查的知識要點：復合命題的判定的應用，推理問題的應用．

4.【答案】

【解析】解：當時，，，

，，單調遞減，

，，單調遞增，，

因為的最小值為，所以當時，，

當時，．

若，在上單調遞減，

，，得；

若，在上單調遞減，在上單調遞增，，舍去．

綜上，實數的取值范圍是．

故選：．

先求時函數的最小值，再根據函數的最小值，得時，，求出的取值范圍．

本題主要考查函數最值的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題．

5.【答案】

【解析】解：展開式的通項為

令得

所以展開式的常數項為：．

故選：．

利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令的指數為，求出，將的值代入通項求出常數項．

本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題．

6.【答案】

【解析】解：平行六面體的棱長均為，

，

，

，

對角線的長為．

故選：．

由，能求出對角線的長．

本題考查對角線的長的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．

7.【答案】

【解析】解：由題意，且拋物線的焦點為，

設，，

則：，

：，

聯立二式解得，

所以

，

設：，與聯立得，

所以有，，，

，

，

所以，

由于，所以．

故選：．

設，，：，首先用，表示出，而后利用韋達定理用表示出并分析其大小范圍．

本題主要考查拋物線相關性質，屬中檔題．

8.【答案】

【解析】解：

．

故選：．

利用指數與對數的運算法則即可得出．

本題考查了指數與對數的運算法則，屬于基礎題．

9.【答案】

【解析】解：由表中數據可得，，，

線性回歸方程為，則，解得，

故，當時，．

故選：．

先求出樣本中心點，線性回歸方程恒過，代入即可求出，再令，代入求解即可．

本題主要考查線性回歸方程的求解，屬于基礎題．

10.【答案】

【解析】解：由，得或．

函數的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸方程為．

則函數的單調增區(qū)間為，

而外層函數是定義域內的增函數，

函數的單調遞增區(qū)間是．

由，不能得到；反之，由，能夠得到，

“”是“屬于函數單調遞增區(qū)間”的必要不充分條件．

故選：．

求出函數的單調遞增區(qū)間，再由充分必要條件的判定得答案．

本題考查復合函數的單調性，考查充分必要條件的判定，是中檔題．

11.【答案】

【解析】解：對于，設，滿足是在區(qū)間上的最大值，但不是在區(qū)間上的一個點，錯誤；

對于，設，對于區(qū)間，令為有理數，滿足對任意都成立，

故為區(qū)間上的一個點，但在上不是嚴格增函數，錯誤．

故選：．

舉出反例，得到錯誤．

本題考查了函數新定義的應用，屬于中檔題．

12.【答案】

【解析】解：由不等式在上有實數解，知不等式在上有實數解．

設，，則，

而，

令得，

當時，，當時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

，

，

，

即的取值范圍是．

故選：．

先分離參數得，因為不等式在上有實數解，所以，進而求出即可．

本題主要考查了存在性問題，考查了利用導數研究函數的單調性和最值，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】解：雙曲線的左、右焦點分別為，，

設，則，

由雙曲線的定義可得：，可得，

，，又，

，的大小為．

故答案為：．

由已知雙曲線方程求得焦點坐標，可得，，的值，再由余弦定理求解．

本題考查雙曲線的幾何性質，考查雙曲線定義及余弦定理的應用，是中檔題．

14.【答案】

【解析】解：，

，

又，則，

數列是首項為，公比為的等比數列，

，

，

的前項的和為．

故答案為：．

由題意變形得，可得數列是首項為，公比為的等比數列，求出，即可得出答案．

本題考查數列的遞推式和數列的求和，考查轉化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．

15.【答案】

【解析】解：因為：有人用時為分鐘，有人用時分鐘，有人用時為分鐘，還有人用時為分鐘；

所以：平均用時：，

故答案為：．

直接利用平均數的計算公式求解即可．

本題主要考查平均數的求法，屬于基礎題目．

16.【答案】

【解析】解：如圖示：

設是線段的中點，則，

，

在中，，，

，

由勾股定理得：，

整理得，

故的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，

故，

由圓的弦長公式可得：

，

故答案為：．

根據題意作出圖象，結合圓的性質及直角三角形中線的性質，可得，即可求出的最大值．

本題考查了圓的性質，考查圓的弦，弦心距，半徑的關系，考查數形結合思想，是一道中檔題．

17.【答案】解：過點，且在點處的切線恰好與直線垂直，

，，

．

由題意得：，

解得或．

故的單調遞增區(qū)間為和．

即或，

故或．

【解析】將的坐標代入的解析式，得到關于，的一個等式；求出導函數，求出即切線的斜率，利用垂直的兩直線的斜率之積為，列出關于，的另一個等式，解方程組，求出，的值，即可求函數的解析式；

求出，令，求出函數的單調遞增區(qū)間，據題意知，，，列出端點的大小，求出的范圍．

注意函數在切點處的導數值是曲線的切線斜率；直線垂直的充要條件是斜率之積為．

18.【答案】解：，，

當時，，

由得，

即，

又，

，

是首項為，公差為的等差數列，

，

代入得；

證明：由得，則，

，

，

，即．

【解析】由題意得，，作差變形得，可得是首項為，公差為的等差數列，即可得出答案；

由得，則，利用裂項法求和，即可證明結論．

本題考查數列的遞推式和數列的求和，考查轉化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．

19.【答案】解：建立空間直角坐標系，如圖所示，

則，

所以，

設平面的法向量為，

則有，即，

令，則，，

故，

又，

所以；

由可知，平面的法向量為，

因為為的中點，所以，

設平面的法向量為，

因為，

則有，即，

令，則，

故，

所以，

故BE與平面所成角的正弦值為．

【解析】本題考查了點到面距離的求解以及線面角的求解，在求解空間角的時候，一般會建立合適的空間直角坐標系，將空間角問題轉化為空間向量問題進行研究，屬于中檔題．

建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標，求出平面的法向量，然后求解即可；

求出平面的法向量，進行求解即可．

20.【答案】解：由題意得定義域為，

，由得，

列表如圖：

單調遞減單調遞減單調遞增

故的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為和；

由題意得，故直線方程為，

將點代入直線方程得，整理得，

令，即求的最大值．

，由得，

由得，在上單調遞增；

由得，在單調遞減，

故在處取得最大值，．

故的最大值為．

【解析】求出的定義域和導函數的根，列表判斷，即可得出答案；

先求出切線的方程和，再構造函數求最大值，即可得出答案．

本題考查利用導數研究函數的單調性和最值，考查轉化思想和函數思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．

21.【答案】解：，

在上單調遞增，又，

故當時，，當時，，

故在單調遞減，單調遞增，

當，即時，在單調遞減，

故；

當，即時，在單調遞減，單調遞增，

故；

當時，在單增，

故

綜上，當時，；

當時，；

當時，．

由知在上單調遞減，在上單調遞增，

故，

故問題轉化為對，都有，

令，則，

，

令，，

令，

則，

故在單調遞增，，

即，從而在單調遞增，

故，

則，，

從而在單調遞減，在單調遞增，

，

故實數的取值范圍為．

【解析】求出函數的導函數，即可得到函數的單調性，再分、、三種情況討論，分別求出函數的最小值；

問題轉化為，恒成立，令，則，利用導數求出函數的最小值，即可得解．

本題考查利用導數研究函數的單調性，極值及最值，考查不等式的恒成立問題，考查分類討論思想及運算求解能力，屬于中檔題．

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