2023年江蘇省南京市玄武區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷（含解析）

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一、選擇題（本大題共6小題，共12.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.的值等于()

A.B.C.D.

2.下列計算中，結(jié)果是是()

A.B.C.D.

3.反比例函數(shù)為常數(shù)的圖象位于()

A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、四象限D(zhuǎn).第三、四象限

4.如圖是小麗和小歐依次進(jìn)入電梯時，電梯因超重而響起“嘀嘀”警示音的過程，且過程中沒有其他人進(jìn)出已知當(dāng)電梯承載的重量超過公斤時響起警示音，小麗、小歐的體重分別為公斤、公斤設(shè)小麗進(jìn)入電梯前電梯已承載的重量為公斤，則的取值范圍是()

A.B.C.D.

5.如圖是一個直三棱柱，它的底面是邊長為、、的直角三角形下列圖形中，是該直三棱柱的表面展開圖的是()

A.

B.

C.

D.

6.如圖，在的點陣中，甲、乙、丙、丁四個玻璃球分別從、、、四個點處同時出發(fā)，按各自箭頭方向做勻速直線運(yùn)動，運(yùn)動秒后分別到達(dá)、、、處，若按照上述方式繼續(xù)運(yùn)動，則第一次發(fā)生碰撞的是()

A.甲和乙B.甲和丙C.甲和丁D.丙和丁

二、填空題（本大題共10小題，共20.0分）

7.數(shù)軸上表示的點與表示的點之間的距離為______．

8.若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是．

9.據(jù)測量，柳絮纖維的直徑約為米，用科學(xué)記數(shù)法表示是______．

10.計算的結(jié)果是______．

11.已知關(guān)于的方程的兩根為和，則______．

12.一個圓錐的側(cè)面積是底面積的倍，則該圓錐的側(cè)面展開圖的扇形圓心角等于______．

13.已知的直徑為，點到圓心的距離為，則經(jīng)過點的最短弦的長度為______．

14.如圖，的頂點在軸上，頂點，在軸上，邊與軸交于點，若，，，則點的坐標(biāo)為______．

15.如圖，點是正五邊形和正三角形的中心，連接，交于點，則的度數(shù)為______

16.如圖，在矩形中，，，是邊上的動點，連接，過點作，與邊交于點，連接，則的最小值為______．

三、計算題（本大題共1小題，共7.0分）

17.解方程：．

四、解答題（本大題共10小題，共81.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

18.本小題分

先化簡，再求值：，其中，．

19.本小題分

每年月日為“全國愛眼日”按照國家視力健康標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生視力狀況如下表所示．

類別

視力視力視力視力

健康狀況視力正常輕度視力不良中度視力不良重度視力不良

為了解某學(xué)校學(xué)生視力狀況，隨機(jī)抽查了若干名學(xué)生進(jìn)行視力檢測，整理樣本數(shù)據(jù)，得到下列統(tǒng)計圖

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

本次抽查的學(xué)生中，視力狀況屬于類的學(xué)生有______人，類所在扇形的圓心角的度數(shù)是______；

對于本次抽查的學(xué)生視力數(shù)據(jù)，中位數(shù)所在類別為______類；

已知該校共有名學(xué)生，請估計該校“中度視力不良”和“重度視力不良”的學(xué)生總?cè)藬?shù)．

20.本小題分

有四根細(xì)木棒，它們的長度分別為，，，．

從中任取兩根，求長度恰好相等的概率．

從中任取三根，恰好能搭成一個三角形的概率為______．

21.本小題分

如圖，在中，，，垂足為是上一點，且，過點作，與交于點．

證明≌；

若是的中點，，則的面積為______．

22.本小題分

如圖，投影儀鏡頭看成一個點離地面的距離為，投影在墻上的像的高度為，經(jīng)測量，鏡頭到像頂端的仰角為，到像底端的俯角為，求像底端到地面的距離參考數(shù)據(jù)：，

23.本小題分

如圖，在中，，平分，過點作，與交于點，過點作，與交于點．

判斷四邊形的形狀，并說明理由；

若，，則的長為______．

24.本小題分

如圖，一塊周長為的矩形鐵皮，如果在該鐵皮的四個角上截去四個邊長為的小正方形，然后把四邊折起來，做成一個無蓋的長方體鐵盒．

要使鐵盒的容積為，求矩形鐵皮的長和寬；

要使鐵盒的容積最大，矩形鐵皮的長和寬應(yīng)為多少？最大容積是多少？

25.本小題分

在平面直角坐標(biāo)系中，將點先向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度得到點．

求直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

將直線______可以得到函數(shù)的圖象填寫所有正確的序號

向右平移個單位長度；

向下平移個單位長度；

繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)；

先向左平移個單位長度，再向下平移個單位長度．

26.本小題分

如圖，是的外接圓，，，是的切線，切點分別為，．

求證∽；

若，，

求的半徑：

連接，與交于點，連接，，則______．

27.本小題分

已知函數(shù)為常數(shù)．

若，，求該函數(shù)圖象與軸的兩個交點之間的距離；

若函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，將該函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到新函數(shù)的圖象，且這兩個函數(shù)圖象與軸的四個交點中任意相鄰兩點之間的距離都相等．

若函數(shù)的圖象如圖所示，直接寫出新函數(shù)的表達(dá)式；

若函數(shù)的圖象經(jīng)過點，當(dāng)時，求，的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，

．

故選：．

根據(jù)算術(shù)平方根定義解答．

此題考查了算術(shù)平方根的定義：若一個正數(shù)的平方等于，則是的算術(shù)平方根，熟記定義是解題的關(guān)鍵．

2.【答案】

【解析】解：，故A不符合題意；

，故B不符合題意；

，故C符合題意；

，故D不符合題意；

故選：．

根據(jù)合并同類項，積的乘方與冪的乘方法則，單項式乘除法則，逐項判斷可得答案．

本題考查整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握整式相關(guān)的運(yùn)算法則．

3.【答案】

【解析】解：，

反比例函數(shù)為常數(shù)的圖象位于第一、三象限．

故選B．

先根據(jù)一個數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)的特點確定比例系數(shù)，再利用反比例函數(shù)的性質(zhì)求解．

本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)：

當(dāng)時，圖象分別位于第一、三象限；

當(dāng)時，圖象分別位于第二、四象限．

4.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意得：，

解得：．

故選：．

根據(jù)“小麗進(jìn)入電梯后不超重，小歐進(jìn)入電梯后超重”，可列出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍．

本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．

5.【答案】

【解析】解：選項中，展開圖下方的直角三角形中的直角邊不能與其它棱完全重合，不合題意；

選項中，展開圖上下兩個直角三角形中的直角邊不能與其它棱完全重合，不合題意；

選項中，展開圖下方的直角三角形中的直角邊不能與其它棱完全重合，不合題意；

選項中，展開圖能折疊成一個三棱柱，符合題意；

故選：．

三棱柱的側(cè)面展開圖是長方形，底面是三角形，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．

本題主要考查了幾何體的展開圖，從實物出發(fā)，結(jié)合具體的問題，辨析幾何體的展開圖，通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀念，是解決此類問題的關(guān)鍵．

6.【答案】

【解析】解：各個球繼續(xù)運(yùn)動如圖示：

由圖示得：甲和乙不相撞；

甲和丙經(jīng)過秒相撞；

甲和丁不相撞；

丙和丁不相撞，

故選：．

先畫各個球的運(yùn)動路徑，再根據(jù)圖示求解．

本題考查了圖形的變化類，找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

7.【答案】

【解析】解：．

故答案為：．

用數(shù)軸上右邊的數(shù)減去左邊的，再根據(jù)減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)進(jìn)行計算即可求解．

本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離的求解，用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)進(jìn)行計算即可，比較簡單．

8.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)解答即可．

【解答】

解：由題意可知：，

．

故答案為：．

9.【答案】

【解析】解：，

故答案為：．

將一個數(shù)表示成的形式，其中，為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法，據(jù)此即可得出答案．

本題考查科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，科學(xué)記數(shù)法是基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．

10.【答案】

【解析】解：原式．

先分母有理化，再合并同類二次根式．

本題考查了二次根式的加減法運(yùn)算，掌握二次根式的化簡及合并同類二次根式是解題的關(guān)鍵．

11.【答案】

【解析】解：

關(guān)于的方程的兩根為和，

，，

，，

，

故答案為：．

由根與系數(shù)的關(guān)系可分別求得、的值，代入則可求得答案．

本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程兩根之和等于、兩根之積等于是解題的關(guān)鍵．

12.【答案】

【解析】解：設(shè)母線長為，底面半徑為，

底面周長，底面面積，側(cè)面面積，

側(cè)面積是底面積的倍，

，

，即，

設(shè)圓心角為，有，

．

故答案為：．

根據(jù)圓錐的側(cè)面積是底面積的倍可得到圓錐底面半徑和母線長的關(guān)系，利用圓錐側(cè)面展開圖的弧長底面周長即可得到該圓錐的側(cè)面展開圖的扇形圓心角度數(shù)．

本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計算．解題思路：解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應(yīng)關(guān)系：圓錐的母線長等于圓錐側(cè)面展開圖的扇形半徑；圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長，以及利用扇形面積公式求解是解題的關(guān)鍵．

13.【答案】

【解析】解：與垂直的弦最短．證明如下：

過點任作一條弦，作垂直于，垂足為，連接，

，

，

在中，，即，

，

，

弦最短，

故答案為：．

與垂直的弦最短，利用勾股定理求．

本題考查了垂徑定理，弄清與垂直的弦最短是關(guān)鍵．

14.【答案】

【解析】解：，，

，

，

，

，

，，，

四邊形是平行四邊形，

，

過點作軸于點，

，，

，

，

故答案為：

求出，，，由平行四邊形的性質(zhì)得出，過點作軸于點，求出，，求出的長，則可得出答案．

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

15.【答案】

【解析】解：如圖，連接、、、，

五邊形是的內(nèi)接正五邊形，

，

，

是的內(nèi)接正三角形，

，

根據(jù)對稱性可知，，

，

，

故答案為：．

根據(jù)正多邊形的中心角的計算方法分別求出，，，進(jìn)而求出的度數(shù)，由圓周角定理和三角形內(nèi)角和定理即可求出答案．

本題考查正多邊形和圓，三角形內(nèi)角和定理以及圓周角定理，掌握正三角形、正五邊形的性質(zhì)以及圓周角定理是正確解答的前提．

16.【答案】

【解析】解：的長為，則，的長為，

，，，

，

，，

，

∽，

，即，

，

，

當(dāng)時，，此時為最小，

．

故答案為：．

根據(jù)垂直的定義得到，再根據(jù)等角的余角相等得到，根據(jù)三角形相似的判定得到∽，利用相似比得到與之間的函數(shù)關(guān)系式，由關(guān)系頂點式即可求得．

本題考查了相似三角形的性質(zhì)和二次函數(shù)的最大值，關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合的熟練應(yīng)用．

17.【答案】解：去分母得：，

移項合并得：，

經(jīng)檢驗是分式方程的解．

【解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．

此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．

18.【答案】解：原式

，

當(dāng)，時，原式．

【解析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，將與的值代入計算即可求出值．

此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．

19.【答案】

【解析】解：觀察兩個統(tǒng)計題知：類有人，占，

所以調(diào)查的總?cè)藬?shù)為人，

所以視力情況屬于類的學(xué)生有人，

類所在扇形的圓心角的度數(shù)為，

故答案為：，；

每類人數(shù)分別為人，人，人，人，共人，

所以中位數(shù)為第人和第人的平均數(shù)，均落在了類，

所以本次抽查的學(xué)生視力數(shù)據(jù)，中位數(shù)所在類別為類，

故答案為：．

人，

所以估計該?！爸卸纫暳Σ涣肌焙汀爸囟纫暳Σ涣肌钡膶W(xué)生總?cè)藬?shù)為人．

首先利用組的人數(shù)和所占的百分比求得總?cè)藬?shù)，然后乘以類所占的百分比即可求得類學(xué)生的人數(shù)；

用周角乘以類所占的百分比即可；

用樣本數(shù)據(jù)估計總體數(shù)據(jù)即可．

本題考查扇形統(tǒng)計圖、統(tǒng)計表、中位數(shù)以及用樣本估計總體等知識，關(guān)鍵是從扇形統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表中找出相應(yīng)的數(shù)據(jù)．

20.【答案】

【解析】解：列表如下：

由表知，共有種等可能結(jié)果，其中長度恰好相等的有種結(jié)果，

所以長度恰好相等的概率為；

從中任取三根，有、、、這種等可能結(jié)果，其中恰好能搭成一個三角形的有種結(jié)果，

所以恰好能搭成一個三角形的概率為，

故答案為：．

列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可；

列舉出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．

本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出，再從中選出符合事件或的結(jié)果數(shù)目，然后根據(jù)概率公式求出事件或的概率．也考查了三角形三邊的關(guān)系．

21.【答案】

【解析】證明：，，

，

，

，，

，

在與中，

，

≌；

解：由可知≌，

，

連接，

是的中點，

，，

是等邊三角形，

，

，

，

，

的面積，

故答案為：．

根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用證明≌解答；

連接，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的面積公式解答．

此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)證明≌解答．

22.【答案】解：過點作，垂足為，

由題意得：，

設(shè)，

在中，，

，

在中，，

，

，

，

解得：，

，

，

像底端到地面的距離約為．

【解析】過點作，垂足為，根據(jù)題意可得：，然后設(shè)，分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和的長，從而列出關(guān)于的方程，進(jìn)行計算可求出的長，最后利用線段的和差關(guān)系，進(jìn)行計算即可解答．

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．

23.【答案】

【解析】解：四邊形是菱形，理由如下：

，，

四邊形是平行四邊形，

平分，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

四邊形是菱形；

，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

∽，

：：，

，

，

舍去負(fù)值．

故答案為：．

先證得四邊形是平行四邊形，再根據(jù)角平分線的定義結(jié)合平行線和等腰三角形的性質(zhì)證得，即可證得結(jié)論；

由∽，推出：：，得到，因此，即可求出．

本題考查菱形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)推出；證明∽，得到．

24.【答案】解：設(shè)矩形鐵皮的長為，則寬為，

由圖知，鐵盒的長為，寬為，

根據(jù)題意得：，

整理得：．

解得，舍，

矩形鐵皮的長為，寬為；

設(shè)鐵盒的容積為，

根據(jù)題意得：，

，

當(dāng)時，有最大值，最大值為，

此時，

矩形鐵皮的長和寬應(yīng)各位時，容積最大，最大容積為．

【解析】設(shè)矩形鐵皮的長為，則寬為，然后根據(jù)題意求出鐵盒的長和寬，再根據(jù)長寬高列出方程，解方程即可；

設(shè)鐵盒的容積為，然后根據(jù)長方體的體積公式寫出函數(shù)解析式，由函數(shù)的性質(zhì)求出最值．

本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是找到等量關(guān)系列出函數(shù)解析式或方程．

25.【答案】

【解析】解：將點先向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度得到點，則點的坐標(biāo)為，

設(shè)直線的解析式為，

代入，得，

解得，

直線的解析式為；

將直線向右平移個單位長度得到；

將直線向下平移個單位長度得到；

將直線繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到；

將直線先向左平移個單位長度，再向下平移個單位長度得到；

故答案為：．

求得點的坐標(biāo)，然后利用待定系