第4章-矩陣的秩與n維向量空間

PAGEPAGE25第4章矩陣的秩與維向量空間本章主要內(nèi)容：n維向量的概念與線性運算向量組的線性相關(guān)線性無關(guān)的概念及其有關(guān)的重要理論向量組的最大無關(guān)組向量組的秩矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系向量空間與子空間基底與維數(shù)向量的坐標(biāo)與坐標(biāo)變換公式向量的內(nèi)積正交矩陣教學(xué)目的及要求：理解n維向量的概念，掌握向量的線性運算．理解向量組的線性相關(guān)，線性無關(guān)的定義及有關(guān)的重要結(jié)論．理解向量組的最大無關(guān)組與向量組的秩，理解矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系，并掌握用初等變換求向量組的秩．理解基礎(chǔ)解系的概念，了解n維向量空間及子空間，基底，維數(shù)，坐標(biāo)等概念．掌握向量的內(nèi)積及其性質(zhì)、向量的長度及其性質(zhì)、正交向量、正交向量組及其性質(zhì)、正交規(guī)范化方法以及正交矩陣及其性質(zhì)．教學(xué)重點：向量組的線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念及其有關(guān)的重要理論；向量組的正交規(guī)范化的方法；正交矩陣的概念及其性質(zhì)．教學(xué)難點：向量組的線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念及其有關(guān)的重要理論；施密特正交化方法及應(yīng)用教學(xué)方法：啟發(fā)式教學(xué)手段：講解法教學(xué)時間：8學(xué)時教學(xué)過程：

4．1矩陣的秩矩陣的秩是矩陣的一個重要的數(shù)字特征，是矩陣在初等變換下的一個不變量，它能表述線性代數(shù)變換的本質(zhì)特性，矩陣的秩在研究維向量空間的空間結(jié)構(gòu)及向量之間的相互關(guān)系中起著重要的作用．定義4．１設(shè)是一個矩陣，任取的行與列()，位于這些行列交叉處的個元素，按原來的次序所構(gòu)成的階行列式，稱為矩陣的階子式．矩陣的階子式共有個．定義4．2設(shè)是一個矩陣，如果中至少存在一個非零的階子式，且所有階子式（如果存在的話）全為零，那么稱為矩陣的最高階非零子式，數(shù)稱為矩陣的秩，記作．并規(guī)定零矩陣的秩等于0．由上述定義可知：（1）是的非零子式的最高階數(shù)；（2）；（3）；（4）對于階方陣，有．例4．1求矩陣和的秩，其中，．解由于，因此．由于的所有3階子式全為零，顯然是的一個二階非零子式，因此．對于行、列數(shù)較多的矩陣，用秩的定義計算，有時要計算很多個行列式，工作量相當(dāng)大．此時，通常用初等變換來計算．下面介紹這種方法，為此，先證明一個很重要的定理．定理4．1若，則．證先證明：若經(jīng)一次初等行變換變?yōu)?，則．設(shè)，且的某個階子式．設(shè)D是由矩陣A中的第，，…，行與第，，…，列交叉元組成的，經(jīng)一次初等行變換變?yōu)?，變換后的D在B中的位置為第，，…，行與第，，…，列，有這些行列交叉元組成的r階子式記作，顯然，是由經(jīng)過一次初等變換得到的，從可推出，從而．由于亦可經(jīng)一次初等變換變?yōu)?，故也有，因此．從而，若，則．于是，，則，故．由此得證，若，則．證畢．例4．2設(shè)求，并求的一個最高階非零子式．解由于，顯然，因此．可見，，顯然，，所以，故中必有3階非零子式．的前三行構(gòu)成的子式：也是的一個最高階非零子式．例4．3設(shè)，，問取何值，可使（1）；（2）；（3）．解由于因此當(dāng)且時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，．矩陣的秩的性質(zhì)：①．②．③若，則．④若、可逆，則．⑤．特別地，當(dāng)為列向量時，有．證由于的最高階非零子式也是的非零子式，所以．同理有．從而．設(shè)．則和列階梯形和中分別含有個和個非零列．因為，所以．由于中只含有個非零列所以，而，故，即．⑥．證顯然，故⑦．證設(shè)．又設(shè)的行階梯形為，的列階梯形為，則存在可逆矩陣和使．因為，所以．由于有個非零行有個非零列，因此至多有個非零行和個非零列．故，即．⑧若，則．證設(shè)矩陣秩為r，顯然，對矩陣存在可逆矩陣和使，，設(shè)，則＝＝所以，至多有n行不全為零，例4．4設(shè)階矩陣滿足為階單位陣，證明：證由，知，由性質(zhì)8，有由于，由性質(zhì)6，有而，所以．

4．2維向量定義4．3個有次序的數(shù)所組成的數(shù)組稱為維向量，記為或其中稱為向量或的第個分量．分量全為實數(shù)的向量稱為實向量，分量為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量．向量稱為列向量，向量稱為行向量．列向量用黑體小寫字母等表示，行向量則用等表示．如無特別聲明，向量都當(dāng)作列向量．維向量可以看作矩陣，按矩陣的運算規(guī)則進(jìn)行運算．維向量的全體所組成的集合叫做維向量空間．維向量的集合叫做維向量空間中的維超平面．若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組．矩陣的列向量組和行向量組都是只含有限個向量的向量組；反之，一個含有限個向量的向量組總可以構(gòu)成一個矩陣，例如，個維列向量所組成的向量組構(gòu)成一個矩陣個維行向量所組成的向量組構(gòu)成一個矩陣綜上所述，含有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)．定義4．4給定向量組，對于任何一組實數(shù)，表達(dá)式稱為向量組的一個線性組合，稱為其系數(shù)．給定向量組和向量，如果存在一組數(shù)，使，則稱向量可由向量組線性表示．向量可由向量組線性表示，也就是方程組有解．向量組稱為維單位坐標(biāo)向量．對任一維向量，有例4．6設(shè)證明：向量可由向量組線性表示，并求出表示式．證由于所以向量可由向量組線性表示，且表示式為定義4．5設(shè)有兩個向量組及，若組中的每個向量都可由向量組線性表示，則稱向量組可由向量組線性表示．若向量組與向量組可相互線性表示，則稱這兩個向量組等價．

4．3向量組的線性相關(guān)性定義4．6給定向量組，如果存在不全為零的數(shù)，使則稱向量組是線性相關(guān)的，否則稱為線性無關(guān)．向量組構(gòu)成矩陣，向量組線性相關(guān)，就是齊次線性方程組即有非零解．例4．7維單位坐標(biāo)向量組線性無關(guān)．證設(shè)有數(shù)使，即故，所以線性無關(guān)．例4．8設(shè)，證明：向量組線性相關(guān)．證由于，所以向量組線性相關(guān)．例4．9設(shè)維向量組線性無關(guān)，為階可逆矩陣，證明：也線性無關(guān)．證用反證法．如若不然，假設(shè)線性相關(guān)，則齊次方程組有非零解．上式兩邊左乘可得也有非零解，于是線性相關(guān)，這與題設(shè)相矛盾．因此線性無關(guān)．下面給出線性相關(guān)和線性無關(guān)的一些重要結(jié)論．定理4．2向量組線性相關(guān)的充要條件是在向量組中至少有一個向量可由其余個向量線性表示．證必要性．設(shè)向量組線性相關(guān)，則有不全為0的數(shù)（不妨設(shè)），使從而即可由線性表示．充分性．設(shè)向量組中有某個向量可由其余個向量線性表示，不妨設(shè)可由線性表示，即有，使于是因為這個數(shù)不全為0，所以向量組線性相關(guān)．定理4．3若向量組線性相關(guān)，則向量組也線性相關(guān)．換言之，若向量組線性無關(guān)，則向量組也線性無關(guān)．證由于向量組線性相關(guān)，所以存在不全為零的個數(shù)，使從而且這個數(shù)不全為零．因此，線性相關(guān)．定理4．4設(shè)向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則向量必可由向量組唯一地線性表示．證由于向量組線性相關(guān)，所以存在不全為零的個數(shù)，使如，則必不全為零，于是這與向量組線性無關(guān)矛盾，所以．故設(shè)有，兩式相減，則有由向量組線性無關(guān)，．即．所以，向量可由向量組唯一地線性表示．定理4．5向量組線性相關(guān)．換言之，向量組線性無關(guān)．證必要性．設(shè)向量組線性相關(guān)，則存在不全為零的個數(shù)（不妨設(shè)），使即對施行初等列變換可將的第列變成０，故，所以充分性．設(shè)，可用列初等變換將化為列階梯形矩陣，即存在可逆矩陣，使得，矩陣的列向量組線性相關(guān)．定理4．6若向量組線性相關(guān)，向量組可由向量組線性表示，則向量組也線性相關(guān)．證向量組可由向量組線性表示，則有即因為矩陣的列向量組線性相關(guān)，所以，由矩陣的秩的性質(zhì)（7）知故B的列向量組線性相關(guān)．推論1若向量組可由向量組線性表示，則向量組線性相關(guān)．證顯然，向量組可由向量組，…，0（s個零向量）線性表示，而向量組線性相關(guān)，由定理4．6，線性相關(guān)．推論2個維向量一定線性相關(guān)．證個維向量組A一定可由線性表示，由推論1立即可的結(jié)論．

4．4向量組的秩矩陣的秩在討論向量組的線性組合和線性相關(guān)性時，起了十分關(guān)鍵的作用．向量組的秩也是一個很重要的概念，它在向量組的線性相關(guān)性問題中同樣起到十分重要的作用．定義4．7給定向量組，如果存在，滿足（1）線性無關(guān)；（2）向量組中任意個向量(如果中有個向量的話)都線性相關(guān)．那么稱向量組是向量組的一個極大線性無關(guān)向量組（簡稱極大無關(guān)組），稱為向量組的秩，記作．規(guī)定：只含零向量的向量組的秩為0．極大無關(guān)組的一個基本性質(zhì)是，向量組的任意一個極大無關(guān)組與是等價的．事實上，顯然組可由組線性表示()．而由定義4．7的條件（2）知，對于中任一向量個向量線性相關(guān)，而線性無關(guān)，由定理4．4知可由線性表示，即組可由組線性表示．所以組與組等價．定理4．7矩陣的秩等于其列向量組的秩，也等于其行向量組的秩．證設(shè)，并設(shè)階子式．根據(jù)定理4．5，由知所在的個列向量線性無關(guān)；又由中所有階子式全為零，知中任意個列向量都線性相關(guān)．因此所在的個列向量是的列向量組的一個極大無關(guān)組，所以列向量組的秩等于．類似可證矩陣的行向量組的秩也等于．例4．10是維向量空間的一個極大無關(guān)組，的秩等于．極大無關(guān)組有如下的等價定義：推論設(shè)向量組是向量組的一個部分組，且滿足（1）線性無關(guān)；（2）中任一向量都可由線性表示．那么是的一個極大無關(guān)組．證任取，由條件（ⅱ）知這個向量可由向量組線性表示，從而根據(jù)定理4．6推論1，知線性相關(guān)．因此，是的一個極大無關(guān)組．設(shè)向量組構(gòu)成矩陣，根據(jù)向量組的秩的定義及定理4．7，有因此，既可理解為矩陣的秩也可理解成向量組的秩．定理4．8如向量組可以被和向量組線性表示，則．證設(shè)向量組和向量組的極大無關(guān)組分別是與，顯然可以被線性表示，如，由定理4．6的推論1，線性相關(guān)，與是極大無關(guān)組矛盾，所以，即．定理4．9設(shè)有兩個同維數(shù)的向量組和向量組，向量組由向量組和向量組合并而成，則向量組可由向量組線性表示的充要條件是．特別地，向量可由向量組線性表示的充要條件是證設(shè)，并設(shè)是是組的一個極大無關(guān)組．必要性．組由組和組合并而成，由于組可由組表示，所以組可由組表示，由定理4．8，，顯然組可由組表示，所以，因此，．充分性．任?。捎冢?，知向量組線性相關(guān)，而向量組線性無關(guān)，由定理4．8，知可由組表示，所以可由組表示．由的任意性，于是組可由組表示．推論設(shè)和是兩個同維數(shù)的向量組，向量組由向量組和向量組合并而成，則向量組與向量組等價的充分必要條件是．例4．11設(shè)維向量組構(gòu)成矩陣．證明：任一維向量可由向量組線性表示的充要條件是．證必要性．由于任一維向量可由向量組線性表示，故向量組可由向量組線性表示，從而根據(jù)定理4．9有．而，所以，因此．充分性．設(shè)是任一維向量，由于，故，所以由定理4．9知可由向量組線性表示．例4．12設(shè)矩陣求矩陣的列向量組的一個極大無關(guān)組，并把不屬于極大無關(guān)組的列向量用極大無關(guān)組線性表示．解由于而方程與同解，即方程 與同解，因此向量之間與向量之間有相同的線性關(guān)系．而是的一個極大無關(guān)組，且所以是的一個極大無關(guān)組，且

4．5向量空間前面把維向量的全體所構(gòu)成的集合稱為維向量空間．本節(jié)介紹向量空間的一般概念．定義4．8設(shè)為維向量的集合，若非空，且對于加法及數(shù)乘兩種運算封閉，即：有．則稱為向量空間．定義4．9設(shè)有向量空間及，若，就稱是的子空間．例4．13是一個向量空間．例4．14集合是一個向量空間．它是的一個子空間．例4．15集合不是一個向量空間．定義4．10設(shè)為向量空間，如果滿足（1）線性無關(guān)；（2）中任一向量都可由線性表示．那么，向量組就稱為向量空間的一個基，稱為向量空間的維數(shù)，并稱為維向量空間．例4．16設(shè)有維向量組，集合是一個向量空間．的任一最大無關(guān)組是的一個基．向量空間稱為由向量組所生成的向量空間．例4．17設(shè)向量組與向量組等價記則．容易得出如下結(jié)論：（1）若向量空間沒有基，則的維數(shù)為0．0維向量空間只含一個零向量．（2）若向量空間，則的維數(shù)不會超過，并且，當(dāng)?shù)木S數(shù)為時，．（3）若向量組是向量空間的一個基，則例4．18設(shè)，求由向量組所生成的向量空間的一個基和維數(shù)，并將中的非基向量用這個基線性表示．解由于所以所生成的向量空間的維數(shù)是2，是這個向量空間的一個基，且有例4．19在中取定一個基，再取一個新基，設(shè)求用表示的表示式（基變換公式），并求向量在兩個基中的坐標(biāo)之間的關(guān)系式（坐標(biāo)變換公式）．解由得故即基變換公式為其中：表示式的系數(shù)矩陣稱為從舊基到新基的過渡矩陣．設(shè)向量在舊基和新基中的坐標(biāo)分別為和，即，則于是即這就是從舊坐標(biāo)到新坐標(biāo)的坐標(biāo)變換公式．

4．6向量的內(nèi)積正交矩陣定義4．11設(shè)有維向量，，令稱為向量與的內(nèi)積．當(dāng)與都是列向量時，有．內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中為維向量，為實數(shù)）：（1）；（2）；（3）；（4）當(dāng)時，；當(dāng)時，．這些性質(zhì)可根據(jù)內(nèi)積定義直接證明．定義4．12令稱為維向量的長度（或范數(shù)）．當(dāng)時稱為單位向量．向量的長度具有下述性質(zhì)：（1）非負(fù)性當(dāng)時，；當(dāng)時，；（2）齊次性；（3）三角不等式．證（1）與（2）是顯然的，只需證明（3）．因為所以上面證明中用到了許瓦茲不等式．即當(dāng)，時，事實上，由于因此而，，所以．由上述可得如下的定義：（1）當(dāng)，時，稱為維向量與的夾角．（2）當(dāng)時，稱向量與正交．顯然，若，則與任何向量都正交．定理4．10若維向量是一組兩兩正交的非零向量，則線性無關(guān)．證設(shè)有，使以左乘上式兩端，得，因，故從而必有．于是向量組線性無關(guān)．定義4．13設(shè)維向量是向量空間的一個基，如果兩兩正交，且都是單位向量，則稱是的一個規(guī)范正交基．例如，就是的一個規(guī)范正交基．為了計算方便，我們常常需要從向量空間的一個基出發(fā)，找出的一個規(guī)范正交基，使與等價．這樣一個問題，稱為把這個基規(guī)范正交化．施密特正交化設(shè)是向量空間中的一個基，首先將正交化：，然后將單位化：容易驗證，是的一個規(guī)范正交基，且與等價．上述從線性無關(guān)向量組導(dǎo)出正交向量組的過程稱為施密特正交化過程．它滿足：對任何，向量組與等價．例4．20試用施密特正交化過程將線性無關(guān)向量組規(guī)范正交化．解取，再取，，即為所求．定義4．14若階方陣滿足（即），則稱為正交矩陣，簡稱正交陣．正交陣有下述性質(zhì)：（1）若為正交陣，則也是正交陣，且；（2）若和都是正交陣，則也是正交陣；（3）方陣為正交陣的充要條件是的個列（行）向量構(gòu)成向量空間的一個規(guī)范正交基．證性質(zhì)（1）、（2）顯然成立．下面證明性質(zhì)（3）．只就列向量加以證明．設(shè)，因為所以即為正交陣的充要條件是的個列向量構(gòu)成向量空間的一個規(guī)范正交基．定義4．15若為正交陣，則線性變換稱為正交變換．設(shè)為正交變換，則有由此可知，經(jīng)正交變換兩點間的距離保持不變，這是正交變換的優(yōu)良特性．

4．7秩的計算、向量的正交化實驗1．矩陣秩的計算矩陣秩的計算是調(diào)用函數(shù)rank（）>>A=[-10，4，-6，8;4，-1，6，-2;5，7，9，-6;0，9，6，-2]A=－104-684-16-2579-6096-2>>rank（A）ans=3向量組a，b，c，d的秩可用下列語句求出：>>rank（[abcd]）2．向量組的線性相關(guān)性與最大無關(guān)組對于一個m個向量組A是否線性相關(guān)，我們可以通過求向量組的秩來判斷，如果rank(A)=m，則線性無關(guān)，如果rank(A)<m，則線性相關(guān)．例如，鍵入a，b，c，d四個向量>>a=[1-124]';>>b=[0312]';>>c=[-33714]';>>d=[4-1918]';將a，b，c，d并為一個矩陣u：>>u=[abcd]>>rank(u)ans=3u的秩為3，所以組a，b，c，d線性相關(guān)．而使用下列語句，不僅可以求出u的行標(biāo)準(zhǔn)階梯矩陣，還給出了線性無關(guān)向量組在原矩陣中的列數(shù)，這實際上就是最大無關(guān)組．[uip]=rref（t）u=1004010100100000ip=123這表明u中第1，2，3列向量線性無關(guān)，即向量a，b，c線性無關(guān)3．向量的內(nèi)積與正交性（1）求兩個向量a，b的內(nèi)積，可把a(bǔ)設(shè)為行向量，將b設(shè)為列向量，a與b作矩陣乘法求出a與b的內(nèi)積．>>a=[12-34]';>>b=[2，-348]';>>p=16（2）求向量a的?？烧{(diào)用函數(shù)norm（）>>norm(a)ans=5．4772（3）求向量a和b之間的交角>>thita=acos((a*b')/(norm(a)*norm(b)))thita=1．2630要將線性無關(guān)的向量組a，b，c，d化為標(biāo)準(zhǔn)正交基，可先將向量組并為一個矩陣u，再調(diào)用正交分解程序[Q，R]=qr()，結(jié)果將矩陣u分解為一個正交矩陣Q和一個上三角矩陣的乘積．Q中前4個行向量，相當(dāng)于施密特正交化方法得到的標(biāo)準(zhǔn)正交向量，加上最后一行補(bǔ)充的標(biāo)準(zhǔn)正交向量，構(gòu)成五維線性空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基．例如將線性無關(guān)的向量組a，b，c，d正交化，先對a，b，c，d賦值：>>a=[1-1-111]';>>b=[214-42]';>>c=[5-4-371]';>>d=[3，246-1]’；再補(bǔ)充一個與a，b，c，d線性無關(guān)的向量e：>>e=[23156]’；合并個向量，再調(diào)用語句[Q，R]=qr[u]>>u=[abcde]>>[Q，R]=qr(u)u=12513-11-423-14-3-231-473-112