高一數(shù)學(xué)培優(yōu)專題(已修正)

頁腳頁腳廈大附中高一數(shù)學(xué)培優(yōu)專題（一）知識(shí)要點(diǎn)梳理本節(jié)公式中，sab知識(shí)要點(diǎn)梳理本節(jié)公式中，sab―22010-3-6/13)c-，,r為切圓半徑，R為外接圓半徑，△為三角形面積.一）.三角形中的各種關(guān)系設(shè)△ABC的三邊為a、b、c,對(duì)應(yīng)的三個(gè)角A、B、C.1?角與角關(guān)系：A+B+C=n,2?邊與邊關(guān)系：a+b>c,b+c>a,c+a>b,a－b<c,b－c<a,c－a<b.3?邊與角關(guān)系：它們的變形形式有：a=它們的變形形式有：a=2RsinA,sinAasinBb正弦定理；余弦定理；abc2RsinAsinBsirCc2=a2+b2—2bacosC,b2=a2+C2—2accosB,a2=b2+C2—2bccosA.b2c2a2cosA2bc?3)射影定理:a=b?cosC+c?cosB,b=a?cosC+c?cosA,c=a?cosB+b?cosA.4）面積公式：Slah^absifiabc2a24）面積公式：Slah^absifiabc2a2rs—4Ra)sb)sc)(二)、關(guān)于三角形角的常用三角恒等式：1.三角形角定理的變形由A+B+C=n，知A=n—(B+C)可得出:sinA=sin(B+C),cosA=—cos(B+C).而專T-叱?有:而專T-叱?有:Asin=cos2A.B+Ccos=sin一222.常用的恒等式：1)sinA+sinB+sinC=4cosAcoscos；B

222(2)cosA+cosB+cosC=1+4sin/sinbsinc;TOC\o"1-5"\h\zA—I223)sinA+sinB—sinC=4sin△sinBcos3)~2~2(4)cosA+cosB—cosC=—1+4cosacosBsin?C22了3?余弦定理判定法：如果c是三角形的最大邊，則有：a2+b2>C2。三角形ABC是銳角三角形a^+b2Vc2-三角形ABC是鈍角三角形(三)三角形度量問題：求邊、角、面積、周長及有a2a2+b2=c2三角形ABC是直角三角形關(guān)圓半徑等。條件角角邊邊邊角邊邊邊邊角邊適用定理正弦定理正弦定理或余弦定理余弦定理余弦定理A<90°AM90°aMba<ba>baWba>bsinAa=bsinAa<bsinA一解兩解一解無解一解無解其中“邊邊角”（abA）類型利用正弦定理求角時(shí)應(yīng)判定三角形的個(gè)數(shù)：（四）積化和差公式sinacosp12[sin(a+p)+sin(a-p)]；cosasinp12[sin(a+p)-sin(a-p)]?cosacospsinasinp1_[cos(a+p)+cos(a—p)]；1[cos(a+p)—cos(a—p)](五)和差化積公式a+pa—psina+sinp=2smcos2廠；sina—sinB=2cosa+psina—卩cosa+cosp=2cosa+pa—pcosTOC\o"1-5"\h\za+B.—pcosa—cosp=—2sinsin2廠（一）課前練習(xí)（1）AABC中，A、B的對(duì)邊分別是a、b，且A=60,a=J6,b=4，那么滿足條件的AABCA、有一個(gè)解B、有兩個(gè)解C、無解D、不能確定2)在AABC中,2)在AABC中,A=60°,b=1,面積為j3,a+b+csinAa+b+csinA+sinB+sinC(3)在AABC中,(1+tanA)(1+tanB)=2,則logsinC=2⑷在AABC中，畑分別是角A、B、C所對(duì)的邊，若則ZC=__(a+b+c)(sinA+sinB—sinC)=3asinB，5)在AABC中，若其面積5)在AABC中，若其面積S=則ZC=30a2+b2—c24"答案：⑴C；2)迸(3)-2⑷60⑸30；7)在AABC中，a、b、c是角A、B、C的6）在A7)在AABC中，a、b、c是角A、B、C的對(duì)邊，a=\3cosA=3,則cos2的最大值為(8)在(8)在AABC中AB=1,BC=2,則角C的取值圍是（9）設(shè)O是銳角三角形ABC的外心，若上C=75，且AAOB,ABOC,ACOA的面積滿足關(guān)求ZA-系式S°+S求ZA-AAOBABOC卡ACOA

答案：9)45；O1答案：9)45；O（7）3;2；例題精講：例1.在AABC中，已知a=,b=￡,B=45。。求A、C及c.asinB/3sin45。J3解法一：由正弦定理得：sinA=—bVB=45OVB=45O<90°即b〈a???A=60°或120°當(dāng)A=60o時(shí),當(dāng)A=60o時(shí),C=75°,當(dāng)A=120°時(shí)，C=15°，_bsinC_Qsin75?！o(hù)+Q

sinBsin45。2_bsinC_J2sinl5。_J6-品

sinBsin45。2解法二：設(shè)c=x由余弦定理b2_a2+c2-2accosB將已知條件代入，整理：x將已知條件代入，整理：x2-J6x+1=02+(丘2+(丘J2)2-31+品2Q3+1)解之：x=匹工,b2+c2-a2cosA_—2bc從而A=60°,C=75°

⑵當(dāng)c衛(wèi)―、邊時(shí)同理可求得：A=120。,C=15。2例2?已知三角形的一個(gè)角為60°,面積為10占10占cm2,周長為20cm,求此三角形的各邊長.解析：設(shè)三角形的三邊長分別為a、b、c,B=60°，則依題意得-acsin60-acsin60°cos60°=a2+C2—&2laca+b+c=20

a+b+c—20<b2—a2+c2一acac—40由①式得：b2=[20—(a+c)]2=400+a2+c2+2ac—40(a+c)④將②代入④得400+3ac—40(a+c)=0再將③代入得a+c=13由a+c—13ac—40由a+c—13ac—40解得a1ci—8—5??b=7,b=7所以，此三角形三邊長分別為5cm,7cm,8cm。例3.AABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊.已知tanA+tanB+pF=tanA?tanB?、打,(1)求NC的大?。?2)若。=7,AABC的面2積S=3詣，求a+b的值.△ABCtanA+tanB解析；(1)tanC=—tan(A+B)=——tana?tanB3-(tanA?tanB-1)1-tanA?tanB*?70°<C<180°，^C=60°-7⑵由c二2及余弦定理，得a2+b2—2abcos60°=(7)2.23J3又由Sbc=2absin60°=~2~、a2+b2-ab=49,12111整理得1ab=6.V4.?.(a+b)2=整理得1ab=6.V例4?在AABC中，AB=5,AC=3,D為BC中點(diǎn)，且AD=4,求BC邊長。解析：設(shè)BC邊為x,則由D為BC中點(diǎn),可得BD=DC=蘭，2在AADB中,42+在AADB中,42+G)2-52AD2+BD2一AB2cosADB=2TADTBDx2x4x_22x4x丄2x4xf22解得，x=2,所以，BC邊長為2。例5.例5.在Aabc中，三邊長為連續(xù)的自然數(shù)，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三邊長。解析：設(shè)三角形的三邊長分別為x,x+1,x+2,其中xEN*,又設(shè)最小角為a,則?°?cosaxx+2x+?°?cosasinasin2a2sina-cosa又由余弦定理可得X2=(x+1)2+(x+2)2—2(x+1)(x+2)cosa②將①代入②整理得：X2—3x—4=0解之得x=4,x=—1(舍)所以此三角形三邊長為4,5,6128頁腳8頁腳例6.如圖，在AABC中，AC=2,BC=1cosC='4?(1)求ab的值；(2)求sinin(2A+C(2)求sin解析（I）由余弦定理,AB2=AC2+BC2—2AC.BC.cosC3=4+1—2x2xlx=2.43j/7(II)解：由cosC=4，且o<cg,得sinC=J1-cos2C=冷-由正弦定理，ABBC_BCsinC_JT4=，亦sinA=.…=[sinCsinA解得AB8。所以，cosA=E989sin2A=sin2A?cosA=由倍角公式且辭A=-2沁A=16,故sin(2A+C)=sin2AcosC+cos2AsinC=九,"頁腳頁腳例7liAABC中,ZB=45。，AC二jT0，cosC=2厲,求⑴BC=?（2）若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求中線CD的長度。解析⑴由cosC得sinC川sinA-sin(180-45-C)嶼(cosC+sinC)-需OO2BC-由正弦定理知sinB-?sinA-罟劣-孑加~TAC10AB—?sinC—一2)sinB卩~T

f-2BD-1AB-152由余弦定理知CDBD2+BC2-2BD-BCcosB二+18-2-1-3J2?斗=尹

例8?在銳角AABC中，角AB，C所對(duì)的邊(D求騷2竽(2)若a=(D求騷2竽(2)若a=2,S+sin22的值；解析（1）因?yàn)殇J角△ABC中，A+B+C=冗解析（1）因?yàn)殇J角△ABC中，A+B+C=冗,sinA=所以cosA=i，則;3B＋CB+C丄.Asin2廠tan2h+sin22=―BTCC0S21-cos(B1-cos(B+C)1+cos(B+C)+l(1-cosA)21+cosA17十_=_1—cosA332)因?yàn)镾ABCv又S2)因?yàn)镾ABCv又SABC=2bcsinA=Ac?器△則be=3。將a=2,cosA=3，c=b代入余弦定理:a2=b2+c2—2bccosA中得b4—6b2+9=0解得b=3。

附加題（06卷）如圖，已知△ABC是邊長為1的正三角形，M、N分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，線段MN經(jīng)過AABC的中心G,設(shè)ZMGA兀2兀、=a（—<a<—）33A⑴試將AAGM、AAGN的面積（分別記為S與S）A12表示為a的函數(shù)（2）求『=S_+的最大值與最小值12常見錯(cuò)誤：不會(huì)利用正弦定理順利地將?,S2表示為a的函數(shù)，導(dǎo)致思路受阻。正解（1）因?yàn)镚是邊長為1的正三角形ABC的中心,所以AG=3xf-袒