淺談集合中的數(shù)學(xué)思想方法

第頁(yè)淺談集合中的數(shù)學(xué)思想方法2數(shù)學(xué)中的主要思想方法

分類討論思想。就是從數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性出發(fā),將數(shù)學(xué)對(duì)象分為不同狀況進(jìn)行討論的思想方法,它能充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律,對(duì)同學(xué)從不同方向總結(jié)歸納數(shù)學(xué)知識(shí)幫助極大,促使其所學(xué)知識(shí)更加條理化。

函數(shù)與方程思想。就是從函數(shù)出發(fā),將一些不屬于函數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題,并借助于對(duì)函數(shù)問(wèn)題的研究,使問(wèn)題得以順利解決。通常是按以下思路進(jìn)行的:將實(shí)際問(wèn)題化為函數(shù)問(wèn)題,建立函數(shù)模型,研究建立起來(lái)的函數(shù)模型,得出結(jié)論。在數(shù)學(xué)中,數(shù)列、方程、不等式、絕對(duì)值等問(wèn)題都可借助函數(shù)思想得以解絕;幾何方面的有關(guān)問(wèn)題也可以利用函數(shù)相應(yīng)知識(shí)加以解決。

整體思想。整體思想在數(shù)學(xué)教材中體現(xiàn)特別,例如;(x+y)2+2(x+y)-3=0,求x+y。令z=x+y,則方程變?yōu)?z2+2z-3=0,將x+y看成一個(gè)整體,就充分體現(xiàn)了整體思想。對(duì)培養(yǎng)同學(xué)優(yōu)良思維品質(zhì)大有益處。

化歸思想。化歸思想在數(shù)學(xué)中隨處可見。所謂化歸思想,就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的總稱,是指把待解決的問(wèn)題或復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化,歸結(jié)到已經(jīng)解決的問(wèn)題或者簡(jiǎn)單的問(wèn)題中去。化歸的一般原則是:①化歸目標(biāo)簡(jiǎn)單化原則;②和諧統(tǒng)一性原則(化歸應(yīng)朝著使待解決問(wèn)題在表現(xiàn)形式上趨于和諧,在量、形、關(guān)系方面趨于統(tǒng)一的方向進(jìn)行,使問(wèn)題的條件與結(jié)論表現(xiàn)得更均勻和恰當(dāng));③具體化原則;④標(biāo)準(zhǔn)形式化原則(將待解問(wèn)題在形式上向該類問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式化歸。標(biāo)準(zhǔn)形式是指已經(jīng)建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模式。

數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指把代數(shù)知識(shí)里的"數(shù)'與幾何知識(shí)里的"形'有效結(jié)合起來(lái)進(jìn)行思索,其根本是將數(shù)學(xué)語(yǔ)言與圖形結(jié)合起來(lái)合計(jì)問(wèn)題,從而使題目由抽象變?yōu)橹庇^,或由直觀變?yōu)槌橄?在解題的方法上互相轉(zhuǎn)換,使"數(shù)'與"形'互相交融

3數(shù)學(xué)方法

數(shù)學(xué)思想方法以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，蘊(yùn)涵于知識(shí)之中，是數(shù)學(xué)的精髓，它支撐和統(tǒng)率著數(shù)學(xué)知識(shí)?！步處煛吃谥v授概念、性質(zhì)、定理的過(guò)程中應(yīng)不斷滲透與之相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，讓同學(xué)在掌握知識(shí)的同時(shí)，又能體會(huì)到數(shù)學(xué)思想，從而提升同學(xué)思維能力。在教學(xué)過(guò)程中，要引導(dǎo)同學(xué)主動(dòng)參加結(jié)論的探究、發(fā)現(xiàn)及推導(dǎo)過(guò)程，搞清知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系及其因果關(guān)系，讓同學(xué)親身體驗(yàn)蘊(yùn)含在知識(shí)中的數(shù)學(xué)思想和方法。

分類與整合的思想分類是通過(guò)比較數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，然后依據(jù)某一種屬性將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類的思想方法。分類討論既是是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)方法，又一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，在解題時(shí)，它能避免思維的片面性，確保不遺不漏。整合就是合計(jì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)把注意力和重點(diǎn)放在問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)上，通過(guò)對(duì)其全面深入的觀察和分析，從整體上熟悉問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，把中間互相緊密聯(lián)系著的量作為整體來(lái)處理的思想方法。

解題時(shí)，我們經(jīng)常碰到這種狀況，解到某一步時(shí)，被研究的問(wèn)題包涵了多種狀況，我們不能再按照統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行下去，這就必須要把條件所給出的總區(qū)域劃分成假設(shè)干個(gè)子區(qū)域，然后分別在各個(gè)子區(qū)域內(nèi)進(jìn)行解題，當(dāng)分類解決完這個(gè)問(wèn)題后，再把它們整合在一起，這就是分類與整合的思想。有分有合，先分后合，不僅是分類與整合的思想解決問(wèn)題的主要過(guò)程，也是這種思想方法的本質(zhì)屬性。

這就必須要我們?cè)趯W(xué)習(xí)中熟悉到以下幾點(diǎn)：什么樣的問(wèn)題必須要分類研究;為什么要分類;如何分類;分類后如何研究與最后如何整合等。例如：等比數(shù)列的求和公式就分為q=1和q1兩種狀況;對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性就分為a1，02.2數(shù)形結(jié)合的思想數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即"數(shù)'與"形'兩個(gè)方面。"數(shù)'與"形'之間不是孤立存在的，而是有著密切的聯(lián)系。數(shù)量關(guān)系的研究可以轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究，反之，圖形性質(zhì)的研究可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究，這種解決數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中"數(shù)'與"形'互相轉(zhuǎn)化的思維策略，即是數(shù)形結(jié)合的思想。

4數(shù)學(xué)思想滲透方法

明確基本要求，滲透"層次'教學(xué)?！稊?shù)學(xué)大綱》對(duì)初中數(shù)學(xué)中滲透的數(shù)學(xué)思想、方法劃分為三個(gè)層次，即"了解'、"理解'和"會(huì)應(yīng)用'。在教學(xué)中，要求同學(xué)"了解'數(shù)學(xué)思想有：數(shù)形結(jié)合的思想、分類的思想、化歸的思想、類比的思想和函數(shù)的思想等。這里必須要說(shuō)明的是，有些數(shù)學(xué)思想在教學(xué)大綱中并沒(méi)有明確提出來(lái)，比如：化歸思想是滲透在學(xué)習(xí)新知識(shí)和運(yùn)用新知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程中的，方程(組)的解法中，就貫穿了由"一般化'向"特別化'轉(zhuǎn)化的思想方法。教師在教學(xué)過(guò)程中要激發(fā)同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲，通過(guò)獨(dú)立思索，不斷追求新知，發(fā)現(xiàn)、提出、分析并創(chuàng)造性地解決問(wèn)題。在教學(xué)中，要認(rèn)真把握好"了解'、"理解'、"會(huì)應(yīng)用'這三個(gè)層次。不能隨意將"了解'的層次提升到"理解'的層次，把"理解'的層次提升到"會(huì)應(yīng)用'的層次，否則，同學(xué)初次接觸就會(huì)感到數(shù)學(xué)思想、方法抽象難懂，高深莫測(cè)，從而導(dǎo)致他們失去信心。

從"方法'了解"思想'，用"思想'指導(dǎo)"方法'。在初中數(shù)學(xué)中，許多數(shù)學(xué)思想和方法是一致的，兩者之間很難分割。它們既相輔相成，又互相蘊(yùn)含。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，強(qiáng)化同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)方法的理解和應(yīng)用，以達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)思想的了解，是使數(shù)學(xué)思想與方法得到交融的有效方法。比如化歸思想，可以說(shuō)是貫穿于整個(gè)初中階段的數(shù)學(xué)，具體表現(xiàn)為從未知到已知的轉(zhuǎn)化、一般到特別的轉(zhuǎn)化、局部與整體的轉(zhuǎn)化，課本引入了許多數(shù)學(xué)方法，在教學(xué)中，通過(guò)對(duì)具體數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)，使同學(xué)逐步領(lǐng)會(huì)這些數(shù)學(xué)思想;同時(shí)，數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)，又深入了數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用。這樣處置，使"方法'與"思想'珠聯(lián)璧合，將革新思維和革新精神寓于教學(xué)之中，教學(xué)才干卓有成效。

保持鉆研教材，層次滲透的原則。《數(shù)學(xué)大綱》對(duì)初中數(shù)學(xué)中滲透的數(shù)學(xué)思想和方法劃分為三個(gè)層次，即"了解"'理解'和"會(huì)應(yīng)用'。要認(rèn)真把握好"了解'"理解"'會(huì)應(yīng)用'這三個(gè)層次。滲透層次數(shù)學(xué)教學(xué)思想和方法經(jīng)常蘊(yùn)含于教材之中，在熟悉教材、鉆研教材的基礎(chǔ)上去體會(huì)隱含于教材字里行間的數(shù)學(xué)思想和方法。如初一"用字母表示數(shù)的變?cè)枷?方程思想，從數(shù)到式的過(guò)渡，是由特別到一般，由具體到抽象的飛躍。

在展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用過(guò)程中，提煉數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的過(guò)程也是其思想方法產(chǎn)生的過(guò)程。在此過(guò)程中，向同學(xué)提供豐富的、典型的、正確的直觀背景材料，采