函數(shù)的極限與連貫性

函數(shù)的極限與連貫性第1頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月前面討論了數(shù)列xn=f(n)的極限,它是函數(shù)極限中的特殊情形,特殊性在于:n只取自然數(shù),且n趨于無窮大.現(xiàn)在討論y=f(x)的極限,自變量x大致有兩種變化形式.(1)x,(2)xx0(有限數(shù)).并且,x不是離散變化的,而是連續(xù)變化的.第一節(jié)函數(shù)的極限第2頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月一、x時,f(x)的極限定義1.設(shè)f(x)在(M,+)內(nèi)有定義,也可記為f(x)a,(x+)若>0,X>0,當x>X(或x<X)時,相應(yīng)的函數(shù)值f(x)滿足|f(x)a|<.則稱常數(shù)a為f(x)當x+時的極限,記作(或())(或x)也可記為f(x)a,(x))第3頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月此時也稱當x+(x–)時,f(x)的極限存在.否則,稱它的極限不存在.若>0,X>0,當x>X(或x<X)時,有|f(x)a|<.若>0,正整數(shù)N,使得當n>N時,都有|xna|<,第4頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月注1.

將這個定義和數(shù)列極限定義相比較,就是將xn=f(n)換成了f(x).將“正整數(shù)N”換成“實數(shù)X>0”.但是,數(shù)列極限中n是離散變化的,而這里x是連續(xù)變化的.第5頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.證明其中0<a<1.證:

0<<1,要使|ax0|=ax<.看圖.y=ax1yx0xxy只須若>0,X>0,當x>X(或x<X)時,有|f(x)a|<.第6頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月定義2.設(shè)f(x)在(,M)(M,+)內(nèi)有定義.若

>0,X>0,當|x|>X時,相應(yīng)的函數(shù)值滿足|f(x)a|<則稱a為

f(x)當x時的極限,由定義1,2可知記作第7頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月直觀地, 表示當自變量x無限增大時,曲線y=f(x)上的對應(yīng)點的縱坐標f(x)會無限接近于數(shù)a.從而曲線y=f(x)會越來越貼近直線y=a.即,當x無限增大時,曲線y=f(x)以直線y=a為漸近線.第8頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月如圖axyoy=f(x)第9頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月任作直線y=a.(>0),都存在X>0.當x>X時,函數(shù)y=f(x)的圖形夾在這兩直線之間.如圖axyoa+aXy=f(x)第10頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月直觀地,這個式子表示當x<0且|x|無限增大時,函數(shù)y=f(x)圖象以y=a為漸近線.按定義,作直線y=a.(>0),存在X>0.當x<X時,y=f(x)的圖形夾在兩直線y=a之間.如圖axyoa+aXy=f(x)第11頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月按定義,作直線y=a.(>0),存在X>0.當|x|>X時,y=f(x)的圖形夾在兩直線y=a之間.如圖axyoa+aXX第12頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月比如,由y=arctgx的圖象xyoy=arctgx第13頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月二、當xx0時,f(x)的極限若當xx0時,對應(yīng)的函數(shù)值f(x)a,則稱a是f(x)當xx0時的極限,f(x)a可用|f(x)a|<刻劃,如何用精確的數(shù)學而xx0則可用|x

x0|<刻劃.語言刻劃這一事實?第14頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月定義3.設(shè)f(x)在x0的某個去心鄰域?(x0)內(nèi)有定義,此時也稱當xa時,f(x)的極限存在,若>0,>0,當0<|xx0|<時,相應(yīng)的函數(shù)值f(x)滿足

|f(x)a|<,則稱常數(shù)a為f(x)的當xx0時的極限,記作否則,稱當xa時,f(x)的極限不存在.第15頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月注1.與數(shù)列極限定義比較:將“xn=f(n)”換成f(x),將“N”換成“>0”,將“n>N”換成“0<|xx0|<”.若>0,正數(shù)數(shù)N,使得當n>N時,都有|xna|<,>0,>0,當0<|xx0|<時,|f(x)a|<,則記第16頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月而現(xiàn)在xx0,“0<|xx0|<”表示了這一意思.這是因為在數(shù)列極限中.n.而“n>N”表示了n充分大這一意思.第17頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月注2.定義中“0<|xx0|<”.表示xx0.例2.設(shè)c為常數(shù),則例3.

xx0總表示x無限接近x0,但xx0這一意思.因此,f(x)在x0是否有定義與f(x)在x0是否有極限無關(guān).>0,>0,當0<|xx0|<時,|f(x)a|<,則記第18頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.證明證:

>0,要使|f(x)–2|<,只須|x–1|<.(本例說明f(x)在x0無定義,但其極限可能存在)取=.則當0<|x1|<時,有|f(x)–2|<,故>0,>0,當0<|xx0|<時,有|f(x)a|<,第19頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月看圖.yx012xxxyyy=f(x)x11第20頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月證：

>0,|x31|=|(x1)(x2+x+1)|=|x1||x2+x+1|因x1,故不妨設(shè)0<|x1|<1,即0<x<2故|x2+x+1|=x2+x+1<4+2+1=7從而|x31|<7|x1|.例5.考慮第21頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月要使|x31|<,只須7|x1|<,即|x1|<即可.取=min

(,1),則當0<|x1|<時,(有|x1|<1及|x1|<)有 |x31|<.第22頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.證明證:注意到不等式|sinx||x|>0,要使|sinx–sinx0|<,只須|x–x0|<,取=.>0,>0,當0<|xx0|<時,有|f(x)a|<,第23頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月(本例說明sinx和cosx在x0處的極限值就等于它在x0處的函數(shù)值。)第24頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月證:

>0要使|lnxlnx0|或, x0e-<x<x0e-即只須

x0(1e-

)<xx0<x0(e1).取=min{x0(1e-),x0(e1

)},則當0<|xx0|<時,(有xx0<<x0(e1),x0(1e-

)<<xx0)例7.第25頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月有 |lnxlnx0|<.從本例可見,一般,與和x0有關(guān),對同一個,當x0不同時,可能不同。第26頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月曲線y=f(x)上對應(yīng)點的縱坐標會無限接近于a.即第27頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月如圖axyoa+ax0y=f(x)xx0+第28頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月定義4：設(shè)f(x)在x0的右邊附近(左邊附近)有定義，若>0,>0.當0<x–x0<(或0<x0–x<)時，有則稱a為f(x)當xx0的右極限(或左極限),記作左、右極限第29頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月即，f(x)在點x0處的極限存在的充要條件是f(x)在x0的左、右極限存在，并且相等。定理1.>0,>0,當0<|xx0|<時,|f(x)a|<,則記若>0,>0.當0<x–x0<(或0<x0–x<)時，有第30頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月第31頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月例8.

設(shè)f(x)=x, 當x0時,sinx, 當x>0時,解：由于當x0時,對應(yīng)的函數(shù)值f(x)=x.由于當x>0時,對應(yīng)的函數(shù)值f(x)=sinx.f(x)是一個分段函數(shù)，x=0是這個分段函數(shù)的分段點.對一個分段函數(shù)來說，其分段點處的極限要分左、右極限討論.第32頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月例9.

設(shè)f(x)=x, 當x0時,cosx, 當x>0時,左、右極限存在,但不相等,解：第33頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月以后,常用下列記號表示函數(shù)的左,右極限看圖x0+cosxxyx0ˉ1yy第34頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月定理2.定理3.三、函數(shù)極限性質(zhì)第35頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月推論1:第36頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月推論2.

(1)若存在>0,使當0<|xx0|<時,有f(x)g(x).當0<|xx0|<時,有f(x)g(x).(2)則存在>0,第37頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月證:(1)由于當0<|xx0|<時,有f(x)g(x).所以,若記F(x)=f(x)g(x),則當0<|xx0|<時,有F(x)=f(x)g(x)0.由推論1及第四節(jié)極限的運算法則,有從而(2)自證當x

時情形類似,自述,自證.第38頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月定義5:若存在x0的某去心鄰域?(x0)，使得f(x)在?(x0)內(nèi)有界，則稱f(x)是xxo時的有界量.若>0，使得f(x)在(–,–X)(X,+)內(nèi)有界,則稱f(x)是x時的有界量.第39頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月比如y=x2在定義域(–,+)內(nèi)是無界的,但在x=0的某個小鄰域內(nèi)是有界的.因此,y=x2是x0時的有界量.y=x20xy–M第40頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月0yx–第41頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月比如:y=sinx在(–,+)內(nèi)有界，是x時的有界量.但定理4.定理4的逆命題不成立.第42頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月yx1–1y=sinx0第43頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月則稱f(x)是該極限過程中的一個無窮小量(省去xxo,x的極限符號“l(fā)im”表示任一極限過程).定義1.若limf(x)=0,第二節(jié)無窮大量、無窮小量一、無窮小量第44頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月注1：無窮小量與極限過程分不開,不能脫離極限過程談無窮小量,小量,但如sinx是x0時的無窮例：第45頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月注2：注3：0是任何極限過程的無窮小量.由于limC=C(常數(shù)),所以,除0外的任何常數(shù)不是無窮小量.第46頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月是該極限過程中的無窮小量.A為常數(shù).>0,>0,當0<|x–x0|<時,有|f(x)–A|<定理1.證：第47頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月類似可證x時情形.第48頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月定義2：若>0(無論多么大),

記作：>0(或X>0),當0<|x–xo|<(或|x|>X)時，有|f(x)|>M,則稱f(x)是xx0(或x)時的無窮大量.二、無窮大量第49頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月若以“f(x)>M”代替定義中的“|f(x)|>M”,就得到正無窮大量的定義.若以“f(x)<–M”代替定義中的“|f(x)|>M”,就得到負無窮大量的定義.分別記作：>0,>0(或X>0),當0<|x–xo|<(或|x|>X)時，有|f(x)|>M,第50頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月01-11xxyyx1+x1–例1：證：第51頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月例2:

試從函數(shù)圖形判斷下列極限.第52頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月解：(1)xy0xyy=tgxxy第53頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月第54頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)xoyxxyyx+x–第55頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月第56頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月注1：若在定義2中，將“f(x)”換成“xn”,注2：若limf(x)=,將“X”換成“N”,將“x”換成就得到數(shù)列xn為無窮大量定義.“n”,則表示在該極限過程中f(x)的極限不存在.>0,X>0,當|x|>X時,有|f(x)|>M,第57頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月注3：不能脫離極限過程談無窮大量.注4：無窮大量一定是無界量,任何常量都不是無窮大量.但無界量不一定是無窮大量.第58頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月說明>0,x0(–,+)，使得|x0sinx0|>M即可.例3：解：第59頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月第60頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月例4：第61頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月定理2：在某極限過程中,若f(x)為無窮大量,則反之,若f(x)為無窮小量三、無窮小與無窮大量的關(guān)系第62頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月第63頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月證：只證兩個無窮小量的情形.設(shè)當xx0時,(要證(x)(x)為無窮小量),>0,(x)0,(x)0,四、無窮小量的運算定理定理3：有限個無窮小量的代數(shù)和為無窮小量.第64頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月故(x)(x)是無窮小量.第65頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月注：定理3中“有限個”不能丟，無限個無窮小量的和不一定是無窮小量,n個比如：第66頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月定理4：若(x)是某極限過程中的無窮小量,f(x)是該過程的有界量,則f(x)(x)為該過程的無窮小量.即,有界量與無窮小量之積為無窮小量.證：第67頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月第68頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月推論：設(shè)(x),(x)是某極限過程中的無窮小量,C為常數(shù).則(x)(x),C(x)都是無窮小量.例2：解：第69頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月1.

±，都不一定是無窮大量，也不一定是無窮小量.2.

0,(有界量)不一定是無窮大量，也不一定是無窮小量(其中0表無窮小量).3.無窮大量是無界量,但無界量不一定是無窮大量.五、無窮大量的運算性質(zhì)第70頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月4.(+)+(+)=+,()+()=.5.

=,±(有界量)=，±常量=.6.

C

=

(其中C等非0常量).第71頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月定理1.若limf(x)=A,limg(x)=B存在,則(1)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)]=AB(2)lim[f(x)

g(x)]=limf(x)·limg(x)]=A·B(3)第三節(jié)極限運算法則一、極限四則運算法則第72頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月證:(2)因limf(x)=A,limg(x)=B,均存在,則f(x)=A+(x),g(x)=B+(x).從而f(x)·g(x)=[A+(x)]·[B+(x)]=AB+[A(x)+B(x)+(x)(x)]得lim[f(x)·g(x)]=AB同理可證(1),(3).第73頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月推論:設(shè)limf(x)存在.C為常數(shù),n為自然數(shù).則(1)lim[Cf(x)]=Climf(x)(2)lim[f(x)]n=[limf(x)]n第74頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.解:

由于=2–6=–4=2·23+22–4=16,第75頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.解:由定理1及其推論,有第76頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.

第77頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月更一般的,以后將有結(jié)論:若f(x)為初等函數(shù).且f(x)在點x0處有定義.則比如:第78頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.解:將x=1代入分母,分母為0,不能用例3或定理1(3)的方法求極限.想辦法約去使分子分母都為零的因子x–1.有第79頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.解:將x=0代入.分子,分母都為0.不能用定理1(3).想法約去零因子x.為此,有理化.第80頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.解:這是有理函數(shù).當x時的極限問題.分子,分母的極限都為.不存在.不能用定理1(3).同除以分母的最高次冪x2.第81頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月將本題改為x3=0x3=改為第82頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月例7.

則第83頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月總結(jié):設(shè)f(x),g(x)為多項式.=第84頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月例8.解:這是兩個無窮大量之差的極限問題.無窮大量的和,差不一定是無窮大量.這類問題,稱為“”型.通分第85頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月例9.解:這是兩無窮大量之差的問題.即“”型.對無理函數(shù),可考慮有理化.第86頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月解:這是一分段函數(shù).分段點x=0.在分段點處極限要分左,右極限討論.分段函數(shù)=2=b故,當b=2時,f(0+0)=f(0–0)=2,例10.何值時,問常數(shù)b為第87頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月例11.

證:先用“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”證明(1)單調(diào)性.=xn–1故xn單調(diào)遞增.0n–1個an個a第88頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)有界性.故xn有界.0<xnn個an個an–1個a第89頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月綜合(1),(2),知xn單調(diào),有界.由于n+1個a從而A2=a+A第90頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月解出A.因xn>0,由保號性定理,A0從而即第91頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月求復合函數(shù)的極限時,?？捎谩皳Q元法”簡化運算.二、復合函數(shù)的極限第92頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月例12.解:直觀地看.當x1時,lnx0,而當lnx0時,cos(lnx)cos0=1.或者,令u=lnx,當x1時,u0,代入這種方法稱為換元法.使用時,將原式中所有x換寫成u的表達式.極限過程xx0換成相應(yīng)的u的極限過程.第93頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月定理2.設(shè)y=f[(x)]由y=f(u),u=(x)復合而成.且在x0的某去心鄰域?(x0)內(nèi),(x)u0證(略).第94頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月例13.解:(1)令u=sinx.代入.(2)也可直接利用例3后介紹的結(jié)論,有第95頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月例14.解:代入,x0+第96頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月定理1.設(shè)在點x0的某去鄰域?(x0,1)內(nèi),有F(x)f(x)G(x),則第四節(jié)函數(shù)極限存在定理一、夾逼定理第97頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月證:

>0.當0<|x–x0|<2時,有|F(x)–A|<且|G(x)–A|<.從而,2>0.故A–<F(x),G(x)<A+即|f(x)–A|<.注:定理對x的情形也成立.第98頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月定理2.

其中a可為有限數(shù)，也可為。證：只就a為有限數(shù)的情形證明.必要性：設(shè)，并任取數(shù)列xnx0(xnx0,xnD(f),n+)。(要證0，N>0,當n>N時，有|f(xn)a|<)二、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系的充要條件是任何以x0為極限的數(shù)列xn(xnx0,xnD(f)),有第99頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月由于則0,0,當0xx0時,有f(x)a.由于xnx0(n+).當nN時,有0|xnx0|(xnx0).從而，對0,N0,當nN時,有故所以，對上述0,N0,f(xn)a第100頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月充分性：用反證法.若對任何數(shù)列xnx0(xnx0),有但(注意，)就是“00,對0,存在x'D(f),雖然0x'x0,但f(x')a.”對上述00,取依次等于1,……可設(shè)相應(yīng)的x1,x2,…,xn,…,滿足第101頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月0x1x01,但f(x1)a00x2x0,但f(x2)a0……0xnx0,但f(xn)a0……左邊一列說明xnx0(n+,xnx0),此與條件矛盾.故充分性成立.右邊一列說明f(xn)不以a為極限,第102頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.

證明不存在.證：只須證可取兩個數(shù)列xn0,的極限不相等即可.第103頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月第104頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月如圖,若當xx0時,f(x)a.x1f(x1)x2f(x2)x3f(x3)xnf(xn)0xx0ay=f(x)y顯然,當xnx0時,f(xn)a.反過來,若對任意的數(shù)列xn,xnx0(xnx0),有f

(xn)a,則f(x)a(xx0).第105頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月注:1.若對某個數(shù)列xnx0(xnx0),有f

(xn)a,不能得出f(x)a(xx0)的結(jié)論.考慮x=0處的極限.2.該定理對x

也成立.第106頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3.的充要條件是0,0,當x1,x2D(f)且0x1x0,0x2x0時,有f(x1)f(x2).證：略x時的柯西收斂準則可依照定理3給出.三、柯西收斂準則第107頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月證:(1)先證110xyAxDBC總有SAOC<S扇形AOB<SDOB第五節(jié)兩個重要極限一、重要極限第108頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月第109頁，課件共133頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)再證事實上,令u=–x,當x0ˉ,u0+,代入,有=1綜合(1),(2)