第一章習(xí)題課(黃亨燁)課件

第一章習(xí)題課概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章概率論的基本概念隨機(jī)試驗(yàn)1樣本空間、隨機(jī)事件2頻率與概率3等可能概型4條件概率5獨(dú)立性6§1隨機(jī)試驗(yàn)對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察、記錄、試驗(yàn)統(tǒng)稱為隨機(jī)試驗(yàn)

它具有以下特性：可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行事先知道可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行試驗(yàn)前并不知道哪個(gè)試驗(yàn)結(jié)果會(huì)發(fā)生例：拋一枚硬幣，觀察試驗(yàn)結(jié)果；§2樣本空間、隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)E的所有結(jié)果構(gòu)成的集合稱為E的樣本空間，記為S={e}，稱S中的元素e為基本事件或樣本點(diǎn)．例：一枚硬幣拋一次S={正面，反面}隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間S的子集為E的隨機(jī)事件必然事件：每次試驗(yàn)中總是發(fā)生的，記為S.不可能事件：每次試驗(yàn)中都不發(fā)生，記為.拋三次呢？事件的關(guān)系及運(yùn)算事件的關(guān)系（包含、相等）SAB事件的關(guān)系及運(yùn)算事件的運(yùn)算A與B的和事件，記為A與B的積事件，記為SBASAB事件的關(guān)系及運(yùn)算

“和”、“交”關(guān)系式SABS

例：已知A、B兩個(gè)事件滿足，且P(A)=p，則P(B)=？解：故有已知,

,,求§3頻率與概率1、頻率：

反映了事件A發(fā)生的頻繁程度.性質(zhì)：且隨n的增大漸趨穩(wěn)定，記穩(wěn)定值為p．§3頻率與概率2、概率：定義1：的穩(wěn)定值p定義為A的概率，記為P(A)=p；定義2：將概率視為測度，且滿足：稱P(A)為事件A的概率。概率性質(zhì)：則有§4等可能概型（古典概型）定義：若試驗(yàn)E滿足：S中樣本點(diǎn)有限(有限性)出現(xiàn)每一樣本點(diǎn)的概率相等(等可能性)稱這種實(shí)驗(yàn)為等可能概型（古典概型）.概率的不同定義古典定義（局限在有限個(gè)可能結(jié)果）統(tǒng)計(jì)定義（大量重復(fù)試驗(yàn)）主觀定義（無法重復(fù)的試驗(yàn)）統(tǒng)計(jì)定義也具有局限性，因?yàn)槭聦?shí)上很多現(xiàn)象無法進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)，特別是一些社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象。主觀概率的定義是：概率是一個(gè)決策者根據(jù)個(gè)人對(duì)某個(gè)事件是否發(fā)生以及本人掌握的信息對(duì)該事件發(fā)生可能性的判斷，是工商活動(dòng)中決策者常用的一種判斷方法。計(jì)算古典型概率的三種方法直接用P(A)=k/n，這時(shí)必須算好基本事件的個(gè)數(shù)n及A所含基本事件個(gè)數(shù)k，為此常常用到排列與組合。利用一些重要的公式或定理（乘法公式、全概率公式，貝葉斯公式、連續(xù)性定理等）。預(yù)備知識(shí)：排列與組合排列：每次取一個(gè)，取后不放回（有序不放回抽樣）選排列（從n個(gè)中選k個(gè)排列）：全排列（從n個(gè)中選n個(gè)排列）：每次取一個(gè)，取后放回（有序放回抽樣）n個(gè)中取k個(gè)排列：組合：n個(gè)不同的元素選k個(gè)，不考慮其順序

（無序不放回抽樣）古典型隨機(jī)試驗(yàn)中的概率計(jì)算Ⅰ如何計(jì)算P(A),實(shí)際中許多問題可以大致歸并為四類，它們具有典型的意義：（一）抽球問題（二）分房問題（三）隨機(jī)取數(shù)問題（四）幾何型概率問題（一）抽球問題（無序不放回）例1：箱中盛有個(gè)白球和個(gè)黑球，從其中任意取a+b個(gè)，試求所取的球恰含a個(gè)白球和b個(gè)黑球的概率。解：基本事件n為“從個(gè)球中抽出個(gè)球”；

事件A所含k為“恰含a個(gè)白球和b個(gè)黑球”；根據(jù)公式：，可知：（一）抽球問題（有序不放回）例2：箱中盛有個(gè)白球和個(gè)黑球，從其中任意地接連取出k+1個(gè)球，如每球被取出后不還原，試求最后取出的球是白球的概率。解：與上題比較，該題由無序變?yōu)橛行?，注意如下關(guān)系即可：，因此有值得注意的是P(A)與k無關(guān).(二)分房問題例3：有n個(gè)人，每個(gè)人都以相同的概率被分配在

間房中的任一間中，試求下列各事件的概率：A：某指定n間房中各有一人；B：恰有n間房，其中各有一個(gè)；C：某指定房中恰有人。解：基本事件n為“n個(gè)人分配到N間房中”；(1)對(duì)于A所含基本事件k為“固定某n間房，各有一人”故有：例3續(xù)(2)對(duì)于B所含基本事件k為“首先從N間房中任意選出n間房，然后每個(gè)房中一個(gè)人”，于是

(3)對(duì)于C所含基本事件k為“從n個(gè)人中任意選出m個(gè)人放入某指定房間，共有種選法；其余n-m個(gè)人可以任意分配到其余的N-1間房里”，共有種選法

故(二)分房問題例4：（均假定）(1)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，設(shè)每個(gè)都以相同的概率落于365個(gè)格子中的任一格中，試求每一格至多只含一點(diǎn)的概率p1；(2)有n個(gè)人，設(shè)每個(gè)人的生日是任何一日的概率為，試求此n人的生日互不相同的概率p2；(3)有n個(gè)旅客乘火車途徑365站，設(shè)每個(gè)人在每站下車的概率為，試求沒有一個(gè)人以上同時(shí)下車的概率p3.例4續(xù)解：這三個(gè)問題其實(shí)都和例3中求P(B)的問題等價(jià)（取那里的N=365），只要把“質(zhì)點(diǎn)”,“生日”,“旅客”和“人”看成一樣，把“格子”,“日子”,“站”和“房”看成一樣，因而有例3的解答知：例4續(xù)例如當(dāng)n=30時(shí)，

，而B的對(duì)立事件的概率為。由此可見，30個(gè)人中，至少有二人同生日的概率大于70%。要準(zhǔn)確的算出P(B)，計(jì)算量一般是很大的，試求近似值如下：（三）隨機(jī)取數(shù)問題例5：從1，2，…，10共十個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，假定每個(gè)數(shù)字都以十分之一的概率被取中，取后還原，先后取出7個(gè)數(shù)字，試求下列各事件的概率：A1：7個(gè)數(shù)字全不相同；A2：不含10與1；A3：10恰好出現(xiàn)兩次；A4：至少出現(xiàn)兩次10；A5：總和為20.例5續(xù)解：基本事件n為“從十個(gè)數(shù)字中還原地取7次”；(1)對(duì)于A1所含基本事件k為“7個(gè)數(shù)字全不相同”故有：(2)對(duì)于A2所含基本事件k為“不含10與1”，即“從剩余的8個(gè)數(shù)字中還原地取7次”故有：例5續(xù)(3)對(duì)于A3所含基本事件k為“10恰好出現(xiàn)兩次”，即“首先出現(xiàn)10的兩次為7次中的任意兩次；其他5次，每次只能取9個(gè)剩下的數(shù)字中任何一個(gè)”故有：(4)對(duì)于A4所含基本事件k為“至少出現(xiàn)兩次10”，

一般地，10恰好出現(xiàn)次的概率為：例5續(xù)由于A4是6個(gè)互不相容的事件“10恰好出現(xiàn)k次（k=2,3,4,5,6,7）”的和，故(5)A5所含基本事件的個(gè)數(shù)k是下列方程的整數(shù)解的個(gè)數(shù)其中代表第i次所取得的數(shù)字.然而上述解的個(gè)數(shù)重合于中的系數(shù)，亦即中的系數(shù)，故例5續(xù)有可見的系數(shù)為27132-7*84=26544，所以該板塊最后敘述一個(gè)在統(tǒng)計(jì)物理中起重要作用的例，這例還說明，在具體問題中，如何計(jì)算基本事件的個(gè)數(shù)需根據(jù)實(shí)際情況而定，因而賦予概率的方法也應(yīng)如此。（二）分房問題例6：設(shè)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，每點(diǎn)都以概率落于個(gè)盒子中的任一個(gè)里，試求事件A“某預(yù)先指定的n個(gè)盒子中各含一點(diǎn)”的概率p.由于對(duì)質(zhì)點(diǎn)和盒子所作的進(jìn)一步的假定不同，這題有三種不同的解法和答案。相對(duì)于這些假定來說，每種解法都是正確的。

例6續(xù)解一:(Maxwell-Boltzmann)假設(shè)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)是不同的，即可辨別的；還假定每個(gè)盒子能容納的質(zhì)點(diǎn)數(shù)是沒有限制的，根據(jù)例3(1)得：解二:(Bose-Einstein)假設(shè)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)完全相同，因而不可辨別；對(duì)每個(gè)盒子則仍然假定它能容納任意多個(gè)質(zhì)點(diǎn)。例6續(xù)在解1中，分布法不僅依賴于每個(gè)盒子中的質(zhì)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，而且還依賴于是哪幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)；而解2只依賴于盒中的質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)，因此計(jì)算基本事件個(gè)數(shù)的方法不同了。例如N=3，n=2，以a，b表示這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則解1中共有下列個(gè)基本事件：在解2的假定中，a=b，因此4=5,6=7,8=9，故共只有6個(gè)基本事件，而A則只含1個(gè)，故

.例6續(xù)回到一般情況，采用下列巧妙的直觀想法.把N個(gè)盒子并排成一列，n個(gè)點(diǎn)的一種分布法可表示為：把每個(gè)壁與每個(gè)點(diǎn)都看成一個(gè)位置，則n個(gè)球的這種分布法就相當(dāng)于n+N-1個(gè)位置（兩端的不在內(nèi)）被n個(gè)點(diǎn)占領(lǐng)的一種占位法，故實(shí)際中有許多質(zhì)點(diǎn)被認(rèn)為是不可辨別的——如光子/電子，解2是物理學(xué)家Bose與Einstein于1924年提出的，適用于所謂玻色子的基本粒子.例6續(xù)解3:(Fermi—Dirac)這時(shí)假定每個(gè)盒子至多只能容納一個(gè)質(zhì)點(diǎn)；而對(duì)質(zhì)點(diǎn)則仍設(shè)為不可辨別的(只依賴于落點(diǎn)個(gè)數(shù),不依賴是哪幾個(gè)點(diǎn))，于是任一種分布法都必須占用n個(gè)盒子.解3是物理學(xué)家Fermi與Dirac與1925年提出，它適用于所謂費(fèi)米子的基本粒子.（四）關(guān)于幾何概率定義：在運(yùn)用幾何概率的定義來求具體問題中的概率時(shí)，必須注意所謂點(diǎn)的“均勻分布”是相對(duì)什么隨機(jī)試驗(yàn)而言的，否則就可能得出不同的甚至錯(cuò)誤的結(jié)果。均勻分布——實(shí)際上是廣泛意義下的等可能性（四）關(guān)于幾何概率例7:(Bertrand奇論)在一半徑為r的圓C內(nèi)“任意”一弦，試求此弦長度

大于圓內(nèi)接等邊三角形的邊長的概率p.解一：如圖作半徑為r/2的同心圓C1，弦的中點(diǎn)M是“任意”的，如，則，

故由幾何概率的定義，

例7續(xù)解二：如圖，由對(duì)稱性不妨先固定弦的一端A于圓周上，于是另一端B是“任意”的，考慮等邊三角形ADE，如B落于角A所對(duì)應(yīng)的弧DE上，則故

解三：不妨先固定弦的方向使它垂直于直徑EF，如果AB的中點(diǎn)M落在圖的GH上，則，因此例7續(xù)三種解法得到了三個(gè)不同的答案，原因何在？因?yàn)槿齻€(gè)解法中用了三個(gè)不同的隨機(jī)試驗(yàn)的事件解1——觀察隨機(jī)點(diǎn)M落在圓C1中（是二維區(qū)域C）解2——隨機(jī)點(diǎn)B落于圓弧DE上（是全圓周）解3——隨機(jī)點(diǎn)M落于區(qū)間GH中（是EF）因此三個(gè)解法中的p其實(shí)是三個(gè)不同事件的概率.小節(jié)上述各例表明：在計(jì)算古典型概率時(shí)，關(guān)鍵在于如何根據(jù)問題的條件區(qū)分兩個(gè)不同的基本事件；只有這樣才能正確計(jì)算出試驗(yàn)中所有不同的基本事件的總數(shù)n，以及所考慮的事件A所含不同的基本事件的個(gè)數(shù)k，二者的比k/n就是所求的概率p，即計(jì)算古典型概率的三種方法直接用P(A)=k/n，這時(shí)必須算好基本事件的個(gè)數(shù)n及A所含基本事件個(gè)數(shù)k，為此常常用到排列與組合。利用一些重要的公式或定理（乘法公式、全概率公式，貝葉斯公式、連續(xù)性定理等）?！?條件概率1、條件概率定義：條件概率具有概率的所有性質(zhì)：

2、乘法公式（當(dāng)下面的條件概率都有意義時(shí)）全概率公式與Bayes公式3、設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，A為E的事件。B1,B2,…,Bn為S的一個(gè)劃分，P(Bi)>0，i=1,2,…,n.則稱下式為全概率公式：4、貝葉斯(Bayes)公式（先驗(yàn)→后驗(yàn)）例2：從52張牌中任取2張，采用(1)放回抽樣，（2）不放回抽樣，求恰是“一紅一黑”的概率.解：設(shè)Ai={第i次取到紅牌}，i=1,2.B={取2張恰是一紅一黑}若為放回抽樣：若為不放回抽樣：例3：一單位有甲、乙兩人，已知甲近期出差的概率為80%，若甲出差，則乙出差的概率為20%；若甲不出差，則乙出差的概率為90%。(1)求近期乙出差的概率；(2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率.解：設(shè)A={甲出差}，B={乙出差}Bayes公式全概率公式例4：某電子設(shè)備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的，根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)：

設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉庫中時(shí)均應(yīng)混合的，且無區(qū)別的標(biāo)志.(1)在倉庫中隨機(jī)地取一只元件，求它是次品的概率;(2)在倉庫中隨機(jī)地取一只元件，若已知是取到的是次品，為分析此次品出自何廠，需求出此次品由三家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少？元件制造廠次品率提供元件的份額10.020.1520.010.8030.030.05解：設(shè)A表示“取到的是一只次品”，Bi(i=1,2,3)表示“所取到的產(chǎn)品是由第i家工廠提供的”，易知，（1）由全概率公式（2）由貝葉斯公式

由此可見，這只次品來自第2家工廠可能性最大。

以上結(jié)果表明，這次次品來自第2家工廠的可能性最大.下面的例5是個(gè)著名的問題，于1708年為蒙特摩特(Montmort)所解決，后由拉普拉斯(Laplace)等人所推廣。例5：有n張信紙，分別標(biāo)號(hào)為1,2,…,n，另有n個(gè)信封也同樣標(biāo)號(hào)，今將每張信紙任意裝入一信封，試求“沒有一個(gè)配對(duì)”的概率及“恰有r個(gè)配對(duì)”的概率，這里所謂“r個(gè)配對(duì)”是指有r張信紙，分別裝入同號(hào)碼的信封。例5續(xù)解：以表示“第i號(hào)信紙裝入第i號(hào)信封”這一事件，則

為求，利用一般加法公式，第i號(hào)信紙可裝入n個(gè)信封，恰好裝入第i號(hào)信封的概率，故例5續(xù)

如Ai出現(xiàn)，第j號(hào)信紙共有n-1個(gè)信封可以選擇，故

從而類似地一般有例5續(xù)

于是

注意與n有關(guān)，如記，則

利用便不難求出.如果指定某r張信紙裝入對(duì)應(yīng)的信封，這事件的概率為.

其余n-r張信紙中沒有一個(gè)配對(duì)的概率為

例5續(xù)

由于r張配對(duì)的信紙共有種選法，故注意當(dāng)，.配對(duì)問題具有典型的意義：信紙～信封，旅客～箱子，機(jī)床～零件等?！?獨(dú)立性例：有10件產(chǎn)品，其中8件為正品，2件為次品。從中取2次,每次取1件，設(shè)Ai={第i次取到正品}，i=1,2.不放回抽樣時(shí)，放回抽樣時(shí)，即放回抽樣時(shí)，A1的發(fā)生對(duì)A2的發(fā)生概率不影響；同樣，A2的發(fā)生對(duì)A1的發(fā)生概率不影響。獨(dú)立性定義：設(shè)A，B為兩隨機(jī)事件，，若P(B|A)=P(B),即P(AB)=P(A)*P(B),即P(A|B)=P(A)時(shí)，稱A,B相互獨(dú)立。性質(zhì)：獨(dú)立性推廣到一般：注意：獨(dú)立不具有傳遞性和整體獨(dú)立性.實(shí)際問題中，常常不是用定義去驗(yàn)證事件的獨(dú)立性，而是由實(shí)際情形來判斷其獨(dú)立性.獨(dú)立性例1：試證概率為0的事件與任何事件都是獨(dú)立的.證：設(shè)P(A)=0,則任對(duì)事件B有，

所以由概率的單調(diào)性知P(AB)=0,

從而得P(AB)=P(A)P(B)，所以A與B獨(dú)立.獨(dú)立性例2：設(shè)A,B,C三事件相互獨(dú)立，試證A-B與C獨(dú)立.證：因?yàn)樗訟-B與C獨(dú)立.獨(dú)立性例3：設(shè)0<P(B)<1，試證事件A與B獨(dú)立的充要條件是.證：必要性：因?yàn)锳與B獨(dú)立，所以A與獨(dú)立