奇數(shù)階魔方陣算法分析

PAGEPAGE1奇數(shù)階魔方陣算法分析第一篇：奇數(shù)階魔方陣算法分析C語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)教案奇數(shù)階魔方陣一、提出問(wèn)題所謂“奇數(shù)階魔方陣”是指n為不小于3的奇數(shù)的魔方陣。這類(lèi)魔方陣的形式多樣，這里我們僅討論其中的一種形式的正規(guī)魔方陣。例如：3階、5階和7階的魔方陣如圖3–4所示。3039*********416357，461320XX，***2192***211***2414322314049圖3–43階5階和7階魔方陣***54443121120XX易知道，這三個(gè)魔方陣的魔方常數(shù)分別是15、65和175。現(xiàn)在要求給出：能讓計(jì)算機(jī)自動(dòng)輸出類(lèi)似圖3–4所示的n階奇數(shù)魔方陣的算法，其中n為任意給定的一個(gè)不小于3的奇數(shù)。二、簡(jiǎn)單分析決定“奇數(shù)階魔方陣”的關(guān)鍵是要按要求決定其方陣中的各個(gè)數(shù)字。觀察圖3–4中的三個(gè)奇數(shù)階魔方陣，不難發(fā)現(xiàn)：1．由于是正規(guī)魔方，故所填入的n2個(gè)不同整數(shù)依次為1、2、3、…、n2；2．各行、列和對(duì)角線上的數(shù)字雖各不相同，但其和卻是相同的。這表明，其魔方常數(shù)可由公式n(n2+1)/2得到。3．?dāng)?shù)字在陣列中的次序，并沒(méi)有遵從陣列單元的行、列下標(biāo)的順序，但數(shù)字“1”卻始終出現(xiàn)在陣列第一行的正中間位置，而數(shù)字“n2”也始終出現(xiàn)在陣列第n行的正中間位置，這說(shuō)明陣列中的數(shù)字排列應(yīng)該是有一定規(guī)律的。通過(guò)對(duì)兩個(gè)奇數(shù)階魔方陣的簡(jiǎn)單分析，下面幾個(gè)基本問(wèn)題必須得到解決：◆奇數(shù)階魔方陣中的數(shù)字有些什么規(guī)律？◆數(shù)字“1”的位置應(yīng)如何確定？C語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)教案三、設(shè)計(jì)準(zhǔn)備1．奇數(shù)階魔方陣中的數(shù)字規(guī)律通過(guò)對(duì)奇數(shù)階魔方陣的分析，其中的數(shù)字排列有如下的規(guī)律：（1）自然數(shù)1出現(xiàn)在第一行的正中間；（2）若填入的數(shù)字在第一行（不在第n列），則下一個(gè)數(shù)字在第n行（最后一行）且列數(shù)加1（列數(shù)右移一列）；（3）若填入的數(shù)字在該行的最右側(cè)，則下一個(gè)數(shù)字就填在上一行的最左側(cè)；（4）一般地，下一個(gè)數(shù)字在前一個(gè)數(shù)字的右上方（行數(shù)少1，列數(shù)加1）；（5）若應(yīng)填的地方已經(jīng)有數(shù)字或在方陣之外，則下一個(gè)數(shù)字就填在前一個(gè)數(shù)字的下方。（一般地，n的倍數(shù)的下一個(gè)數(shù)字是在該數(shù)的下方。）816按照上述的規(guī)律，我們來(lái)完成3階的魔方陣：3574921第一步：將“1”填入1行2列的位置，即（按規(guī)律（1））；1第二步：將“2”填入3(最后)行3(=2+1)列的位置，即（按規(guī)律2（2））；1第三步：將“3”填入2行1列的位置，即3（按規(guī)律（3））；21第四步：將“4”填入3行1列的位置（“3”的下面）；即3（按規(guī)律（5））422C語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)教案1第五步：將“5”填入2行2列的位置；即35216（按規(guī)律（4））；4第六步：將“6”填入1行3列的位置，即352（按規(guī)律（4））；416第七步：將“7”填入2行3列的位置（“6”的下面），即357（按規(guī)律（5））；42816第八步：將“8”填入1行1列的位置，即357（按規(guī)律（3））；42816第九步：將“9”填入3行2列的位置，即357（按規(guī)律（2））。492至此，一個(gè)3階魔方陣構(gòu)造完成了。2．?dāng)?shù)字“1”的位置確定方法由于數(shù)字“1”要填寫(xiě)在魔方陣第一行的正中間，因此我們只需要確定第一行的正中間單元的列下標(biāo)即可?？紤]到對(duì)于一個(gè)奇數(shù)階魔方陣來(lái)說(shuō)，它的每一行都有奇數(shù)個(gè)位置，所以“正中間的位置”就必然存在。容易知道，一個(gè)n（為奇數(shù)）階魔方陣第一行的正中間單元的列下標(biāo)為整數(shù)(n+1)/2。于是數(shù)字“1”應(yīng)填寫(xiě)在魔方陣列的第1行第(n+1)/2列處。C語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)教案四、實(shí)施步驟1．算法編制的工作順序：有了上述的設(shè)計(jì)準(zhǔn)備，我們所要的算法可按如下的工作順序編制：第一步：輸入魔方陣的階數(shù)n（為奇數(shù)），并以此定義一個(gè)二維數(shù)組；第二步：確定所謂“正中間位置”的列下標(biāo)值，以及應(yīng)填入的最大數(shù)字；第三步：進(jìn)行完成魔方陣的填寫(xiě)工作；第四步：輸出已完成的奇數(shù)階魔方陣。2．變量設(shè)置：N：表示魔方陣的階數(shù)（為奇數(shù)）；A：表示魔方陣的二維數(shù)組；I：數(shù)組A的行序號(hào)；J：數(shù)組A的列序號(hào)；R：填入的數(shù)字；S：對(duì)角線上各數(shù)字之和。3．參考框圖：如圖3–5所示。4．框圖說(shuō)明：整個(gè)框圖應(yīng)分為三個(gè)功能部分：第一個(gè)部分的功能是完成奇數(shù)N的輸入，并定義二維數(shù)組，完成有關(guān)元素的數(shù)值計(jì)算，同時(shí)能實(shí)現(xiàn)當(dāng)N不是奇數(shù)時(shí)自動(dòng)結(jié)束。圖3–5處理“奇數(shù)階魔方陣”問(wèn)題的框圖第二個(gè)部分的功能是完成魔方陣的填寫(xiě)工作。填寫(xiě)并不是按數(shù)組A的下標(biāo)順序進(jìn)行，而是通過(guò)對(duì)有關(guān)規(guī)律的判斷確定下標(biāo)I和J的不同值來(lái)進(jìn)行。其中涉及到了判斷“R是N的整數(shù)倍？”，這可以通過(guò)判斷是否有等式R–INT(R/N)N=0成立來(lái)實(shí)現(xiàn)。第三個(gè)部分的功能是完成輸出魔方陣和計(jì)算相應(yīng)魔方常數(shù)的工作。計(jì)算相應(yīng)魔方常數(shù)的工作是通過(guò)對(duì)魔方陣的對(duì)角線中各元素?cái)?shù)值來(lái)實(shí)現(xiàn)，即在準(zhǔn)備輸出打印元素A(I,I)時(shí)，通過(guò)累加方式S=S+A(I,I)來(lái)實(shí)現(xiàn)。C語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)教案5．參考算法第01步：輸入非負(fù)整數(shù)N，并定義數(shù)組A(N,N)；第02步：若N–INT(N/2)2=0，則結(jié)束。第03步：讓J(N+1)/2,CNN,且I1；第04步：讓R1；第05步：若R>C,則執(zhí)行第16步；第06步：讓A(I,J)R；第07步：若R–INT(R/N)N=0,則執(zhí)行第13步；第08步：讓II–1；第09步：若I+1=1，則讓IN；第10步：讓JJ+1；第11步：若J–1N，則執(zhí)行第15步；第12步：讓J1,并執(zhí)行第15步；第13步：讓II+1。若I–1N，執(zhí)行第15步；第14步：讓I1；第15步：讓RR+1，執(zhí)行第05步；第16步：讓S0,I1；第17步：若I>N,則執(zhí)行第24步；第18步：讓SS+A(I,I)；第19步：讓J1；第20XX若J>N,則執(zhí)行第13步；第21步：在位置4J處輸出A(I,J)；第22步：讓JJ+1，并執(zhí)行第20XX第23步：換行，讓I=I+1,并執(zhí)行第17步；第24步：輸出S，結(jié)束。參考算法的編制與框圖稍有不同，但功能是一樣的。其中：第01步至第03步為第一部分，完成奇數(shù)的輸入，以及有關(guān)的準(zhǔn)備工作。當(dāng)輸入的N不是奇數(shù)時(shí)，會(huì)自動(dòng)結(jié)束。第04步至第15步完成魔方陣的填寫(xiě)工作。第16步至第24步完成輸出魔方陣和計(jì)算相應(yīng)魔方常數(shù)的工作。C語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)教案五、評(píng)估反思應(yīng)當(dāng)說(shuō)，奇數(shù)階魔方陣的形式是多種多樣的，這里我們僅僅只對(duì)其中的一種形式加以討論。這里所編制的參考算法從理論上看可以實(shí)現(xiàn)對(duì)指定形式的任何大小“奇數(shù)階魔方陣”的輸出，但在實(shí)際輸出時(shí)應(yīng)考慮輸出設(shè)備的相關(guān)條件。在參考算法中，第04步至第15步這部分是整個(gè)算法的核心部分，其功能是完成整個(gè)魔方的數(shù)字填入工作，因此其編制的思想、用到的一些處理方陣元素的技巧和經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)引起我們的注意。1．充分利用規(guī)律間共同特性。在這部分里我們通過(guò)若干次對(duì)下標(biāo)值的判斷，巧妙地將奇數(shù)階魔方陣應(yīng)當(dāng)遵循的規(guī)律（2）、（3）和（4）結(jié)合起來(lái)，使魔方陣的填寫(xiě)工作能得以順利進(jìn)行。這是因?yàn)槠鏀?shù)階魔方陣要求的五個(gè)規(guī)律中，規(guī)律（2）、（3）和（4）與單元的下標(biāo)有直接的關(guān)系。2．選擇首次判斷對(duì)象的要求。在這部分里我們首先進(jìn)行的是對(duì)填入數(shù)字R是否是階數(shù)N的整數(shù)倍的判斷，這實(shí)際上是將奇數(shù)階魔方陣的規(guī)律（5）作為主要的判斷標(biāo)準(zhǔn)。那么為什么不用另外的四個(gè)規(guī)律來(lái)作為主要的判斷標(biāo)準(zhǔn)呢？這主要是考慮到對(duì)于要填入的數(shù)字，在奇數(shù)階魔方陣的五個(gè)規(guī)律中，只有規(guī)律（5）將該數(shù)字直接與階數(shù)聯(lián)系起來(lái)，而另外四個(gè)規(guī)律則沒(méi)有（僅僅與填入單元的下標(biāo)值有直接的聯(lián)系）。這告訴我們，算法的編制應(yīng)注意那些具有單一性特點(diǎn)的事實(shí)、特性或規(guī)律等等。3．有關(guān)魔方常數(shù)的得到。要得到魔方常數(shù)，最直接的方法是通過(guò)公式S=n(n2+1)/2來(lái)計(jì)算，但這樣做不能顯示整個(gè)魔方陣的構(gòu)造是否正確。在參考算法中，我們是通過(guò)累加魔方陣對(duì)角線中各元素?cái)?shù)值來(lái)實(shí)現(xiàn)的，這樣做的好處有，其一是體現(xiàn)了數(shù)字累加方式在算法編制中的作用，其二是顯示了所構(gòu)造的魔方陣是否正確。當(dāng)然，我們也可以通過(guò)累加魔方陣某行或某列中各元素?cái)?shù)值來(lái)實(shí)現(xiàn)，只不過(guò)設(shè)計(jì)的步驟要稍多一些，因?yàn)樾枰獜膎行（列）中確定某行（列）的步驟。4．關(guān)于魔方陣的驗(yàn)證。本參考算法中沒(méi)有設(shè)計(jì)利用魔方常數(shù)來(lái)判斷所完成的方陣是否是魔方陣的步驟，但設(shè)計(jì)這一功能并不困難。比較方便的做法可以為：在第一部分加入用公式計(jì)算魔方常數(shù)的步驟，將第三部分分成輸出方陣和驗(yàn)證方陣兩部分。在驗(yàn)證部分里，設(shè)計(jì)分別計(jì)算各行、各列及對(duì)角線中各數(shù)字和的步驟，以及將這些數(shù)字和與前面計(jì)算出的魔方常數(shù)進(jìn)行比較的步驟。若對(duì)此有興趣，不妨自己動(dòng)手試試。C語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)教案六、要點(diǎn)回顧1．?dāng)?shù)學(xué)思想：構(gòu)成奇數(shù)階魔方陣應(yīng)當(dāng)遵循的五個(gè)規(guī)律；2．常用公式：判斷“R是N的整數(shù)倍”的等式R–INT(R/N)N=0；3．算法技巧：利用累計(jì)方式計(jì)算魔方常數(shù)和完成魔方陣輸出的方法。4．實(shí)用方法：判斷整數(shù)R是否是整數(shù)N的整數(shù)倍的方法。第二篇：魔方陣實(shí)驗(yàn)報(bào)告<<魔方陣>>實(shí)驗(yàn)報(bào)告一．實(shí)驗(yàn)?zāi)康?.設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)；2.設(shè)計(jì)算法完成任意n階魔方陣的填數(shù)；3.分析算法的時(shí)間復(fù)雜度。二．實(shí)驗(yàn)內(nèi)容魔方陣，又叫幻方陣，在我國(guó)古代稱(chēng)為“縱橫圖”。它是在一個(gè)n*n的矩陣中填入1到n*n的數(shù)字(n為奇數(shù))，使得每一行，每一列，每條對(duì)角線的累加和都相等。三．程序代碼源程序：#includevoidSquare(intn){inta[9][9];intp=0,q=(n-1)/2;a[0][q]=1;//在第0行的中間位置填1for(inti=2;i<=n*n;i++){p=(p-1+n)%n;//求i所在行號(hào)q=(q-1+n)%n;//求i所在列號(hào)if(a[p][q]>0){p=(p+2)%n;q=(q+1)%n;//這兩句進(jìn)行了修改，否者得不到正確的答案，切記切記！！}//如果位置(p,q)已經(jīng)有數(shù)，填入同一列下一行a[p][q]=i;}for(p=0;p{for(q=0;qcout<cout<<'n';}}voidmain(){intn;cout<<=9):”;cin>>n;cout<0)p=(p+1)%n;，這個(gè)語(yǔ)句是錯(cuò)的。之所以會(huì)有這樣的錯(cuò)誤，是由于錯(cuò)誤的理解了“如果位置(p,q)已經(jīng)有數(shù)，填入同一列下一行”這一句的意思，這句的意思是填入原數(shù)的下面，而不是即將填入的那個(gè)數(shù)但又已填入數(shù)的那個(gè)數(shù)的下面。解決方法:將該語(yǔ)句改成：if(a[p][q]>0){p=(p+2)%n;q=(q+1)%n;}，這樣就可以了。3.由于數(shù)組a[][]是在Square函數(shù)中定義的，因此將數(shù)組數(shù)據(jù)輸出的語(yǔ)句就只能放在Square函數(shù)中實(shí)現(xiàn)。第三篇：C語(yǔ)言程序編程：輸入奇數(shù),輸出n階幻方矩陣#include#defineMAX100voidhuanFang(intn){inta[MAX][MAX]={0};//初始化數(shù)組都為0inti,j;intm,k;//當(dāng)前位置intp,q;//下一個(gè)位置intdata=0;m=0;k=n/2;while(dataq=k+1;//右if(p<0&&q=0){//上出框//printf(“qianshangchu:p=%d,q=%dn”,p,q);p=n-1;//下邊放//printf(“houshangchu:p=%d,q=%dn”,p,q);}elseif(p>=0&&p//printf(“qianyouchu:p=%d,q=%dn”,p,q);q=0;//左邊放//printf(“houyouchu:p=%d,q=%dn”,p,q);}elseif(p<0&&q==n){//斜出框//printf(“qianxiechu:p=%d,q=%dn”,p,q);p=m+1;//下格填q=k;//printf(“houxiechu:p=%d,q=%dn”,p,q);}if(a[p][q]!=0){//排重//printf(“qianchongpai:p=%d,q=%dn”,p,q);p=m+1;//下格填q=k;//printf(“houchongpai:p=%d,q=%dn”,p,q);}m=p;k=q;}for(i=0;iprintf(“%d”,a[i][j]);}printf(“n”);}}voidmain(){intn;//判斷是否輸入的是奇數(shù)while(1){printf(“pleaseinputnjie,nisoddn”);scanf(“%d”,&n);if(n%2==1)break;}huanFang(n);}第四篇：數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法設(shè)計(jì)與分析數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法設(shè)計(jì)與分析、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、計(jì)算機(jī)組成原理、操作系統(tǒng)原理、編譯原理、數(shù)據(jù)庫(kù)原理及應(yīng)用、軟件工程、軟件測(cè)試等計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)理論課程；網(wǎng)頁(yè)制作、程序設(shè)計(jì)Java、JSP程序設(shè)計(jì)、Oracle、XML程序設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、SSH（Struts+Spring+Hibernate）框架、JavaEE程序設(shè)計(jì)、Ajax程序設(shè)計(jì)、Linux+PHP+MySQL程序設(shè)計(jì)、Android手機(jī)開(kāi)發(fā)、UML系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)、性能測(cè)試、自動(dòng)化軟件測(cè)試、軟件質(zhì)量保證、畢業(yè)設(shè)計(jì)及項(xiàng)目綜合實(shí)訓(xùn)等。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、計(jì)算機(jī)組成原理、操作系統(tǒng)原理、編譯原理、數(shù)據(jù)庫(kù)原理及應(yīng)用、金融學(xué)概論、西方經(jīng)濟(jì)學(xué)等基礎(chǔ)理論課程；網(wǎng)頁(yè)制作、程序設(shè)計(jì)Java、JSP程序設(shè)計(jì)、J2EE程序設(shè)計(jì)、SQLServer數(shù)據(jù)庫(kù)、Oracle數(shù)據(jù)庫(kù)、Linux操作系統(tǒng)、UML系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)、軟件工程、XML程序設(shè)計(jì)、SSH框架、金融市場(chǎng)學(xué)、ERP財(cái)務(wù)管理、管理信息系統(tǒng)、投資銀行學(xué)、商業(yè)銀行學(xué)、國(guó)際金融管理、畢業(yè)設(shè)計(jì)及項(xiàng)目綜合實(shí)訓(xùn)等專(zhuān)業(yè)課程。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、計(jì)算機(jī)組成原理、操作系統(tǒng)原理、數(shù)據(jù)庫(kù)原理及應(yīng)用、軟件工程、軟件測(cè)試等計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)理論課程；網(wǎng)頁(yè)制作、程序設(shè)計(jì)Java、JSP程序設(shè)計(jì)、J2EE程序設(shè)計(jì)、XML程序設(shè)計(jì)、Ajax程序設(shè)計(jì)、SSH框架、Android手機(jī)開(kāi)發(fā)、Linux+PHP+MySQL程序設(shè)計(jì)、SQLServer數(shù)據(jù)庫(kù)、Linux操作系統(tǒng)、UML系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)、軟件項(xiàng)目管理、行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)與規(guī)范、IT服務(wù)管理、IT職業(yè)英語(yǔ)、畢業(yè)設(shè)計(jì)及項(xiàng)目綜合實(shí)訓(xùn)等專(zhuān)業(yè)課程第五篇：算法設(shè)計(jì)與分析學(xué)習(xí)心得算法設(shè)計(jì)與分析學(xué)習(xí)心得班級(jí)：物聯(lián)網(wǎng)120XX姓名：劉瀟學(xué)號(hào)：1030612129一、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：這學(xué)期的算法與設(shè)計(jì)課，老師布置了這四個(gè)問(wèn)題，分別是貨郎擔(dān)問(wèn)題，動(dòng)態(tài)生成二維數(shù)組，對(duì)話框下拉列表，排序問(wèn)題。二、學(xué)習(xí)掌握：基本程序描述：（1）貨郎擔(dān)問(wèn)題：貨郎擔(dān)問(wèn)題屬于易于描述但難于解決的著名難題之一，至今世界上還有不少人在研究它。貨郎擔(dān)問(wèn)題要從圖g的所有周游路線中求取具有最小成本的周游路線，而由始點(diǎn)出發(fā)的周游路線一共有（n一1）！條，即等于除始結(jié)點(diǎn)外的n一1個(gè)結(jié)點(diǎn)的排列數(shù)，因此貨郎擔(dān)問(wèn)題是一個(gè)排列問(wèn)題。貨郎擔(dān)的程序?qū)崿F(xiàn)了利用窮舉法解決貨郎擔(dān)問(wèn)題，可以在城市個(gè)數(shù)和各地費(fèi)用給定的情況下利用窮舉法逐一計(jì)算出每一條路線的費(fèi)用，并從中選出費(fèi)用最小的路線。從而求出問(wèn)題的解（2）費(fèi)用矩陣：費(fèi)用矩陣的主要內(nèi)容是動(dòng)態(tài)生成二維數(shù)組。首先由鍵盤(pán)輸入自然數(shù)，費(fèi)用矩陣的元素由隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生，并取整，把生成的矩陣存放在二維數(shù)組中，最后把矩陣內(nèi)容輸出到文件和屏幕上。它采用分支界限法，分支限界法的基本思想是對(duì)包含具有約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題的所有可行解的解（數(shù)目有限）空間進(jìn)行搜索。該算法在具體執(zhí)行時(shí)，把全部可行的解空間不斷分割為越來(lái)越小的子集，并為每個(gè)子集內(nèi)的解計(jì)算一個(gè)下界或上界。動(dòng)態(tài)生成二維n*n的數(shù)組程序利用指針表示數(shù)組的行和列，并逐一分配空間，在輸入n的數(shù)值后，系統(tǒng)自動(dòng)分配空間，生成n*n的數(shù)組，并產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)填充數(shù)組，最后將結(jié)果輸入到指定文件中。（3）Mfc：在下拉列表框中添加內(nèi)容程序，在下拉列表對(duì)應(yīng)的函數(shù)中利用addstring添加需要的內(nèi)容。首先定義下拉列表框?yàn)閏combox型，并定義其屬性名，利用addstring函數(shù)可以任意添加需要的內(nèi)容。a排序問(wèn)題:快速排序的運(yùn)行時(shí)間與劃分是否對(duì)稱(chēng)有關(guān)，其最壞情況發(fā)生在劃分過(guò)程中產(chǎn)生的兩個(gè)區(qū)域分別包含n-1個(gè)元素和1個(gè)元素的時(shí)候。其算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(n2),在最好的情況下每次劃分的基準(zhǔn)恰好為中值，可得其算法時(shí)間復(fù)雜度為O(n㏒n)。算法的實(shí)現(xiàn)和理解和代碼實(shí)現(xiàn)完全是兩回事，想要完全掌握一種算法，需要?jiǎng)邮謱?shí)踐，用代碼實(shí)現(xiàn)，才能理解透徹，真正掌握。b對(duì)話框下拉列表：這個(gè)項(xiàng)目簡(jiǎn)單易懂，輕松實(shí)現(xiàn)。三.疑問(wèn)與總結(jié)：貨郎擔(dān)的問(wèn)題，我認(rèn)為窮舉法相對(duì)比而言是比較初級(jí)的方法，費(fèi)時(shí)耗力，適合在練習(xí)時(shí)選用，但是在實(shí)際問(wèn)題中不建議采用