常微分方程OrdinaryDifferentialEquations課件

4.2常系數(shù)微分方程的解法具體內(nèi)容復(fù)值函數(shù)與復(fù)值解常系數(shù)齊次線性微分方程和歐拉方程非齊次線性微分方程的解法：比較系數(shù)法和拉普拉斯變換法應(yīng)用分析：質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)定理8：如果方程（4.2）中所有系數(shù)都是實(shí)值函數(shù)，而是方程的復(fù)值解，則的實(shí)部、虛部和共軛復(fù)值函數(shù)也都是方程（4.2）的解。即，方程（4.2）的復(fù)值解的實(shí)部和虛部也是對(duì)應(yīng)方程（4.2）的解。2、常系數(shù)齊線性方程其中是實(shí)常數(shù)。此時(shí)，稱（4.19）為n階常系數(shù)齊線性方程。若齊線性方程（4.2）的所有系數(shù)都是常數(shù)，即原方程可以寫為如下形式：假如下面形式（4.20）是方程（4.19）的解于是有：使得（4.20）是方程（4.19）的解的充要條件為：稱（4.21）是方程（4.19）的特征方程，它的根稱為特征根。求解常系數(shù)線性微分方程問題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)代數(shù)方程問題。設(shè)是特征方程（4.21）的n個(gè)彼此不相等的根，則相應(yīng)地方程（4.19）有如下n個(gè)解：可以證明這n個(gè)解在區(qū)間上線性無關(guān)（？），從而組成方程（4.19）的基本解組。如果均為實(shí)數(shù)，則(4.22)是方程(4.19)的n個(gè)線性無關(guān)的實(shí)值解，而方程(4.19)的通解可表示為:其中為任意常數(shù)。3.1特征根是單實(shí)根的情形例1

求方程的通解。解：(單實(shí)根)特征方程為：特征根：通解：對(duì)應(yīng)的基本解組：3.2特征根有單虛根的情形設(shè)有單復(fù)根，此時(shí)，由定理8，可以求得實(shí)值解：例2求方程的通解解：(復(fù)單根)特征方程為：特征根通解對(duì)應(yīng)的基本解組3.3特征根是重根的情形設(shè)特征方程有k重根，由代數(shù)學(xué)基本知識(shí)有：下面分三步來討論基本解組的構(gòu)成：先討論

此時(shí)基本解組的部分函數(shù)為：討論再構(gòu)成基本解組：把這種情況通過變換化為第一種情況。特征根的重?cái)?shù)分別為：則有基本解組：對(duì)于特征方程有復(fù)重根的情況，結(jié)合前面兩種情況就可以討論了。譬如假設(shè)是k重特征根，則也是k重特征根，仿3.2一樣處理，將得到方程（4.19）的2k個(gè)實(shí)值解：例6求方程的通解特征方程：解：復(fù)重根的情形對(duì)應(yīng)的基本解組：通解：特征根：是2重根。例6求解方程解：分析可知，這個(gè)方程是一個(gè)典型的常系數(shù)齊線性微分方程，于是，由歐拉待定指數(shù)方法。特征方程為：或特征根為：于是可以寫出這個(gè)方程的一個(gè)基本解組為：于是可以寫出這個(gè)方程的通解為：其中是任意常數(shù)。歐拉方程的求解方法是通過變換變?yōu)槌Ｏ禂?shù)齊線性方程，因而求解問題很容易解決。引進(jìn)變換：4、歐拉方程定義：形如的方程被稱為歐拉方程。得到常系數(shù)齊線性方程：利用齊線性方程的求解方法可求得其解，然后帶回原變量即可完成歐拉方程的求解。于是對(duì)應(yīng)于歐拉方程（4.30）的齊線性方程有形如的解，從歐拉方程有形如的解。若以代入歐拉方程，得到其對(duì)應(yīng)的特征方程：方程（4.31）的m重實(shí)根，對(duì)應(yīng)于方程（4.29）的m個(gè)解方程（4.31）的m重復(fù)根，對(duì)應(yīng)于方程（4.29）的2m個(gè)實(shí)值解歐拉方程的解例5求解方程解：分析原方程為歐拉方程，于是有：得到確定的代數(shù)方程：方程的通解為其中是任意常數(shù)。特征根為二重實(shí)根：尋找方程的形式解，4.2.3非齊次線性方程：比較系數(shù)法和拉普拉斯變換法——求特解定義：常系數(shù)非齊線性方程在解決實(shí)際問題時(shí)，往往要解決一些比較簡單的微分方程，即帶有特殊形式的微分方程，為此，在這里，我們介紹兩種常用的方法：比較系數(shù)法和拉普拉斯變換法，它們的共同特點(diǎn)是不需要通過積分而用代數(shù)運(yùn)算方法即可求得非齊線性方程的特解。類型Ⅰ那么，方程（4.32）有形如的特解。其中k為特征方程的根的重?cái)?shù)，而是待定系數(shù)，可以通過比較系數(shù)來確定。一、比較系數(shù)法：求特解①如果不是特征根是特征根特征方程的根對(duì)應(yīng)于（4.37）的特征方程的零根，并且重?cái)?shù)相同。于是利用上面的結(jié)論求解。②如果作變量變換，（4.32）化為①如果不是特征根,取k=0,有如下形式的特解：則比較t的同次冪的系數(shù)，得到常數(shù)應(yīng)滿足的方程組為②如果是k重特征根，即，方程（4.32）將為作變換：，則方程（4.35）化為對(duì)于（4.36），已不是它的特征根。因此，由前面的討論，有形如下列形式的特解:這表明是t的m+k次多項(xiàng)式，其中t的冪次的項(xiàng)帶有任意常數(shù)。但因只需要知道一個(gè)特解就夠了。特別地取這些任意常數(shù)均為零，于是得到方程（4.35）（或方程（4.32））的一個(gè)特解因而方程（4.35）有特解滿足：③如果作變量變換，（4.32）化為特征方程的根對(duì)應(yīng)于（4.37）的特征方程的零根，并且重?cái)?shù)相同。于是利用上面的結(jié)論有：在不是特征方程的根的情形，（4.32）有特解：在是特征方程的根的情形，（4.32）有特解：其中k為重?cái)?shù).利用比較系數(shù)法求解非齊線性常系數(shù)微分方程的一般步驟：1、求對(duì)應(yīng)齊線性常系數(shù)微分方程的特征根；2、分析f(t)的形式；3、判定上述f(t)中的指數(shù)是否為特征根？4、然后利用比較系數(shù)法求得.例7求解方程解：對(duì)應(yīng)齊線性方程的通解為再求非齊線性方程的一個(gè)特解。這里并且不是特征根，故可取特解形如將代入原方程，得到：比較系數(shù)得原方程的通解為例8求方程通解解:主要目的-求一特解。故根據(jù)比較系數(shù)法有特解形如，通過代入，化簡得：于是原方程的通解為：這里，且，特征根為：其中正是單特征根:類型Ⅱ設(shè)，其中為常數(shù)，而是帶實(shí)系數(shù)的t的多項(xiàng)式，其中一個(gè)的次數(shù)為m，而另一個(gè)的次數(shù)不超過m，那么有如下結(jié)論：方程（4.32）有形如的特解。這里k為特征根的重?cái)?shù)，而P(t)，Q(t)均為待定的實(shí)系數(shù)的次數(shù)不高于m關(guān)于t的多項(xiàng)式，可以通過比較系數(shù)的方法來確定。的解之和必為方程（4.32）的解。與則根據(jù)非齊線性方程的疊加原理有：改寫f(t)的形式如下通過分析,（4.32）有解形如：其中利用非齊線性方程的疊加原理和類型I類型II的求解思想:例9求方程通解解：很容易求得原方程對(duì)應(yīng)齊線性方程的通解為：再求非齊線性方程的一個(gè)特解。因?yàn)椴皇翘卣鞲?，求形如的特解，將它代入原方程并化簡得到通過比較同類項(xiàng)的系數(shù)，得到原方程的通解：類型Ⅱ的特殊情形例10用復(fù)數(shù)法求解例9解：由例9已知對(duì)應(yīng)齊線性方程的通解為：為求非齊線性方程的一個(gè)特解,先求方程復(fù)數(shù)法求解的特解。這屬于類型Ⅰ，而2i不是特征根，故可設(shè)特解為：將它代入方程并消去因子得，因而，由定理9，這是原方程的特解，于是原方程的通解為于是：二、拉普拉斯變換法為函數(shù)的拉普拉斯變換，稱為原函數(shù)，稱為象函數(shù)。并記為定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，如果含參變量s

的無窮積分對(duì)s

的某一取值范圍是收斂的。則稱定理：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上逐段連續(xù)，且存在數(shù)，使得對(duì)于一切有則當(dāng)時(shí)，存在。證明：當(dāng)時(shí)，有例如：求函數(shù)及的拉普拉斯變換。設(shè)給定微分方程及初始條件其中是常數(shù)，而f(t)為連續(xù)函數(shù)且滿足原函數(shù)的條件。拉普拉斯變換法主要是借助于拉普拉斯變換把常系數(shù)線性微分方程（組）轉(zhuǎn)換成復(fù)變數(shù)的代數(shù)方程（組）。通過一些代數(shù)運(yùn)算，一般地，利用拉普拉斯變換表，很容易求出微分方程（組）的解。方法十分簡單，為工程技術(shù)人員所普遍采用。當(dāng)然，方法本身也有一定的局限性，它要求所考察的微分方程的右端函數(shù)必須是原函數(shù)，否則方法就不再適用了。那么，按原函數(shù)微分性質(zhì)有可以證明，如果函數(shù)是方程（4.32）的任意解，則x(t)及其各階導(dǎo)數(shù)均是原函數(shù)。記于是，對(duì)方程（4.32）兩端施行拉普拉斯變換，并利用線性性質(zhì)得到這就是方程（4.32）的滿足所給定初始條件的解的象函數(shù)。即或例11求方程滿足初始條件的解。解：對(duì)方程兩端施行拉普拉斯變換，得到方程的解的象函數(shù)所滿足的方程：所以，利用初始條件有：即為原方程的解。利用拉普拉斯變換表，可得的原函數(shù)分別是。因此，利用拉普拉斯變換的線性性質(zhì)得的原函數(shù)為例12

求解方程解：由于初始條件不在零點(diǎn)，所以先作平移變換：于是有再對(duì)新方程施行拉普拉斯變換，得到還原變量代換得原方程的通解：有于是借助于拉普拉斯變換把常系數(shù)線性微分方程（組）轉(zhuǎn)換成復(fù)變數(shù)S的代數(shù)方程（組）。優(yōu)點(diǎn)：通過一些代數(shù)運(yùn)算，一般地再利用拉普拉斯變換表，即可求出微分方程（組）的解。方法簡便，為工程技術(shù)工作者所普遍采用。缺點(diǎn)：要求微分方程右端的函數(shù)是一個(gè)原函數(shù)(滿足條件（*）)。拉普拉斯變換法的主要思想注意：拉普拉斯變換存在是有條件的。小結(jié)本節(jié)討論了高階常系數(shù)微分方程和特殊的變系數(shù)微分方程（歐拉方程）的求解問題，得到常系數(shù)齊次線性微分方程的待定指數(shù)求解方法和非齊次線性微分方程的比較系