第三章排列、組合與二項(xiàng)式定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)梳理- 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

2/2新教材人教B版2019版數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)第三章知識(shí)點(diǎn)清單目錄第三章排列、組合與二項(xiàng)式定理3.1排列與組合3.1.1基本計(jì)數(shù)原理3.1.2排列與排列數(shù)3.1.3組合與組合數(shù)3.2數(shù)學(xué)探究活動(dòng)：生日悖論的解釋與模擬3.3二項(xiàng)式定理與楊輝三角第三章排列、組合與二項(xiàng)式定理3.1排列與組合3.1.1基本計(jì)數(shù)原理一、分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)原理分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理任務(wù)完成一件事步驟完成它有n類(lèi)辦法，且：第一類(lèi)辦法中有m1種不同的方法，第二類(lèi)辦法中有m2種不同的方法……第n類(lèi)辦法中有mn種不同的方法完成它需要分成n個(gè)步驟，且：做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法結(jié)果完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法二、對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的理解計(jì)數(shù)原理分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理都可以用來(lái)計(jì)算完成某件事的方法種數(shù)，最終的目

的都是完成某件事不同點(diǎn)1.完成一件事有n類(lèi)辦法，這n類(lèi)辦法之間是彼此獨(dú)立的.2.每一類(lèi)中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事.3.把各類(lèi)辦法中的方法數(shù)相加就是完成這件事的所有方法數(shù)1.完成一件事需要若干個(gè)步驟，完成每個(gè)步驟又有若干種方法.2.只有每個(gè)步驟都完成了才算完成這件事，每個(gè)步驟缺一不可.3.把完成每個(gè)步驟的方法數(shù)相乘就是完成這件事的所有方法數(shù)注意點(diǎn)類(lèi)類(lèi)獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整有些實(shí)際問(wèn)題的解決，并不一定是單一的分類(lèi)或分步，而是同時(shí)應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，即分類(lèi)時(shí)，每類(lèi)的方法可能要分步完成；分步時(shí)，每步的方法可能會(huì)采取分類(lèi)的思想解決.另外，具體問(wèn)題是先分類(lèi)后分步，還是先分步后分類(lèi)，應(yīng)視問(wèn)題的特點(diǎn)而定.在解題過(guò)程中，要注意列舉法、樹(shù)狀圖法、間接法等的靈活應(yīng)用.三、利用計(jì)數(shù)原理解決涂色(種植)問(wèn)題1.利用計(jì)數(shù)原理解決涂色(種植)問(wèn)題的方法(1)按區(qū)域的不同，以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行分析；(2)以顏色(種植作物)為主分類(lèi)討論，再在每一類(lèi)的方法數(shù)中應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理，最后根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理對(duì)每一類(lèi)的涂色(種植)方法數(shù)求和，即得到最終的涂色(種植)方法數(shù).3.1.2排列與排列數(shù)一、排列與排列數(shù)1.排列的概念一般地，從n個(gè)不同對(duì)象中，任取m(m≤n)個(gè)對(duì)象，按照一定的順序排成一列，稱(chēng)為從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的一個(gè)排列.特別地，m=n時(shí)的排列(即取出所有對(duì)象的排列)稱(chēng)為全排列.2.排列數(shù)(1)排列數(shù)的概念：從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的所有排列的個(gè)數(shù)，稱(chēng)為從n個(gè)

不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的排列數(shù)，用符號(hào)An(2)排列數(shù)公式：Anm=n(n-1)…(n-m+1)=一般地，在Anm中，當(dāng)m=n時(shí)，排列數(shù)公式為An規(guī)定：0!=1；An3.所謂排成一列，是指與順序有關(guān)，例如，排列AB與排列BA是不同的排列，可以把一個(gè)排列看成一個(gè)類(lèi)似點(diǎn)坐標(biāo)的有序數(shù)對(duì).4.符號(hào)Anm中，總是要求n和m都是正整數(shù)，且m二、與排列數(shù)有關(guān)的計(jì)算1.排列數(shù)運(yùn)算的方法與技巧(1)拆項(xiàng)技巧：n·n!=(n+1)!-n!；n?1n!=1(n?1)!-(2)化簡(jiǎn)技巧：Anm=nAn?1m?1，Anm+m2.解與排列數(shù)有關(guān)的方程或不等式的步驟(1)轉(zhuǎn)化：將有關(guān)排列數(shù)的方程或不等式轉(zhuǎn)化為普通方程或不等式；(2)求解：解轉(zhuǎn)化后的普通方程或不等式；(3)檢驗(yàn)：將所求結(jié)果代入原方程或原不等式中檢驗(yàn).三、有限制條件的排列問(wèn)題1.“在”與“不在”問(wèn)題解決此類(lèi)問(wèn)題，常用的方法是特殊位置(對(duì)象)分析法，遵循的原則是優(yōu)先排特殊位置(對(duì)象)，即需先滿(mǎn)足特殊位置(對(duì)象)的要求，再處理其他位置(對(duì)象).如果有兩個(gè)及以上的約束條件，那么在考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)要兼顧其他條件；當(dāng)直接求解困難時(shí)，可考慮用間接法解題.2.“相鄰”與“不相鄰”問(wèn)題(1)當(dāng)對(duì)象被要求相鄰時(shí)，通常采用“捆綁法”，即把相鄰對(duì)象看作一個(gè)整體并與其他對(duì)象進(jìn)行排列，要注意捆綁對(duì)象本身的內(nèi)部排列.(2)當(dāng)對(duì)象被要求不相鄰時(shí)，通常采用“插空法”，即先考慮不受限制的對(duì)象的排列，再將不相鄰對(duì)象插在前面對(duì)象形成的空中.3.“定序”問(wèn)題在排列問(wèn)題中，某些對(duì)象已排定了順序，對(duì)這些對(duì)象進(jìn)行排列時(shí)，不再考慮其

順序.在具體的計(jì)算過(guò)程中，可采用“除階乘法”解決，即n個(gè)對(duì)象的全排列中有m

(m≤n)個(gè)對(duì)象的順序固定，則滿(mǎn)足題意的排法有An3.1.3組合與組合數(shù)一、組合與組合數(shù)1.組合的概念一般地，從n個(gè)不同對(duì)象中取出m(m≤n)個(gè)對(duì)象并成一組，稱(chēng)為從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的一個(gè)組合.2.組合數(shù)(1)組合數(shù)的概念：從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的所有組合的個(gè)數(shù)，稱(chēng)為從n個(gè)

不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的組合數(shù)，用符號(hào)Cn(2)組合數(shù)公式：Cnm=AnmA特別地，Cn0=1，Cn1(3)組合數(shù)的性質(zhì)：Cnm=Cnn?m，3.所謂并成一組是指與順序無(wú)關(guān)，例如，組合a，b與組合b，a是同一組合，可以把一個(gè)組合看成一個(gè)集合.4.在符號(hào)Cnm中，總是要求n和m都是正整數(shù)，且m二、與組合數(shù)有關(guān)的計(jì)算與組合數(shù)有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題常用到組合數(shù)公式和組合數(shù)的性質(zhì)，涉及具體數(shù)字的可以直接用公式Cnm=AnmAmm=n(n?1)…[n?(m?1)]m×(m?1)×…×2×1計(jì)算，涉及字母的可以用Cnm=n!(n?m)!m!計(jì)算，計(jì)算時(shí)應(yīng)注意利用組合數(shù)的性質(zhì)Cn三、分組與分配問(wèn)題分組問(wèn)題和分配問(wèn)題是有區(qū)別的，前者組與組之間只要對(duì)象個(gè)數(shù)相同，就是不可區(qū)分的，而后者即使兩組對(duì)象個(gè)數(shù)相同，但因?qū)ο蟛煌匀皇强蓞^(qū)分的.1.分組問(wèn)題的求解策略(1)非均勻不編號(hào)分組：將n個(gè)不同對(duì)象分成m(m≤n)組，每組對(duì)象數(shù)目均不相等，依次記為m1，m2，…，mm，不考慮各組間的順序，不管是否分盡，分法種數(shù)N=Cnm1·Cn?m1m(2)均勻不編號(hào)分組：將n個(gè)不同對(duì)象分成不編號(hào)的m(m≤n)組，假定其中r組對(duì)象個(gè)數(shù)相等，不管是否分盡，其分法種數(shù)為NArr數(shù)).若再有k組均勻分組，則應(yīng)再除以Ak(3)非均勻編號(hào)分組：將n個(gè)不同對(duì)象分成m(m≤n)組，各組對(duì)象數(shù)目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為N·Amm(其中(4)均勻編號(hào)分組：將n個(gè)不同對(duì)象分成m(m≤n)組，其中r組對(duì)象個(gè)數(shù)相等且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為NArr·A2.相同對(duì)象分配問(wèn)題的處理策略(1)隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，那么可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個(gè)“盒”.每一種插入隔板的方法對(duì)應(yīng)著小球放入盒子的一種方法，此方法稱(chēng)為隔板法.隔板法專(zhuān)門(mén)用于解決相同對(duì)象的分配問(wèn)題.(2)將n個(gè)相同的物品分給m個(gè)不同的對(duì)象(n≥m)，有Cn?1m?1空中插入(m-1)塊隔板.四、排列、組合的綜合應(yīng)用解決排列、組合問(wèn)題要遵循兩個(gè)原則：①按對(duì)象(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)；②按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步.具體地說(shuō)，解決排列、組合問(wèn)題常以對(duì)象(或位置)為

主體，即先滿(mǎn)足特殊對(duì)象(或位置)，再考慮其他對(duì)象(或位置).3.2數(shù)學(xué)探究活動(dòng)：生日悖論的解釋與模擬3.3二項(xiàng)式定理與楊輝三角一、二項(xiàng)式定理一般地，當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)，有(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn.上述公式稱(chēng)為二項(xiàng)式定理，等式右邊的式子稱(chēng)為(a+b)n的展開(kāi)式，它共有n+1項(xiàng)，其中Cnkan-kbk是展開(kāi)式中的第k+1項(xiàng)(通常用Tk+1表示)，?稱(chēng)為第二、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1.對(duì)稱(chēng)性在二項(xiàng)展開(kāi)式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Cnr=2.單調(diào)性與最大值二項(xiàng)式系數(shù)從兩端向中間逐漸增大，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Cnn2最大；當(dāng)n3.各二項(xiàng)式系數(shù)的和(1)Cn0+Cn1+…+(2)Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+三、楊輝三角的性質(zhì)1.每一行都是對(duì)稱(chēng)的，且兩端的數(shù)都是1.2.從第三行起，不在兩端的任意一個(gè)數(shù)，都等于上一行中與這個(gè)數(shù)相鄰的兩數(shù)之和.四、求二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(項(xiàng)的系數(shù))1.對(duì)于常數(shù)項(xiàng)，隱含的條件是字母的指數(shù)為0.2.對(duì)于有理項(xiàng)，一般先寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)，然后令其所有的字母的指數(shù)都等于整數(shù).求解時(shí)必須合并通項(xiàng)中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其為整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來(lái)求解.3.對(duì)于整式項(xiàng)，其通項(xiàng)中同一字母的指數(shù)合并后應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理

項(xiàng)一致.五、三項(xiàng)展開(kāi)式問(wèn)題1.求三項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)的方法(1)因式分解法：先通過(guò)因式分解將三項(xiàng)式變成兩個(gè)二項(xiàng)式，然后用二項(xiàng)式定理分

別展開(kāi).(2)逐層展開(kāi)法：先將三項(xiàng)式分成兩組，用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，再把其中含兩項(xiàng)的展開(kāi).(3)利用組合知識(shí)：把三項(xiàng)式(a+b+c)n看成n個(gè)(a+b+c)的積，利用組合知識(shí)分析項(xiàng)的

構(gòu)成，注意最后把各個(gè)同類(lèi)項(xiàng)合并.六、利用二項(xiàng)式定理解決整除問(wèn)題或求余問(wèn)題1.利用二項(xiàng)式定理解決整除問(wèn)題的關(guān)鍵是巧妙地構(gòu)造二項(xiàng)式，其基本思路：要證明

一個(gè)式子能被另一個(gè)式子整除，只需證明這個(gè)式子按二項(xiàng)式定理展開(kāi)后的各項(xiàng)均能被另一個(gè)式子整除.因此，一般先將被整除式化為含有相關(guān)除式的二項(xiàng)式，再展開(kāi)，此時(shí)常采用“配湊法”“消去法”，結(jié)合整除的有關(guān)知識(shí)來(lái)處理.2.求余數(shù)時(shí)，要注意余數(shù)的取值范圍，余數(shù)大于零且小于除數(shù)，利用二項(xiàng)式定理展

開(kāi)變形后，若剩余部分是負(fù)數(shù)，要注意進(jìn)行轉(zhuǎn)換.六、賦值法求展開(kāi)式中的系數(shù)和賦值法是解決展開(kāi)式中系數(shù)或展開(kāi)式中系數(shù)的和、差問(wèn)題的常用方法.要根

據(jù)所求，靈活地對(duì)字母賦值，通常賦的值為0，-1或1.(1)對(duì)形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a，b，c∈R，m，n∈N+)的式子，常令x=1；對(duì)形如(ax+by)n(a，b∈R，n∈N+)的式子，常令x=y=1.(2)一般地，令f(x)=(ax+b)n，即f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn，則(ax+b)n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)；奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0+a2+a4+…=f(1)+f(?1)23+a5+…=f(1)?七