數學建模與數學實驗第1講-數學試驗簡介課件

數學建模與數學實驗

數學建模簡介

數學試驗簡介

Matlab入門1

數學建模簡介

1.關于數學建模

2.數學建模實例

3.數學建模論文的撰寫方法A.人口預報問題B.椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？C.雙層玻璃的功效21、什么是數學模型？

數學模型是對于現實世界的一個特定對象，一個特定目的，根據特有的內在規(guī)律，做出一些必要的假設，運用適當的數學工具，得到一個數學結構。簡單地說：就是系統(tǒng)的某種特征的本質的數學表達式（或是用數學術語對部分現實世界的描述），即用數學式子（如函數、圖形、代數方程、微分方程、積分方程、差分方程等）來描述（表述、模擬）所研究的客觀對象或系統(tǒng)在某一方面的存在規(guī)律。一、名詞解釋32、什么是數學建模?

數學建模是利用數學方法解決實際問題的一種實踐。即通過抽象、簡化、假設、引進變量等處理過程后，將實際問題用數學方式表達，建立起數學模型，然后運用先進的數學方法及計算機技術進行求解。觀點：“所謂高科技就是一種數學技術”4

數學建模其實并不是什么新東西，可以說有了數學并需要用數學去解決實際問題，就一定要用數學的語言、方法去近似地刻劃該實際問題，這種刻劃的數學表述的就是一個數學模型，其過程就是數學建模的過程。數學模型一經提出，就要用一定的技術手段（計算、證明等）來求解并驗證，其中大量的計算往往是必不可少的，高性能的計算機的出現使數學建模這一方法如虎添翼似的得到了飛速的發(fā)展，掀起一個高潮。

數學建模將各種知識綜合應用于解決實際問題中，是培養(yǎng)和提高同學們應用所學知識分析問題、解決問題的能力的必備手段之一。5

二、數學建模的一般方法和步驟建立數學模型的方法和步驟并沒有一定的模式，但一個理想的模型應能反映系統(tǒng)的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性建模的一般方法：◆機理分析◆測試分析方法機理分析：根據對現實對象特性的認識，分析其因果關系，找出反映內部機理的規(guī)律，所建立的模型常有明確的物理或現實意義。測試分析方法：將研究對象視為一個“黑箱”系統(tǒng)，內部機理無法直接尋求，通過測量系統(tǒng)的輸入輸出數據，并以此為基礎運用統(tǒng)計分析方法，按照事先確定的準則在某一類模型中選出一個數據擬合得最好的模型。測試分析方法也叫做系統(tǒng)辯識。將這兩種方法結合起來使用，即用機理分析方法建立模型的結構，用系統(tǒng)測試方法來確定模型的參數，也是常用的建模方法。6在實際過程中用那一種方法建模主要是根據我們對研究對象的了解程度和建模目的來決定。機理分析法建模的具體步驟大致可見右圖。符合實際不符合實際交付使用，從而可產生經濟、社會效益實際問題抽象、簡化、假設確定變量、參數建立數學模型并數學、數值地求解、確定參數用實際問題的實測數據等來檢驗該數學模型建模過程示意圖7

模型

數學模型的分類：◆按研究方法和對象的數學特征分：初等模型、幾何模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、圖論模型、邏輯模型、穩(wěn)定性模型、擴散模型等?！舭囱芯繉ο蟮膶嶋H領域（或所屬學科）分：人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、生理模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、污染模型、經濟模型、社會模型等。三、數學模型及其分類8四、近幾年全國大學生數學建模競賽題9

返回101、如何預報人口？

要預報未來若干年（如2005）的人口數，最重要的影響因素是今年的人口數和今后這些年的增長率（即人口出身率減死亡率），根據這兩個數據進行人口預報是很容易的。記今年人口為，k年后人口為，年增長率為r，則預報公式為：

預報正確的條件：年增長率r保持不變。數學建模實例111、指數增長模型（馬爾薩斯人口模型）：英國人口學家馬爾薩斯（Malthus1766~1834）于1798年提出。2、阻滯增長模型（Logistic模型）3、更復雜的人口模型隨機性模型、考慮人口年齡分布的模型等可見數學模型總是在不斷的修改、完善使之能符合實際情況的變化。人口模型12

2、椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？把四只腳的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而有人認為只要稍挪動幾次，就可以四腳著地，放穩(wěn)了，對嗎？133、雙層玻璃的功效北方城鎮(zhèn)的有些建筑物的窗戶是雙層的，即窗戶上裝兩層厚度為的玻璃夾著一層厚度為的空氣，如左圖所示，據說這樣做是為了保暖，即減少室內向室外的熱量流失。我們要建立一個模型來描述熱量通過窗戶的熱傳導（即流失）過程，并將雙層玻璃窗與用同樣多材料做成的單層玻璃窗（如右圖，玻璃厚度為）的熱量傳導進行對比，對雙層玻璃窗能夠減少多少熱量損失給出定量分析結果。

返回14怎樣撰寫數學建模的論文？1、摘要:問題、模型、方法、結果2、問題重述4、分析與建立模型5、模型求解6、模型檢驗7、模型推廣8、參考文獻9、附錄3、模型假設15數學試驗簡介數學實驗的目的是培養(yǎng)學生學習數學、應用數學知識解決一些實際問題的能力。課程通過介紹有關數學軟件（MATLAB），運用數學課程所學習的一些知識與方法，對一些簡單的實際問題進行分組討論、建立數學模型、設計解法、軟件簡單編程、上機實踐、完成實驗報告等教與學的互動過程，使學生真正體會到數學的奧妙和數學學習的實用性和趣味性。16（1）介紹數學軟件MATLAB，使學生學會該數學軟件的基本操作；（2）利用數學軟件，通過上機試驗，解決高等數學和工程數學課程中的一些簡單的數值計算問題；（3）對一些簡單的實際問題，運用所學的數學知識，建立相應的數學模型、運用不同的數學方法上機實驗，找到符合條件的最優(yōu)解；（4）選定幾個較為綜合的問題，進行建模與實踐。教學步驟：17

MATLAB作為線性系統(tǒng)的一種分析和仿真工具，是理工科大學生應該掌握的技術工具，它作為一種編程語言和可視化工具，可解決工程、科學計算和數學學科中許多問題。

MATLAB建立在向量、數組和矩陣的基礎上，使用方便，人機界面直觀，輸出結果可視化。矩陣是MATLAB的核心MATLAB的進入與運行方式（兩種）

MATLAB入門18Matlab（MatrixLaboratory矩陣試驗室）

Matlab是Mathworks公司開發(fā)的，集數值計算、高級繪圖及可視化、高級程序開發(fā)語言和動態(tài)系統(tǒng)建模仿真于一體的開發(fā)環(huán)境，Matlab產品族可以用來進行：1）數據的分析與可視化；2）數值和符號運算；3）工程和科學繪圖；4）控制系統(tǒng)設計；5）數字圖像信號處理；6）財務工程；7）建模、仿真、原型開發(fā)；8）編程、應用開發(fā)、圖形用戶界面設計。等等19

MATLAB入門一、變量與函數二、數組三、矩陣四、MATLAB編程五、實驗作業(yè)20

1、變量

MATLAB中變量的命名規(guī)則是：（1）變量名必須是不含空格的單個詞；（2）變量名區(qū)分大小寫；（3）變量名最多不超過19個字符；（4）變量名必須以字母打頭，之后可以是任意字母、數字或下劃線，變量名中不允許使用標點符號.

一、變量與函數21特殊變量表222、數學運算符號及標點符號（1）MATLAB的每條命令后，若為逗號或無標點符號，則顯示命令的結果；若命令后為分號，則禁止顯示結果.（2）“%”后面所有文字為注釋.（3）“...”表示續(xù)行.233、數學函數24

MATLAB的內部函數是有限的，有時為了研究某一個函數的各種性態(tài)，需要為MATLAB定義新函數，為此必須編寫函數文件.函數文件是文件名后綴為M的文件，這類文件的第一行必須是一特殊字符function開始，格式為：

function因變量名=函數名（自變量名）函數值的獲得必須通過具體的運算實現，并賦給因變量.

4、M文件M文件建立方法：1.在Matlab中，點:File->New->M-file2.在編輯窗口中輸入程序內容

3.點：File->Save，存盤，M文件名必須與函數名一致。Matlab的應用程序也以M文件保存。25例：定義函數f(x1,x2)=100(x2-x12)2+(1-x1)2functionf=fun(x)f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^21.建立M文件：fun.mMATLAB(fun)2.可以直接使用函數fun.m例如：計算f(1,2),只需在Matlab命令窗口鍵入命令：x=[12]fun(x)

返回26x=logspace(first，last，n）

創(chuàng)建從開始，到結束，有n個元素的對數分隔行向量.1、創(chuàng)建簡單的數組二、數組x=[abcdef]

創(chuàng)建包含指定元素的行向量x=first：last

創(chuàng)建從first開始，加1計數，到last結束的行向量x=first：increment：last

創(chuàng)建從first開始，加increment計數，last結束的行向量x=linspace(first，last，n）

創(chuàng)建從first開始，到last結束，有n個元素的行向量27x=[123458718]y=1:7z=3:2:9v=[yz]u=linspace(2,9,11)MATLAB(shuzu1)28

2、數組元素的訪問（3）直接使用元素編址序號.

x([abcd])表示提取數組x的第a、b、c、d個元素構成一個新的數組[x(a)x(b)x(c)x(d)].（2）訪問一塊元素：

x(a：b：c)表示訪問數組x的從第a個元素開始，以步長為b到第c個元素（但不超過c），b可以為負數，b缺損時為1.（1）訪問一個元素：

x(i)表示訪問數組x的第i個元素.29x=1:9y=x(2:2:8)z=[x(1)x(6)x(8)]MATLAB(shuzu2)30

3、數組的方向

前面例子中的數組都是一行數列，是行方向分布的.稱之為行向量.數組也可以是列向量，它的數組操作和運算與行向量是一樣的，唯一的區(qū)別是結果以列形式顯示.

產生列向量有兩種方法：直接產生例c=[1；2；3；4]

轉置產生例b=[1234];c=b’

說明：以空格或逗號分隔的元素指定的是不同列的元素，而以分號分隔的元素指定了不同行的元素.314、數組的運算

（1）標量-數組運算數組對標量的加、減、乘、除、乘方是數組的每個元素對該標量施加相應的加、減、乘、除、乘方運算.設：a=[a1,a2,…,an],c=標量則：a+c=[a1+c,a2+c,…,an+c]a.*c=[a1*c,a2*c,…,an*c]a./c=[a1/c,a2/c,…,an/c](右除）

a.\c=[c/a1,c/a2,…,c/an](左除）

a.^c=[a1^c,a2^c,…,an^c]c.^a=[c^a1,c^a2,…,c^an]32a=[1234]c=2a1=a+ca2=a*ca3=a./ca4=a.\ca5=a.^ca6=c.^aMATLAB(shuzu3)33（2）數組-數組運算

當兩個數組有相同維數時，加、減、乘、除、冪運算可按元素對元素方式進行的，不同大小或維數的數組是不能進行運算的.

設：a=[a1,a2,…,an],b=[b1,b2,…,bn]則：a+b=[a1+b1,a2+b2,…,an+bn]a.*b=[a1*b1,a2*b2,…,an*bn]a./b=[a1/b1,a2/b2,…,an/bn]a.\b=[b1/a1,b2/a2,…,bn/an]a.^b=[a1^b1,a2^b2,…,an^bn]

返回34a=[222]b=[333]c1=a+bc2=a.*bc3=a./bc4=a.\bc5=a.^bMATLAB(shuzu4)35三、矩陣

逗號或空格用于分隔某一行的元素，分號用于區(qū)分不同的行.除了分號，在輸入矩陣時，按Enter鍵也表示開始一新行.輸入矩陣時，嚴格要求所有行有相同的列.

例m=[1234；5678；9101112]p=[111122223333]1、矩陣的建立36特殊矩陣的建立：.d=eye(m，n)產生一個m行、n列的單位矩陣c=ones(m，n)產生一個m行、n列的元素全為1的矩陣b=zeros(m，n)產生一個m行、n列的零矩陣a=[]產生一個空矩陣，當對一項操作無結果時，返回空矩陣，空矩陣的大小為零.37m=[1234;5678;9101112]p=[111122223333]a=[]b=zeros(2,3)c=ones(2,3)d=eye(2,3)e=eye(3,3)MATLAB(matrix1)382、矩陣中元素的操作（1）矩陣A的第r行：A（r，：）（2）矩陣A的第r列：A（：，r）（4）取矩陣A的第i1~i2行、第j1~j2列構成新矩陣:A(i1:i2,j1:j2)（5）以逆序提取矩陣A的第i1~i2行，構成新矩陣:A(i2:-1：i1，：）（6）以逆序提取矩陣A的第j1~j2列，構成新矩陣:A(:,

j2:-1：j1

）（7）刪除A的第i1~i2行，構成新矩陣:A(i1:i2，：)=[]（8）刪除A的第j1~j2列，構成新矩陣:A(：，j1:j2)=[]（9）將矩陣A和B拼接成新矩陣：[AB]；[A；B]（3）依次提取矩陣A的每一列，將A拉伸為一個列向量：A（：）39a=[123;456;789]a1=a(2,:)a2=a(:,2)a3=a(:)a4=a(1:2,2:3)a5=a(2:-1:1,:)a6=a(:,3:-1:2)a7=a;a7(1:2,:)=[]a8=a;a8(:,1)=[]a9=[aa2]a10=[a;a1]MATLAB(matrix2)40

（2）矩陣-矩陣運算

[1]元素對元素的運算，同數組-數組運算。

3、矩陣的運算（1）標量-矩陣運算

同標量-數組運算。

[2]矩陣運算：矩陣加法：A+B矩陣乘法：A*B方陣的行列式：det（A）方陣的逆：inv（A）方陣的特征值與特征向量：[V，D]=eig[A]

返回41a=[123456]b=[121212]c1=a+ac2=a*bc=[273;394;153]c3=det(c)c4=inv(c)[v,d]=eig(c)MATLAB(matrix3)42關系與邏輯運算

1、關系操作符432、邏輯運算符441、for循環(huán)：允許一組命令以固定的和預定的次數重復

forx=array{commands}end

在for和end語句之間的命令串{commands}按數組（array）中的每一列執(zhí)行一次.在每一次迭代中，x被指定為數組的下一列，即在第n次循環(huán)中，x=array(：，n)控制流MATLAB提供三種決策或控制流結構：

for循環(huán)、while循環(huán)、if-else-end結構.

這些結構經常包含大量的MATLAB命令，故經常出現在MATLAB程序中，而不是直接加在MATLAB提示符下.

例對n=1,2,…,10,求xn=

的值45forn=1:10x(n)=sin(n*pi/10);endxMATLAB(for1)46

whileexpression{commands}end

只要在表達式(expression)里的所有元素為真，就執(zhí)行while和end語句之間的命令串{commands}.

2、While循環(huán)

與for循環(huán)以固定次數求一組命令相反，while循環(huán)以不定的次數求一組語句的值.

例設銀行年利率為11.25%。將10000元錢存入銀行，問多長時間會連本帶利翻一番？47money=10000years=0whilemoney<20000years=years+1money=money*(1+11.25/100)endMATLAB(while1)483、If-Else-End結構（1）有一個選擇的一般形式是：

ifexpression{commands}end

如果在表達式(expression)里的所有元素為真，就執(zhí)行if和end語句之間的命令串