2022屆高考數(shù)學保分題

2022年高考數(shù)學考前保分題

1.如圖，已知正方形ABC。的邊長為4,E,尸分別為AD,BC的中點，沿E尸將四邊形EFC。

折起，使二面角A-EF-C的大小為60°,點M在線段AB上.

(1)若M為A8的中點，且直線M尸與直線EA的交點為O,求OA的長，并證明直線

0。〃平面EMC；

(2)是否存在點M,使得直線QE與平面EMC所成的角為60°,若存在，求此時二面

角M-EC-F的余弦值，若不存在，說明理由.

【分析】(1)根據(jù)中位線性質可得OA,由MN//OD,結合線面平行的判定定理即可證

明；

(2)取AE的中點”為坐標原點，建立合適的空間直角坐標系，設M(l,30)(OWf

W4),利用線面角的向量求法求出f的值，再利用二面角的向量求出求解即可.

【解答】解：(1)因為E,尸分別為A。，8C的中點，

則EF//AB//CD,

又M為AB的中點，

則A為OE的中點，

1

故OA=AE=aAO=2,

連接CE,DF,交于點N,連接A/N,

因為四邊形CCEF為平行四邊形，

所以N為。F的中點，又M為A8的中點，

則MN//OD,

又MNu平面EMC,OOC平面EMC,

故OD〃平面EMC；

(2)因為EF〃AB〃C￡>,

所以EF_L￡>E,EFLAE,

因為。E,AEu平面4OE,DEHAE=E,

所以EF_L平面AOE,

又"u平面ABFE,

則平面ABFE_L平面ADE,

取AE的中點H為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，

所以E(-1,0,0),D(0,0,V3),C(0,4,V3),尸(一1,4,0),

則屆=(1,0,V3),EC=(1,4,V3),

設“(1,r,0),

則俞=(2,t,0),

設平面EMC的法向量為m=（x,y,z）,

則|茄?手=0,g|J|2%+ty=0,

U.FC=0L+4y+Bz=0

令y=-2,則x=t,z=等，

故zn=（t，-2,—

因為直線QE與平面EMC所成的角為60°,

8V3o

所以?；------------------------=一,即尸-4什3=0,解得1=1或1=3,

25+4+用2

故存在點M,使得直線OE與平面EMC所成的角為60°,

設EC的中點為Q,則Q（W0,.）,

所以&1=弓，0,-3為平面CE尸的法向量，

故|c°sV瀛，m>|=?應=嚴-4|=4二,

IQ川阿eX,+4+（等）2Jt2-4t+19

設二面角M-EC-F的平面角為0,

當t=2時，cos0=0,此時平面EMC_L平面CDEF,

1

則當f=l時，9為鈍角，所以cos0=--4

當r=3時，。為銳角，所以cose=：

D

【點評】本題考查了立體幾何的綜合應用，涉及了線面平行的判定定理和面面垂直的判

定定理的應用，線面角的應用以及二面角的求解問題，在求解有關空間角問題的時候，

一般會建立合適的空間直角坐標系，將空間角問題轉化為空間向量問題進行研究，屬于

中檔題.

2.如圖所示，平面平面8CER且四邊形ABC。為矩形，四邊形8CE尸為直角梯

形，BF//CE,BC.LCE,DC=CE=4,BC=BF=2.

(I)求證：A尸〃平面CDE；

(II)求平面CDE與平面AEF所成銳二面角的余弦值；

(III)求點C到平面AEr的距離.

----丫

【分析】以C為原點，CB所在直線為x軸，CE所在直線為)，軸，CD所在直線為z軸建

立空間直角坐標系.

(I)為平面CDE的一個法向量，證明A5〃平面CDE,只需證明4F-CB=0X2+2

X0+(-4)xo=o；

(II)求出平面CCE的一個法向量、平面AEF一個法向量，利用向量的夾角公式，即

可求平面CDE與平面AE尸所成銳二面角的余弦值；

(III)由點到面的距離公式可得.

【解答】(I)證明：；四邊形8CEF為直角梯形，四邊形A8CO為矩形，

：.BC±CE,BC±CD,

又；平面ABCZ)_L平面BCEF,且平面A8CZ)n平面BCEF=BC,

平面BCEF.

以C為原點，C8所在直線為x軸，CE所在直線為y軸，C。所在直線為z軸建立如圖所

示空間直角坐標系.根據(jù)題意我們可得以下點的坐標：

A(2,0,4),B(2,0,0),C(0,0,0),D(0,0,4),E(0,4,0),F(2,2,0),

則於=(0,2,-4),CB=(2,0,0).

,JBCLCD,BC1.CE,

.?.后為平面CDE的一個法向量.

又AF-CB=0.AFU平面CDE.

.?.A尸〃平面CDE.

(H)由(/)知&=(2,0,0)為平面CCE的一個法向量，

由(/)知族=(-2,4,-4),AF=(0,2,-4)

設平面AE尸的一個法向量益=(x,y,z),

則芯9

令z=l,則y=2,x=2,

???平面AEF的一個法向量￡=(2,2,1),

-n-CB42

cos<n,CB>=VTr-[=^=y

平面CCE與平面AEP所成銳二面角的余弦值為I；

(///)由(/)知。4=(2,0,4),又平面AEF的一個法向量/=(2,2,1),

所以點C到平面AEF的距離"=H=

【點評】本題主要考查空間點、線、面位置關系，二面角及三角函數(shù)及空間坐標系等基

礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查用向量方法解決數(shù)學問題

的能力.

3.如圖，在四棱錐P-ABCO中，已知辦，平面ABCQ,且四邊形ABCC為直角梯形,"BC=

7F

/.BAD=PA=AD=2,AB=BC=].

(1)求平面附8與平面PC。夾角的余弦值；

(2)定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的

最小值；利用此定義求異面直線PB與CD之間的距離.

【分析】(1)建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標，然后利用

待定系數(shù)法求出平面PCD的法向量，由向量的夾角公式求解即可；

(2)利用題中給出的異面直線間的距離，表示出距離，利用二次函數(shù)的性質求解最小值，

即可得到答案.

【解答】解：由題意，以｛6，AD,G｝為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系Aryz,

則B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),

(1)因為A￡>_L平面布8,

所以4。是平面％8的一個法向量，且4)=(0,2,0),

因為而=(1,1,-2),PD=(0,2,-2),

設平面P。的法向量為益=(x,y,z),

則薪?而=0且藍?防=0,

所呢3；?消，

令y=l,則z=Lx=l,

故m=(1,1,1),

所以cos〈4D,益〉="弓=卓,

\AD\\m\

所以平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值為產；

(2)因為誦=(-1,0,2),

設的=4而=(30,2A),

又cB=(-1,1,0),

則&=3+訪