圓的內(nèi)接四邊形知識講解課件

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理CODBA圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理CODBA圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)．推論１：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；反之，相等的圓周角所對的弧也相等．推論２：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；反之，９０°的圓周角所對的弦是直徑．圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．例2．如圖，AB與CD相交于圓內(nèi)一點P．求證：的度數(shù)與的度數(shù)和的一半等于∠APD的度數(shù)．DABPCE分析：由于∠APD既不是圓心角，也不是圓周角，為此我們需要構(gòu)造一個與∠APD相等的圓心角或圓周角，以便利用定理．證明：如圖，過點C作CE//AB交圓于E，則有∠APD＝∠C.例2．如圖，AB與CD相交于圓內(nèi)一點P．求證：DABPCEOACDEBABCOOCABDABCFED·O

１．定義：如果多邊形的所有頂點都在一個圓上,那么這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形,這個圓叫做多邊形的外接圓.一定理的探究OACDEBABCOOCABDABCFED·O１．定義：如

思考:

探究：觀察下圖，這組圖中的四邊形都內(nèi)接于圓．你能發(fā)現(xiàn)這些四邊形的共同特征嗎？特殊到一般的方法!（1）任意三角形都有外接圓嗎？那么任意四邊形有外接圓嗎?（3）任意矩形是否有外接圓?（2）一般地,任意四邊形都有外接圓嗎?思考:探究：觀察下圖，這組圖中的四邊形都內(nèi)接于圓．特殊CODBA1.如圖：圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∵弧BCD和弧BAD所對的圓心角的和是周角.∴∠A＋∠C＝180°

同理∠B＋∠D＝180°2圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理１：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補．CODBA1.如圖：圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∵弧BCD和弧2.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理CO.DBAE圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角．2.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理CO.DBAE圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理１：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角．3四邊形存在外接圓的判定定理OCABDE圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理１：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理2：3四邊已知：四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°,求證：A、B、C、D在同一圓周上（簡稱四點共圓）.OCABD分析：不在同一直線上的三點確定一個圓．經(jīng)過A、B、C三點作⊙O，如果能夠由條件得到⊙O過點D，那么就證明了命題．顯然，

⊙O與點D有且只有三種位置關(guān)系:(1)點D在圓外；(2)點D在圓內(nèi)；(3)點D在圓上．只要證明在假設(shè)條件下只有(3)成立，也就證明了命題．OCABDOCABD分類討論思想反證法3四邊形存在外接圓的判定定理已知：四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°,OCABD分析OCABDEOCABDE(1)如果點D在⊙O的外部．設(shè)E是AD與圓周的交點，連接EC，則有∠AEC+∠B=180°.由題設(shè)∠B+∠D=180°,可得∠D=∠AEC

．這與“三角形的外角大于任一不相鄰的內(nèi)角”矛盾，故點D不可能在⊙O的外部．（2）如果點D在⊙O的內(nèi)部．顯然AD的延長線必定與圓相交，設(shè)交點為E，連接EC，則有∠E+∠B=180°.由題設(shè)∠B+∠ADC=180°,可得∠E=∠ADC

．這與“三角形的外角大于任一不相鄰的內(nèi)角”矛盾，故點D不可能在⊙O的內(nèi)部．證明：(分類討論思想及反證法)綜上所述，點D只能在圓周上，即A、B、C、D四點共圓．OCABDEOCABDE(1)如果點D在⊙O的外部．設(shè)E圓內(nèi)接四邊形判定定理：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓．說明：在此判定定理的證明中，用到了分類討論的思想和反證法．又當(dāng)問題的結(jié)論存在多種情形時，通過對每一種情形分別討論，最后獲得結(jié)論的方法，稱為窮舉法．于是圓內(nèi)接四邊形判定定理的推論：如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓．ABCDOEOCABD應(yīng)用格式：在四邊形ABCD中，∵A+C=180°,∴四點A,B,C,D共圓．應(yīng)用格式：在四邊形ABCD中，∵∠A=∠DCE,∴四點A,B,C,D共圓．3四邊形存在外接圓的判定定理圓內(nèi)接四邊形判定定理：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊1、如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，已知∠BOD=100°,則∠BAD=

,∠BCD=

.練習(xí)：ABCDO2、圓內(nèi)接四邊形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:4,則∠A=∠B=∠C=∠D=50o130o60o90o120o90o3、如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠DCE=75o，則∠BOD=150oABCDOE設(shè)A=2x,則C=4x.∵A+C=180o,∴x=30o.二定理的應(yīng)用1、如圖，四邊形ABCD為⊙O的練習(xí)：ABCDO2、圓內(nèi)接例1：如圖⊙O1與⊙O2都經(jīng)過A、B兩點.經(jīng)過點A的直線CD與⊙O1交于點C,與⊙O2交于點D.經(jīng)過點B的直線EF與⊙O1交于點E,與⊙O2交于點F.求證：CE∥DF.O１O(jiān)2FABECD分析：只要證明同旁內(nèi)角互補即可！并利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理．證明：連接AB．∵四邊形ABEC是⊙O1的內(nèi)接四邊形，∴∠BAD＝∠E．又∵四邊形ABFD是⊙O2的內(nèi)接四邊形，∴∠BAD+∠F=180o．∴∠E+∠F=180o．∴CE//DF．例1：如圖⊙O1與⊙O2都經(jīng)過A、B兩點.經(jīng)過點A的直線CD變式1：如圖，⊙O1和⊙O2都經(jīng)過A、B兩點．過A點的直線CD與⊙O1交于點C，與⊙O2交于點D．過B點的直線EF與⊙O1交于點E，與⊙O2交于點F．求證：CE//DF.EDCFABO1O2變式2:如圖,⊙O1和⊙O2有兩個公共點A﹑B．過A﹑B兩點的直線分別交⊙O1于C、E,交⊙O2于D、F，且CD∥EF．求證：CE=DF．CEABDFO1O2由例1可知:CE//DF,又∵CD//EF,∴DCEF為平行四邊形．∴CE=DF.變式1：如圖，⊙O1和⊙O2都經(jīng)過A、B兩點．過A點的直線C例２.如圖,CF是△ABC的AB邊上的高,FP⊥BC,FQ⊥AC.求證:A、B、P、Q四點共圓．∵FP⊥BC,FQ⊥AC，∴∠FQA＝∠FPC．證明：連接PQ．在四邊形QFPC中，∴Q、F、P、C四點共圓．∴∠QFC＝∠QPC．又∵CF⊥AB，∴∠QFC＋∠QFA＝90°．而∠A＋∠QFA＝90°．∴∠QFC＝∠A．∴∠QPC＝∠A．∴A、B、P、Q四點共圓．CQPBFA例２.如圖,CF是△ABC的AB邊上的高,FP⊥BC,FQ1、(1)圓內(nèi)接平行四邊形一定是

形.(2)圓內(nèi)接梯形一定是

形.(3)圓內(nèi)接菱形一定是

形.矩等腰梯正方練習(xí)2：2.如果四邊形一邊上的兩個頂點的視角相等，那么四邊形的四個頂點共圓．DCBA已知：如圖，四邊形ABCD中，∠ADB=∠ACB.求證:A、B、C、D四點共圓．分析:要用圓內(nèi)接四邊形判定定理或推論,無法找到足夠的條件,即直接方法不易證明,于是仿照判定定理的證明用反證法.1、(1)圓內(nèi)接平行四邊形一定是形.DCBADCBAEDCBAE已知：如圖，四邊形ABCD中，∠ADB=∠ACB.求證:A、B、C、D四點共圓.證明：由三點A、B、D可以確定一個圓，設(shè)該圓為⊙O．(1)如果點C在⊙O的外部.連接BC,與圓交于點E．則∠ADB=∠AEB.∵∠ADB=∠ACB,∴∠ACB=∠AEB與∠AEB>∠ACB相矛盾．故點不可能在圓外．(２)如果點C在⊙O的內(nèi)部.延長BC與圓交于點E．連接AE.則∠ADB=∠AEB.∵∠ADB=∠ACB,∴∠ACB=∠AEB與∠ACB>∠AEB相矛盾．故點不可能在圓內(nèi)．綜合(1),(2)可知，點C只能在圓上．即A、B、C、D四點