相似三角形題型講解

相似三角形題型講解相似三角形是初中幾何的重要內(nèi)容，包括相似三角形的性質(zhì)、判定定理及其應(yīng)用，是中考必考內(nèi)容，以相似三角形為背景的綜合題是常見的熱點題型，所以掌握好相似三角形的基礎(chǔ)知識至關(guān)重要，本講就如何判定三角形相似，以及應(yīng)用相似三角形的判定、性質(zhì)來解決與比例線段有關(guān)的計算和證明的問題進(jìn)行探索。一、如何證明三角形相似例1、如圖：點G在平行四邊形ABCD的邊DC的延長線上,AG交BC、BD于點E、F，則△AGDsS。分析：關(guān)鍵在找“角相等”，除已知條件中已明確給出的以外，還應(yīng)結(jié)合具體的圖形，利用公共角、對頂角及由平行線產(chǎn)生的一系列相等的角。本例除公共角ZG夕卜，由BC〃AD可得Z1=Z2，所以△AGDs^EGC。再Z1=Z2(對頂角)，由AB〃DG可得Z4=ZG，所以△EGCs^EAB。評注：(1)證明三角形相似的首選方法是“兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”。(2)找到兩個三角形中有兩對A角對應(yīng)相等，便可按對應(yīng)頂點的順序準(zhǔn)確地把這一對相似三角形記下來。A例2、已知△ABC中，AB=AC，ZA=36°，BD是角平分線，求證：△ABCs^BCD分析：證明相似三角形應(yīng)先找相等的角，顯然zc是公共角，而另一組相等的角則可以通過計算來求得。借助于計算也是一種常用的方法。證明：?.?ZA=36°,AABC是等腰三角形，?：ZABC=ZC=72°又BD平分ZABC,則ZDBC=36°在厶ABC和ABCD中，ZC為公共角，ZA=ZDBC=36°△ABC-△BCD例3：已知，如圖，D為ABC內(nèi)一點連結(jié)ED、AD,以BC為邊在△ABC外作/CBE=ZABD,ZBCE=ZBAD求證：△DBE-△ABC分析：由已知條件/ABD=ZCBE,乙DBC公用。所以ZDBE=ZABC，要證的厶DBE和厶ABC，有一對角相等，要證兩個三角形相似，或者再找一對角相等，或者找夾這個角的兩邊對應(yīng)成比例。從已知條件中可看到△CBE-△ABD，這樣既有相等的角，又有成比例的線段，問題就可以得到解決。證明：在厶CBE和厶ABD中,ZCBE=ZABD,ZBCE=ZBAD△CBE-△ABDBCBEAB=~BDBCAB~BE=BD在厶DBE和厶ABC中ZCBE=ZABD,ZDBC公用.ZCBE+ZDBC=ZABD+ZDBC.ZDBE=ZABCBCAB且=—BEBD△DBE-△ABCD例4、矩形ABCD中，BC=3AB,E、F,是BC邊的三等分點，連結(jié)AE、AF、AC,D問圖中是否存在非全等的相似三角形請證明你的結(jié)論。分析：本題要找出相似三角形，那么如何尋找相似三角形呢下面我們來看一看相似三角形的幾種基本圖形：1)如圖：稱為“平行線型”的相似三角形其中Z1=Z2,E(2)如圖：則厶ades^abc稱為“相交線型”的相似三角形。其中Z1=Z2,E(2)如圖：則厶ades^abc稱為“相交線型”的相似三角形。EC⑶如圖：Z1=Z2,ZB=ZD,則厶ADEs^ABC,稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。觀察本題的圖形，如果存在相似三角形只可能是“相交線型”的相似三角形，及AEAF與AECA解：設(shè)AB=a,則BE=EF=FC=3a,由勾股定理可求得AE=€2a,AEECk在AEAF與AECA中，ZAEF為公共角，且==EFAE所以AEAFsAECA(兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似)

注：以上兩例中都用了相似三角形的判定定理2，該定理的靈活應(yīng)用是教學(xué)上的難點所在，應(yīng)注重加強訓(xùn)練。二、如何應(yīng)用相似三角形證明比例式和乘積式例1、AABC中，在AC上截取AD,在CB延長線上截取BE，使AD=BE，求證：DF?AC=BC?FE分析：證明乘積式通常是將乘積式變形為比例式及DF：分析：證明乘積式通常是將乘積式變形為比例式及DF：FE=BC：AC,再利用相似三角形或平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明：證明：過D點作DK〃AB，交BC于K,?.?DK〃AB,.?.DF：FE=BK：BE又VAD=BE，..DF：FE=BK：AD,而BK：AD=BC：AC即DF：FE=BC：AC,?.DF?AC=BC?FE例2：已知：如圖，在△ABC中，ZBAC=9Oo,M是BC的中點，DM丄BC于點E,交BA的延長線于點D。AE2ME求證：⑴mzmd?ME；（2）班=MD證明：（1）TZBAC=9Oo,M是BC的中點,MCMA=MC,Z1=ZC,MCTDM丄BC,.ZC=ZD=9OO-ZB,.Z1=ZD,TZ2=Z2,△MAE-△MDA,.MAME二MA2=MD?ME,（2）T△MAE-△MDA,.AE_MAAEMEAD_MD，AD_MAAE2MAMEME=?=AD2MDMAMD評注：1）通過一對相似三角形來證明比例線段，是證比例線段的一種基本方法。本例第（1）小題證明MA2=MD?ME,經(jīng)常可以把其中的MA看作一對相似三角形的公共邊，再去尋覓與確定需證相似的三角形。（2）本例的關(guān)鍵是證明△MAE-aMDA，這種具有特殊關(guān)系（有一個公共角和一條公共邊）的三角形的相似，在解題中應(yīng)用很多,應(yīng)從下面兩個方面深刻理解：命題1如圖，如果Z1=Z2,那么△ABD-△ACB，AB2=AD?AC。命題2如圖，如果AB2=AD?AC，那么△ABD-△ACB，Z1=Z2。AD例3：如圖△ABC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E,交AB于F,求證：AE：ED=2AF：FB。分析：圖中沒有現(xiàn)成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考慮作平行線構(gòu)造相似形。怎樣作觀察要證明AEAF的結(jié)論，緊緊扣住結(jié)論中"AE：ED”的特征，作DGIIBA交CF于6,得厶AEF-△DEG,=。與結(jié)論AE_2AF~ED~FBDEDGAE_2AF~ED~FBAF1相比較，顯然問題轉(zhuǎn)化為證DG_怎FB。1BF22證明：過D點作DGIAB交FC于G則厶AEF-△DEG。（平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長線所得三角形與原三角形相似）AEAF_（1）DEDGTD為BC的中點，且DGIIBF???G為FC的中點則DG為CBF的中位線，DG_2BF（2）將（2）代入（1）得：AE_AF_2AFDE_I~FBBF2評注：（1）為了得到比例式，通常用過一點作某一直線的平行線的方法，在作平行線時必須注意緊扣與結(jié)論有關(guān)的線段。（2）在探索證題思路的過程中，我們可以采取“做做比比，比比做做”的方法，即構(gòu)造相似形，寫出比例式時要始終注意待證結(jié)論中的有關(guān)線段，并及時與待證結(jié)論中的有關(guān)線段進(jìn)行比較，以便確定下一步需要解決什么問題。三、如何用相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。

EBAF1例1:已知：如圖E、F分別是正方形ABCD的邊AB和AD上的點，且==三。求證：ZAEF=ZFBDABAD3分析：要證角相等，一般來說可通過全等三角形、相似三角形，等邊對等角等方法來實現(xiàn)，本題要證的兩個角分別在兩個三角形中，可考慮用相似三角形來證，但要證的兩個角所在的三角形顯然不可能相似（一個在直角三角形中，另一個在斜三角形中），所以證明本題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，證明：作FG丄BD，垂足為Go設(shè)AB=AD=3k則證明：作FG丄BD，垂足為Go設(shè)AB=AD=3k則BE=AF=k，AE=DF=2k，BD=3y2kTZADB=450,ZFGD=900ZDFG=450.DG=FG=DF=x：2k.bg=3/2k-/2k=2.j2k.AF_FG_1…立—而—2又ZA=ZFGB=9Oo△AEF-△GBFZAEF=ZFBD評注：本例是通過構(gòu)造一對相似三角形，而證明兩個角相等，而證明兩個三角形相似又運用了代數(shù)法，設(shè)參數(shù)，計算邊長，從而證明兩個三角形的對應(yīng)邊成比例。運用代數(shù)法解幾何題一般在遇到正方形和正三角形的條件時效果很好，同學(xué)們可以試試看。例2、在平行四邊形ABCD內(nèi)，AR、BR、CP、DP各為四角的平分線，求證：SQ〃AB,RP〃BCB

B分析：要證明兩線平行較多采用平行線的判定定理，但本例不具備這樣的條件，故可考慮用比例線段去證明。利用比例線段證明平行線最關(guān)鍵的一點就是要明確目標(biāo)，選擇適當(dāng)?shù)谋壤€段。要證明SQ〃AB,只需證明AR：AS=BR：DS。證明：在AADS和AARB中。11VZDAR=ZRAB=ZDAB,ZDCP=ZPCB=ZABC22.?.△adss^abrAR.?.△adss^abrARBRASDS但厶ADS9ACBQ,?：DS=BQ,ARASBRBQARASBRBQ.??SQ〃AB,同理可證，RP〃BC例3、已知A、C、E例3、已知A、C、E和B、F、D分別是ZO的兩邊上的點，且AB〃ED,BC〃FE，求證：AF〃CD分析：要證明AF〃CD，已知條件中有平行的條用，這就要進(jìn)行正確的選擇。其實要證明AF〃CD,件,因而有好多的比例線段可供利OAOF只要證明OC=OD即可，因此只OCOD要找出與這四條線段相關(guān)的比例式再稍加處理即可成功。證明：TAB/ED,BC〃FEOAOBOEOF?…OD，OC_OB兩式相乘可得：oa兩式相乘可得：oa_OFOC_OD例4、直角三角形ABC中，ZACB=90°,BCDE是正方形，AE交BC于F,FG〃AC交AB于G,求證：FC=FGCECE分析：要證明FC=FG，從圖中可以看出它們所在的三角形顯然不全等，但存在較多的平行線的條件，因而可用比例線段來證明。要證明FC=FG，首先要找出與FC、FG相關(guān)的比例線段，圖中與FC、FG相關(guān)的比例式較多，則應(yīng)選擇與FC、“”代表相同的線段或相等的線段），便可完成證明。FG都有聯(lián)系的比作為過渡，最終必須得到F?C=FG“”代表相同的線段或相等的線段），便可完成證明。證明：FG〃AC〃BE,?：AABEsAaGF則有=￥1而FC〃DE.?.△AEDs^aFCCFAFGFCFAF貝y有===—DEAEBEDEAE又???BE=DE（正方形的邊長相等）DF_DF_GF，即GF=CF。例5、例5、Rt^ABC銳角C的平分線交AB于E,交斜邊上的高AD于0,過0引BC的平行線交AB于F,求證：AE=BF證明：TCO平分ZC,Z2=Z3,AEAC故RtACAEsRt^CDO，.:_——ODCDBFAB又BFAB又of#bc,