滬科版九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第24章-圓-垂直于弦的直徑性質(zhì)課件

第24章圓24.2圓的基本性質(zhì)第3課時(shí)垂直于弦的直徑性質(zhì)1課堂講解圓的軸對(duì)稱(chēng)性垂徑定理垂徑定理的推論2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升思考問(wèn)題：1.等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？2.如果將一等腰三角形沿底邊上的高對(duì)折，可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？3.如果以這個(gè)等腰三角形的頂角頂點(diǎn)為圓心，腰長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，得到的圖形是否是軸對(duì)稱(chēng)圖形呢？1知識(shí)點(diǎn)圓的軸對(duì)稱(chēng)性圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是圓所在平面內(nèi)任意一條過(guò)圓心的直線．要點(diǎn)精析：(1)圓的對(duì)稱(chēng)軸有無(wú)數(shù)條．(2)因?yàn)橹睆绞窍遥沂蔷€段，而對(duì)稱(chēng)軸是直線，所以不能說(shuō)“圓的對(duì)稱(chēng)軸是直徑”，而應(yīng)該說(shuō)“圓的對(duì)稱(chēng)軸是直徑所在的直線”或說(shuō)成“圓的對(duì)稱(chēng)軸是經(jīng)過(guò)圓心的直線”．知1－講例1[模擬·雅安]如圖，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）導(dǎo)引：由于圓的特殊軸對(duì)稱(chēng)性，只需判斷圓內(nèi)圖形是否是以過(guò)圓心的直線為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形即可.知1－講B總

結(jié)知1－講過(guò)圓心的任意一條直線都是該圓的對(duì)稱(chēng)軸，這是圓獨(dú)有的性質(zhì)．1．下列說(shuō)法：(1)圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形；(2)圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸；(3)圓的任意一條直徑都是圓的對(duì)稱(chēng)軸；(4)圓所在平面內(nèi)任意一條經(jīng)過(guò)圓心的直線都是圓的對(duì)稱(chēng)軸，其中正確的有(

)A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)知1－練2．過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)A可以作出幾條圓的對(duì)稱(chēng)軸，(

)A．1條B．2條C．無(wú)數(shù)條D．1條或無(wú)數(shù)條知1－練3．如圖，由兩個(gè)等圓組成的圖案的對(duì)稱(chēng)軸(

)A．有無(wú)數(shù)條B．僅有2條C．僅有1條D．僅有3條知1－練2知識(shí)點(diǎn)垂徑定理知2－導(dǎo)知2－講定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧．用幾何語(yǔ)言表述為：如圖，在⊙O中，CD是直徑CD⊥AB于E?知2－講例2已知：如圖24-20,在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，并且CD丄AB,垂足為E.求證：AE=EB，.(或)（來(lái)自《教材》）證明：連接OA,OB,則OA=OB,△OAB為等腰三角形，所以底邊AB上的高OE所在直線CD是AB的垂直平分線，因此點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線CD對(duì)稱(chēng).同理，如果點(diǎn)P是⊙O上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線CD的垂線，與⊙O相交于點(diǎn)Q,則點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于直線CD也對(duì)稱(chēng)，所以⊙O關(guān)于直線CD對(duì)稱(chēng).當(dāng)把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，AE與BE重合，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，與重合，與重合.因此，AE=EB，，.知2－講（來(lái)自《教材》）歸納知2－講（來(lái)自《教材》）同理，可以證明下面的定理：定理平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.知2－講例3如圖24-21，⊙O的半徑為5cm，弦AB為6cm,求圓心O到弦AB的距離.解:連接OA，過(guò)圓心O作OE丄AB,垂足為E，則AE=EB=AB=×6=3(cm).又∵OA=5cm,∴在Rt△OEA中，有OE==4(cm)答：圓心O到弦AB的距離是4cm.（來(lái)自《教材》）總結(jié)知2－講本題構(gòu)造Rt△OAE，利用解直角三角形解題。知2－講例4如圖所示，在單位長(zhǎng)度為1的正方形網(wǎng)格中，一段圓弧經(jīng)過(guò)網(wǎng)格的格點(diǎn)A，B，C.知2－講(1)請(qǐng)完成如下操作：①以點(diǎn)O為原點(diǎn)、豎直和水平方向所在的直線為坐標(biāo)軸、網(wǎng)格邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系；②用直尺和圓規(guī)畫(huà)出該圓弧所在圓的圓心D的位置(不用寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)，并連接AD，CD.解：如圖所示.知2－講(2)請(qǐng)?jiān)?1)的基礎(chǔ)上，完成下列問(wèn)題：①寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)：C________，D________；②⊙D的半徑＝________.(結(jié)果保留根號(hào))導(dǎo)引：(1)連接AC，作AC的垂直平分線，交AB的垂直平分線于點(diǎn)D，D即為圓心；(2)①利用圖形即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；②利用勾股定理即可求出半徑．(6，2)(2，0)

總

結(jié)知2－講確定圓心的方法：取任意兩條不平行的弦，分別作兩弦的垂直平分線，這兩條垂直平分線的交點(diǎn)即為圓心．例5趙州橋（圖24-22)建于1400年前的隋朝，是我國(guó)石拱橋中的代表性橋梁，橋的下部呈圓弧形，橋的跨度（弧所對(duì)的弦長(zhǎng)）為37.4m，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.2m，求趙州橋橋拱所在圓的半徑.(精確到0.1m)知2－講（來(lái)自《教材》）解：如圖24-23，過(guò)橋拱所在圓的圓心O作的垂線，交于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D，則CD=7.2m.由垂徑定理，得AD=AB=×37.4=18.7(m)設(shè)⊙O的半徑為Rm，在Rt△AOD中，AO=R,OD=R-7.2,AD=18.7.由勾股定理，得AO2=OD2+AD2.∴R2=(R-7.2)2+18.72.解方程，得R≈27.9.答：趙州橋橋拱所在圓的半徑約為27.9m.知2－講（來(lái)自《教材》）總

結(jié)知2－講本題運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，先正確畫(huà)出圖形，找出圖中的已知量，然后構(gòu)造直角三角形，最后利用勾股定理求解．1．在半徑為4cm的⊙O中，有長(zhǎng)為4cm的弦AB.計(jì)算：(1) 點(diǎn)O與AB的距離；(2) ∠AOB的度數(shù).知2－練（來(lái)自《教材》）2．已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C,D兩點(diǎn).求證：AC=BD.知2－練（來(lái)自《教材》）3．(中考?廣元)如圖，已知⊙O的直徑AB⊥CD于點(diǎn)E，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(

)A．CE＝DEB．AE＝OEC.D．△OCE≌△ODE知2－練4．如圖，在⊙O內(nèi)有折線OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，則BC的長(zhǎng)為(

)A．16B．18C．19D．20知2－練5．(中考?上海)如圖，已知⊙O中，AB是弦，半徑OC⊥AB，垂足為點(diǎn)D.要使四邊形OACB為菱形，還需要添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是(

)A．AD＝BDB．OD＝CDC．∠CAD＝∠CBDD．∠OCA＝∠OCB知2－練3知識(shí)點(diǎn)垂徑定理的推論1．推論：(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，即：如圖，在⊙O中，CD是直徑CD平分ABAB不是直徑知3－講?知3－講要點(diǎn)精析：推論中涉及兩條弦，注意第一條弦不能為直徑．(2)弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，即：如圖，在⊙O中，CD⊥ABCD平分AB?知3－講(3)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧，即：如圖，在⊙O中，CD是直徑?例6下列說(shuō)法正確的是(

)A．經(jīng)過(guò)弦的中點(diǎn)的直線平分弦所對(duì)的弧B．過(guò)弦的中點(diǎn)的直線一定經(jīng)過(guò)圓心C．弦所對(duì)的兩條弧的中點(diǎn)的連線垂直平分弦且經(jīng)過(guò)圓心D．弦的垂線平分弦所對(duì)的弧知3－講C導(dǎo)引：經(jīng)過(guò)弦的中點(diǎn)的直線有無(wú)數(shù)條，只有經(jīng)過(guò)弦的中點(diǎn)且垂直于弦的直線才經(jīng)過(guò)圓心并平分這條弦所對(duì)的弧，所以選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤；弦的垂線有很多，不一定平分弦所對(duì)的弧，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤；平分弦所對(duì)的兩條弧的直線必垂直平分弦且經(jīng)過(guò)圓心，所以選項(xiàng)C正確．知3－講知3－講例7如圖，在⊙O中，M，N分別為弦AB，CD的中點(diǎn)，AB＝CD，AB不平行于CD.求證：∠AMN＝∠CNM.導(dǎo)引：由弦AB，CD的中點(diǎn)M，N聯(lián)想到垂徑定理的推論，連接OM，ON，則可得OM⊥AB，ON⊥CD，再結(jié)合AB＝CD可得AM＝CN，連接OA，OC，由勾股定理易得OM＝ON，所以∠OMN＝∠ONM，進(jìn)而得出結(jié)論．證明：如上圖，連接OA，OC，OM，ON.∵M(jìn)，N分別是弦AB，CD的中點(diǎn)，∴OM⊥AB，ON⊥CD，AM＝AB，CN＝CD.又∵AB＝CD，∴AM＝CN.在Rt△AOM和Rt△CON中，由勾股定理得OM＝，ON＝.又∵OA＝OC，∴OM＝ON，∴∠OMN＝∠ONM.∵∠AMN＝90°＋∠OMN，∠CNM＝90°＋∠ONM，∴∠AMN＝∠CNM.知3－講總

結(jié)知3－講在題目中涉及與弦(弧)的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常作的輔助線是連接圓心與弦(弧)的中點(diǎn)，然后運(yùn)用垂徑定理的推論解題．1．判斷正誤：(1) 垂直于弦的直後平分這條弦.(2) 平分弦的直後垂直于這條弦.(3) 弦的垂直平分線必過(guò)圓心.(4) 平分弦所對(duì)弧的直徑垂直于這條弦.知3－練（來(lái)自《教材》）如圖，⊙O的直徑CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AM＝BM，OM∶OC＝3∶5，則AB的長(zhǎng)為(

)A．8cm

B.cm

C．6cm

D．2cm知3－練3．如圖，⊙O的直徑為10，弦AB的長(zhǎng)為6，M是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段OM的長(zhǎng)的取值范圍是(

)A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3＜OM＜5D．4＜OM＜5知3－練4．(中考?紹興改編)小敏利用課余時(shí)間制作了一個(gè)臉盆架，如圖是它的截面圖，垂直放置的臉盆與架子的交點(diǎn)為A，B，AB＝40cm，臉盆的最低點(diǎn)C到AB的距離為10cm