第三章 三角恒等變換章末復(fù)習(xí)

三角恒等變換章末復(fù)習(xí)一、網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建二、要點(diǎn)歸納1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式cos(a一卩)=cosacos0+sinasin0.cos(a+0)=cosacos0—sinasin0.sin(a+0)=sinacos0+cosasin0.sin(a一0)=sinacos0—cosasin0..tana+tan0tan(a+0)=i一tanman0

tana—tanBtan(L〃尸1+tanatanB2．二倍角公式sin2a=2sinacosa.cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1一2sin2a.一2tanatan2a=7.1—tan2a3．升冪縮角公式1+cos2a=2cos2a.1—cos2a=2sin2a.4．降冪擴(kuò)角公式sin2x1+cos2xsinxcosx=~2—，cos2x=2,sin2x=1—cos2x25．和、差角正切公式變形tana+tanB=tan(a+B)(1—tanatanB),tana—tanB=tan(a—0)(1+tanatanB).6．輔助角公式y(tǒng)=asiny=asinex+bcosrnxtana題型一三角函數(shù)求值例1的值為（sin110°sin例1的值為（)cos2155°—sin2155°■■..'33-Dc1一-B1---A考點(diǎn)利用二倍角公式化簡(jiǎn)求值題點(diǎn)利用正弦的二倍角公式化簡(jiǎn)求值答案Bsin70°n20°cos20°in20°解析原式=cos310°=—cos50°fsin40°i—sin40°2.4(24(2已知a0為銳角,cosa=5,求cos0的值.考點(diǎn)角的拆分與組合在三角恒等變換中的應(yīng)用題點(diǎn)角的拆分與組合在三角恒等變換中的應(yīng)用4解?/a是銳角，cosa=5，?33.\sino=5，tana=4tana-tana-013???tan0=t試0_(0_0]=i+tanaana-0=0??/0是銳角，故cos0^950°-反思感悟三角函數(shù)的求值問題通常包括三種類型，即給角求值，給值求值，給值求角.給角求值的關(guān)鍵是將要求角轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值；給值求值關(guān)鍵是找準(zhǔn)要求角與已知角之間的聯(lián)系，合理進(jìn)行拆角、湊角；給值求角實(shí)質(zhì)是給值求值，先求角的某一三角函數(shù)值，再確定角的范圍，從而求出角.2n1n跟蹤訓(xùn)練1已知tan(a+0=5，tan0-4=4，那么tanoc+4等于()A13A13

A?茂1331B-22C-22D-6考點(diǎn)兩角和與差的正切公式題點(diǎn)利用兩角和與差的正切公式求值答案C解析non解析nontana+4=tana+0_0—42_丄5421_22-1+5X4題型二三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與證明例2化簡(jiǎn)：2cos例2化簡(jiǎn)：2cosix-2co&x+1nn2tanR—xsin4+x考點(diǎn)整體與換元思想在三角恒等變換中的應(yīng)用題點(diǎn)整體與換元思想在三角恒等變換中的應(yīng)用—2sin2xcos2x+2解原式=~Tn~a~2sinl4-xcos21反思感悟三角函數(shù)化簡(jiǎn)常用策略有：切化弦、異名化同名、降冪公式、1的代換等，化簡(jiǎn)的結(jié)果應(yīng)做到項(xiàng)數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，函數(shù)名盡量統(tǒng)一．三角函數(shù)證明常用方法有：從左向右（或從右向左），一般由繁向簡(jiǎn)；從兩邊向中間，左右歸一法；作差證明，證明“左邊一右邊=01反思感悟三角函數(shù)化簡(jiǎn)常用策略有：切化弦、異名化同名、降冪公式、1的代換等，化簡(jiǎn)的結(jié)果應(yīng)做到項(xiàng)數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，函數(shù)名盡量統(tǒng)一．三角函數(shù)證明常用方法有：從左向右（或從右向左），一般由繁向簡(jiǎn)；從兩邊向中間，左右歸一法；作差證明，證明“左邊一右邊=0”；左右分子、分母交叉相乘，證明差值為0等.跟蹤訓(xùn)練2證明：sinq+11?11+sin?+cosa2tan22考點(diǎn)三角恒等式的證明題點(diǎn)三角恒等式的證明證明aa2sin^cos2+1aasin2^+cos22:?左邊=aaaa2sinqcoscos2^—sin2^1++aaaasin2^+cos22sin2^+cos2^a2tan^

+1

a

1+tan2^aa2tan21—tan2^1++.aa1+tan2^1+tan2；2aa,tan2^+2tan尹1,aaa1+tan22+2tan空+1—tan2^coscostan2+l丿2fa、可水吋11a,1=2tan2+2=右邊，???原等式成立.題型三三角恒等變換與函數(shù)、向量的綜合運(yùn)用2寸例3已知向量a=(cosa,sina),〃=(cos“，sin〃)，la—bl=5⑴求cos(a—〃)的值;nn(2)nn(2)右一2<P<0<a<2,口.5且sinB=一13，求sina的值．考點(diǎn)和、差角公式的綜合應(yīng)用題點(diǎn)和、差角公式與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用解(1)因?yàn)橄蛄縜=(cosa,sina),b=(cos“，sin”),la—bl=(cosina—sin〃)2=\'2—2cos(a—〃)=~5~,43所以2—2cos(a—")=5，所以cos(a—")=5.⑵因?yàn)?<a<2,—2<"<0,所以O(shè)va—"<n,3因?yàn)閏os(a—")=5，4所以sin(4所以sin(a—")=5,且sin"=—13,n12cos"=13,((-咅)=舊4123所以sina=sin[(a—")+"]=sin(a—")cos"+cos(a—")?sin"=5X13+5X反思感悟三角函數(shù)與三角恒等變換綜合問題，通常是通過三角恒等變換，如降冪公式，輔助角公式對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，最終化為y=Asin(ex+y)+k或y=Acos(ex+y)+k的形式，再研究三角函數(shù)的性質(zhì)．當(dāng)問題以向量為載體時(shí)，一般是通過向量運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，再運(yùn)用三角恒等變換進(jìn)行求解．跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)=cos(^2x+^)+sin2x—cos2x+^3sinxcosx.(1)化簡(jiǎn)f(x);⑵若f(a)=7,2a是第一象限角，求sin2a.考點(diǎn)應(yīng)用二倍角公式化簡(jiǎn)求值題點(diǎn)綜合應(yīng)用二倍角公式化簡(jiǎn)求值解(lfx)=gcos2x—乎sin2x—cos2x+"j3sin2x￡in2x—2cos2x=sin￡in2x—2cos2x=sin(2)f(a)=7,2a是第一象限角,n即n即2kn<2a<2+2kn(kWZ),nnn..2kn—6<2a—6<3+2kn(kZ),4、目7，+6」sin2a4、目7，+6」sin2a=sin.n?sm6?cos6+cos==1乂乂3+疵乂1=^3_7八2+7八2—14-1.若a,B都是銳角，且cos1.若a,B都是銳角，且cosa=sin(a—〃)=J^10則cosB等于（）D.考點(diǎn)和、差角公式的綜合應(yīng)用題點(diǎn)綜合運(yùn)用和、差角公式化簡(jiǎn)求值答案A

解析由a,B都是銳角，且cosQ=5，sin@—〃)=+0，得sina=5~，cos(a_0)=1『,cos”=cos[q—(q—〃)]=cosqcos(q—〃)+sinasin(a—〃)=??2.若\；3sinx+cosx=4—m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．[2,6]B．[－6,6]C．A．[2,6]B．[－6,6]C．(2,6)D．[2,4]考點(diǎn)簡(jiǎn)單的三角恒等變換的應(yīng)用題點(diǎn)輔助角公式與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用答案解析\'3sinx+解析\'3sinx+cosx=4—m,???￥sinx+2cosx=4^,n,n4—n,n4—m..sin§sinx+cos§cosx=—2—..cosxn)4_m3丿=2?cos(j—3cos(j—3』W1,4—m2Wl,.°.2WmW6.3.在△ABC中，若tanAtanB=tanA+tanB+l,則cosC的值是(A．C.1A．考點(diǎn)簡(jiǎn)單的三角恒等變換的應(yīng)用題點(diǎn)簡(jiǎn)單的三角恒等變換與三角形的綜合應(yīng)用答案B解析由tanA?tanB=tanA+tanB+l,tanA+tanB1解析由tanA?tanB=tanA+tanB+l,tanA+tanB1—tanA?tanB=—1,即tan(A+B)=—1.VA+BG(O,n),cosC=4.sin(180°+2a)cos2a同.1+cos2acos(90°+a)考點(diǎn)利用簡(jiǎn)單的三角恒等變換化簡(jiǎn)求值題點(diǎn)綜合運(yùn)用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)求值答案cosa5.已知函數(shù)f（x）=(.n)3cosx?sinp十3丿一勺3cos2x+4,x^R.（1）求fx）的最小正周期；nn（2）求fx）在閉區(qū)間一4,4_|上的最大值和最小值.考點(diǎn)簡(jiǎn)單的三角恒等變換的綜合應(yīng)用題點(diǎn)簡(jiǎn)單的三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用解(1)由已知，得fx)=cosx?(2sinx+號(hào)cosx)—；3