排列和排列表上的組合性質(zhì)分析研究

排列和排列表上的組合性質(zhì)研究一、排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別1.從排列與組合的定義可以知道，兩者都是從n個不同元素中取出m個（m≤n，n，m∈N）元素，這是排列與組合的共同點。

2.它們的不同點是：排列是把取出的元素再按順序排列成一列，它與元素的順序有關(guān)系，而組合只要把元素取出來就可以，取出的元素與順序無關(guān)．

3.只有元素相同且順序也相同的兩個排列才是相同的排列，否則就不相同；而對于組合，只要兩個組合的元素相同，不論元素的順序如何，都是相同的組合，如a，b與b，a是兩個不同的排列，但卻是同一個組合。

二、組合規(guī)律總結(jié)：

①組合要求n個元素是不同的，被取出的m個元素也是不同的，即從n個不同元素中進行m次不放回的抽取；

②組合取出的m個元素不講究順序，也就是說元素沒有位置的要求，無序性是組合的本質(zhì)屬性；

③根據(jù)組合的定義，只要兩個組合中的元素完全相同，那么不論元素的順序如何，都是相同的組合，而只有兩個組合中的元素不完全相同，才是不同的組合．

三、排列：

1、排列的概念：從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。

2、全排列：把n個不同元素全部取出的一個排列，叫做這n個元素的一個全排列。

3、排列數(shù)的概念：從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號表示。

4、階乘：自然數(shù)1到n的連乘積，用n!=1×2×3×…×n表示。

規(guī)定：0?。?

5、排列數(shù)公式：=n（n-1）（n-2）（n-3）…（n-m+1）=。

四、組合：

1、組合的概念：從n個不同元素中取出m個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。

2、組合數(shù)的概念：從n個不同元素中取出m個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)用符號表示。

3、組合數(shù)公式：；

4、組合數(shù)性質(zhì)：（1）；（2）。

5、排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系：。

五、排列應(yīng)用題的最基本的解法有：

（1）直接法：以元素為考察對象，先滿足特殊元素的要求，再考慮一般元素，稱為元素分析法，或以位置為考察對象，先滿足特殊位置的要求，再考慮一般位置，稱為位置分析法；

（2）間接法：先不考慮附加條件，計算出總排列數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)。

六、排列應(yīng)用題的最基本的解法有：

（1）直接法：以元素為考察對象，先滿足特殊元素的要求，再考慮一般元素，稱為元素分析法，或以位置為考察對象，先滿足特殊位置的要求，再考慮一般位置，稱為位置分析法；

（2）間接法：先不考慮附加條件，計算出總排列數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)。

七、排列的定義的理解：

①排列的定義中包含兩個基本內(nèi)容，一是取出元素；二是按照一定的順序排列；

②只有元素完全相同，并且元素的排列順序也完全相同時，兩個排列才是同一個排列，元素完全相同，但排列順序不一樣或元素不完全相同，排列順序相同的排列，都不是同一個排列；

③定義中規(guī)定了m≤n，如果m<n，稱為選排列；如果m=n，稱為全排列；

④定義中“一定的順序”，就是說排列與位置有關(guān)，在實際問題中，要由具體問題的性質(zhì)和條件進行判斷，這一點要特別注意；

⑤可以根據(jù)排列的定義來判斷一個問題是不是排列問題，只有符合排列定義的說法，才是排列問題。

八、排列的判斷：

判斷一個問題是否為排列問題的依據(jù)是是否與順序有關(guān)，與順序有關(guān)且是從n個不同的元素中任取m個(m≤n)不同元素的問題就是排列問題，否則就不是排列的問題，而檢驗一個問題是否與順序有關(guān)的依據(jù)就是變換不同元素的位置，看其結(jié)果是否有變化，若有變化就與順序有關(guān)，就是排列問題；若沒有變化，就與順序無關(guān)，就不是排列問題．

九、寫出一個問題中的所有排列的基本方法:

寫出一個問題中的所有排列的基本方法是字典排序法或樹形圖法或框圖法。

排列組合應(yīng)用問題的解題策略：

1.捆綁法：把相鄰的若干特殊元素“捆綁”成一個“大元素”，然后再與其余“普通元素”全排列，而后“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列，這就是所謂相鄰問題“捆綁法”．

2.插空法：對于不相鄰問題用插空法，先排其他沒有要求的元素，讓不相鄰的元素插產(chǎn)生的空．

3.優(yōu)先排列法：某些元素（或位置）的排法受到限制，列式求解時，應(yīng)優(yōu)先考慮這些元素，叫元素分析法，也可優(yōu)先考慮被優(yōu)待的位置，叫位置分析法．

4.排除法：這種方法經(jīng)常用來解決某些元素不在某些位置的問題，先總體考慮，后排除不符合條件的。

5.特殊元素優(yōu)先考慮，特殊位置優(yōu)先安排的策略；

6.合理分類和準確分步的策略；

7.排列、組合混合問題先選后排的策略；

8.正難則反，等價轉(zhuǎn)化的策略；

9相鄰問題捆綁處理的策略；

10.不相鄰問題插空處理的策略；

11.定序問題除法處理的策略；

12.分排問題直接處理的策略；

13.構(gòu)造模型的策略，

十、排列的應(yīng)用：

(1)-般問題的應(yīng)用：求解排列問題時，正確地理解題意是最關(guān)鍵的一步，要善于把題目中的文字語言翻譯成排列的相關(guān)術(shù)語；正確運用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理也是十分重要的；還要注意分類時不重不漏，分步時只有依次做完各個步驟，事情才算完成，解決排列應(yīng)用題的基本思想是：

解簡單的排列應(yīng)用問題，首先必須認真分析題意，看能否把問題歸結(jié)為排列問題，即是否有順序，如果是，再進一步分析n個不同的元素是指什么以及從n個不同的元素中任取m個元素的每一種排列對應(yīng)著什么事情，最后再運用排列數(shù)公式求解．

(2)有限制條件的排列問題：在解有限制條件的排列應(yīng)用題時，要從分析人手，先分析限制條件有哪些，哪些是特殊元素，哪些是特殊位置，識別是哪種基本類型，在限制條件較多時，要抓住關(guān)鍵條件（主要矛盾），通過正確地分類、分步，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為基本問題，解有限制條件的排列問題的常用方法是：

常見類型有：①在與不在：在的先排、不在的可以排在別的位置，也可以采用間接相減法；②鄰與不鄰：鄰的用”，不鄰的用”；③間隔排列：有要求的后排（插空）．

組合應(yīng)用題：

解決組合應(yīng)用題的基本思想是“化歸”，即由實際問題建立組合模型，再由組合數(shù)公式來計算其結(jié)果，從而得出實際問題的解．

（1）建立組合模型的第一步是分析該實際問題有無順序，有順序便不是組合問題．

（2）解組合應(yīng)用題的基本方法仍然是“直接法”和“間接法”．

（3）在具體計算組合數(shù)時，要注意靈活選擇組合數(shù)的兩個公式以及性質(zhì)的運用．

排列、組合的綜合問題：

(1)應(yīng)遵循的原則：先分類后分步；先選后排；先組合后排列，有限制條件的優(yōu)先；限制條件多的優(yōu)先；避免重復(fù)和遺漏．

(2)具體途徑：在解決一個實際問題的過程中，常常遇到排列、組合的綜合性問題．而解決問題的關(guān)鍵是審題，只有認真審題，才能把握問題的實質(zhì)，分清是排列問題，還是組合問題，還是綜合問題，分清分類與分步的標準和方式，并且要遵循兩個原則：①按元素的性質(zhì)進行分類；②按事情發(fā)生的過程進行分析．

(3)解排列、組合的綜合問題時要注意以下幾點：

①分清分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理：主要看是，還是分步完成；

②分清排列問題與組合問題：主要看是否與序；

③分清是否有限制條件：被限制的元素稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置。

解這類問題通常從以下三種途徑考慮：

a．以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；

b．以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；

c．先不考慮限制條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不合要求的排列或組合數(shù)．

前兩種叫直接解法，后一種叫間接解法，不論哪種，都應(yīng)“特殊元素（位置）優(yōu)先考慮”．

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