立體幾何中的體積問題

立體幾何中體積問題的求解技巧體積計算是立體幾何的教學(xué)重點，也是數(shù)學(xué)競賽的常見考查內(nèi)容之一.解決這類問題時，除了牢記公式以外，還需要巧恩妙想，結(jié)合具體條件靈活選擇計算體積的合適方法.一、公式法例1（2012年江蘇賽區(qū)初賽7）在四面體ABCD中，AB=AC=AD=DB=5，BC=3，CD=4，則該四面體的體積為- -

二、分割法例2(201年安徽預(yù)賽6)如圖3設(shè)正四棱錐P-ABCD的體積為1,E、F、G、H分別是線段AB、CD、PB、PC的中點，則多面體BEG-CFH的體積為 解析此題要求多面體BEG-CF的體積，必須先將它切割成常見的幾何體，取BC、EF的中點M、N，連結(jié)MN、GM、GN，則多面體BEG-CFH分割為一個四棱錐G-EBMN和一個三棱HFC-GNM，因為E、F、G、H分別是線段AB、CD、PB、PC的中點，且正四棱錐P-ABCD的體積為1，則四棱錐G-EBMN的體積為Vg-ecmn=1，從而三棱錐E-GNM的體積為Ve_gnm=16又三棱柱HFC—GNM的體積為三棱錐E一GNM的體積的3倍。所以三棱柱HFC-GNM的VHFC-GNM=-36,從而多面體BEG-CFH的體積Vbeg-cfh=Vg-bcmn+Vhfgd-gmn=-+16=土評注在利用公式難以求解的情況下，我們還可以根據(jù)相關(guān)幾何體之間的關(guān)系來求體積.上述解法就是通過將幾何體巧妙分割為一個四棱錐和一個三棱柱后輕松得到答案.變式2如圖5，已知多面體ABC-DEFG，AB，AC，AD兩兩垂直，面ABC#WDEFG，面BEF#WADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，則該多面體的體積為()(A)2(B)4(C)6(D)8解法1如圖6，把多面體ABC-DEFG補成正方體DEPG—ABHM，則Vabc-defg=-Vdepg-abhm=-X23=4

解法2如圖7，取DG的中點H，以DA,DE.DH為棱構(gòu)造長方體EFHD-BPCA，則三棱錐C-HFG與三棱錐F-PCB全等.VABC-DEFG=VABPC-DEFH=AB加?AD=2XIX2=4.三、補形法例3（2012年河南高一預(yù)賽5）已知四面體A-BCD中，AB=CD=2V13,BC=AD=面，AC=DB=眉，則該四面體的體積為解析根據(jù)題意，AB=CD=2V13,BC=AD=面，AC=DB=應(yīng)考慮到42+52=41，42+62=52，52+62=61，則我們可以將四面體A-BCD補形為長方體AMDN-PCQB，其中，AN=4，AP=5，AM=6.圖7計算可知，長方體AMDN-PCQB的體積為120，而四面體P-ABC、M-ACD、Q-BCD、N-ABD的體積均為2O，所以四面體A-BCD的體積為圖7VA-BCD=120-80=40-評注：說是“補形”實為“還原”.當(dāng)四面體A-BCD"補”為長方體AMDN-PCQB后，我們就能明白四面體A—BCD的體積原來是用長方體的體積減去“補出來”的體積.變式3如圖6，一圓柱被一平面所截，已知被截后幾何體的最長側(cè)面母線長為4，最短側(cè)面母線長為1，且圓柱底面半徑長為2,則該幾何體的體積等于鬢6解：如圖7，將“一個與已知的幾何體完全相同的幾何體”與“已知的幾何體”拼在一起組成一個高5的完整圓柱，那么所求幾何體的體積就是這個大圓柱體積的一半，于是鬢6V=1XnX22X5=10n2

四、整體處理有一些體積問題，如果能從整體著眼，適當(dāng)處理，那么就能化繁為簡，事半功倍.例4：三棱錐的3條側(cè)棱兩兩垂直，3個側(cè)面與底面所成角分別是30°，45°，60。，底面面積為76,則三棱錐的體積為解如圖9，設(shè)三棱錐的3條側(cè)棱長分別為a，b，c，則3個側(cè)面面積S1，S2,S3分別為為76cos30°，76cos45°，76cos60°。，從而1a2b2c2=S^^=36.故V=1abc=18 1238 6五、巧比同高不同底的2個三棱錐的體積比等于它們的底面積之比.棱錐（或圓錐）被平行于底面的平面所截，所得的小棱錐（或小圓錐）與原棱錐（或原圓錐）相對應(yīng)的體積比等于“相似比”的立方.遇到此類問題，利用這種比例關(guān)系就可快速、準(zhǔn)確獲解.TOC\o"1-5"\h\z例5某工廠食堂用圓臺形缸盛滿食油，已知此缸上、下底面半徑分別為40cm和20cm，13天后，油的高度降為原來的：.若每天用._油量相等，剩余的油還可以用多少天？ -解如圖12，將圓臺補成圓錐，記從下至上3個部分的體積分別為V],V2,V3.設(shè)V]=33a=27a \二"上；由圓錐平行于底的截面的性質(zhì)得V2=53a-33a=98a，V3=63a-53a=91a \設(shè)剩余的油還可以用x天，由題設(shè)得91a:13=98a:x解得x=14.故剩余的油還可以用14天 5：一變式5在三棱錐A-BCD中，PWAC，QWBD， 'VA-BPQ=6,VB-CPQ=2,VD-CPQ=8，則VA-BCD= 解如圖13，三棱錐B-APQ與三棱錐B-CPQ同高不同底， 后氣[訣;t—得VB-APQ'VB-CPQ-SaAPQ'SaCPQ同理可得Vd-apq：vD-CPQ-SaAPQ'SaCPQ ''-■■■從而VB-APQ:VB-CPQ=VD-APQ:VD-CPQ解得VD-APQ=24故VA-BCD=40 「

六、妙換當(dāng)所給三棱錐的體積不便計算時，若能依據(jù)題設(shè)條細(xì)察幾何體的特征，合理轉(zhuǎn)換頂點和底面（選擇條件較集中的面作底面），則往往有利于問題的解決.E，P例6如圖14，在長方體ABCD-ABCD中，分別是BC，AD/勺中點，N是CD1（的中點，AD二AA=a，AB=2a，求三棱錐P-DEN的體積.（2006年四川省數(shù)學(xué)高考試題）解：由CD1〃EP，得CD1〃平面PDE，從而E，PVVVVa3P-DENN-PDED-PDEE-PDD61 1圖14PM圖14PMAB變式6如圖15，PCBM是直角梯形，/PCB=90°，//BC，PM=1，BC=2.又AC=1，ZACB=120°，±PC，直線AM與直線PC所成的角為60°.求三棱錐P—MAC的體積.（2007年四川省數(shù)學(xué)高考試題）解：取BC的中點N，則CN=1，連結(jié)AN，MN.由 由*PM//CN，得MN〃PC，從而MN±平面ABC.又由直線AM與直線PC所成的角為6O°，可得ZAMN=60°.在^ACN中，由余弦定理得ANfAC2+CN2-2AC?CN?cos1200=5，在^AMN中，有，一3MN=AN*cotZAMN=氣3X工=1，3因此PCNM為正方形，從而P-MACA-PCMA-MNCM-ACN11 、.3二—x—AC?CN?sin1200?MN=—32 12

七、極端法例15如圖19,直三棱柱ABC-ABC的體積為V,點P,Q分別在側(cè)棱。和CC,上，AP=C。Q，則四棱錐B-aPqC的體積為.解:將條件AP=CQ極端化，使得點P與點A重合，點Q與點1C重合，則四棱錐B-APQC就變成三棱錐B-ACA］，它和直三棱柱ABC-AjBR等底等高，從而四棱錐B-APQC的體積等于Is^ABCh=jv練一練1.如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2，ZABC=120°，PA=PB=PC=4，求三棱錐P-ABC的體積提示：作P0上平面ABC，點0為垂足.因為PA=PB=PC，所以O(shè)A=OB=OC，點0為^ABC的外接圓的圓心?設(shè)0B=R，則2R=bc=^^=4sinABACsin30°在RtAPOB中，OB=2，PB=4，得PO=2^3，從而SaABC=|BA?BCsinzABC=V3國13故VP-ABC=：S^abc?PO=3?V3?2而二2國132.如圖12是一個平面截長方體的剩余部分，已知AB=4，BC=3，AE=5，CG=12，求幾何體EFGHABCD的體積.提示：如圖l4，把已知多面體補成以ABCD為底面，高為梯形AEGC的中位線的2倍的長方體ABCD-A1B1C1D1，圖12A則Vefgh-abcd=2Vabcd-a1B1C1D1=：X3x4x17=102

圖12A圖15GCfi3.如圖13，已知體積的V的三棱柱ABC—A1B1C/P是棱B1B。上除B1,B,以外的任意一點，求四棱錐P-AA1C1C的體積.■-圖15GCfi圖】3提示:如圖15，把三棱柱ABC-A1B1C1補成平行六面體AA]C]C—DD1B1B,設(shè)P到面AA1C1C的距離為h，貝QVP-AA1C1C=3SAA1C1C.h=3VAACC-DDBB=3X2VABC-A1B1C1=2^4(2010年江蘇賽區(qū)初賽9).在三棱錐A-BCD中，已知ZACB=ZCBD，ZACD=ZADC=/BCD=ZBDC=。且cos=^.已知棱AB的長為6^2，貝V10此棱錐的體積為提示根據(jù)題意，/ACD=/ADC=ZBCD=ZBDC=。，則^ACD^ABCD,且AC=AD=BC=BD,又/ACB=/CBD, 、,從而有△ACD^ABCD^ACAB^ADAB，即/ACB二/CBD=/CAD=/ADB，AB=CD.如圖2,分別取CD、AB的中點E、F，連結(jié)AE、BE、EF，則QAE±CD，BE±CD，所以CD±平面ABE，即平面ABE為CD的垂面，計算可知AE=BE、：；’TOC\o"1-5"\h\z=9V2,EF=12， 佳、V=1-S-CD=1.1.6/2.12.672=144A-BCD3AABE 3 2如圖16，在邊長為1的正方體ABCD-ABC1D中，E為AD的中點.求四面體E-ABC的體積； 1111求四面體B-A1C1E的體積.(2007年湖北省黃岡市數(shù)學(xué)高考模擬試題)1提示⑴K-AB廣K-ABD=K-AED"仍，11 11 1 1

1一.(2)如圖17,在平面ABCD內(nèi)，延長BA到點N,s使AN=2，則NE〃AR,從而NE〃平面BAR,從而NE〃平面BAR,VbaceVE-ABC V0-ABC1 1 1 1圖17圖18，在四面體ABCD中，AB=a,CD=b,AB和CD的距離為d,問當(dāng)棱AB與CD所成角0為何值時，該四面體體積V有最大值，最大值是多少？提示：過點作BE〃CD，并使BE：CD,那么ZABE=0，點。到平面ABE的距離就是AB和CD的距離d.因此，11 八1 V=VaBCD=Vabde=VDabe=3-2BE-ABsinO-d=^abdsinO1從而，當(dāng)0=90。時，即當(dāng)對棱AB和CD垂直時，四面體體積V有最大值-abd.6c解析：根據(jù)題意，BC=3,CD=4，DB=5,則/BCD=90°.如圖1，取BD的中點E，連結(jié)AE、CE，由直角三角形性質(zhì)可知BE=CE=DE，而AB=AC=AD=5,所以△ABE^AACE^AADE，從而有AE±BD，AE± 、'-EC，故AE±平面BCD，即AE為平面BCD上的高，計算可知V =1.S ?AE=1-6-也=5海A-BCD3ABCD 3 2變式1：如圖1，在三棱錐P-ABC中，PA=1，AB=AC=2/PAB=/PAC=/BAC=60°，求三棱錐A-PBC的體積解在APAB中， ,PB2=PA2+AB2一2PA