2023年湖南省衡陽(yáng)市數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)有()A．最大值為1 B．最小值為1C．最大值為 D．最小值為2．復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部分別為（）A．， B．， C．， D．，3．設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足a+b+c=1,則a,b,c中至少有一個(gè)數(shù)不小于()A．0 B． C． D．14．集合，，則（）A． B． C． D．5．用反證法證明命題“平面四邊形四個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于時(shí)”，應(yīng)假設(shè)（）A．四個(gè)內(nèi)角都大于 B．四個(gè)內(nèi)角都不大于C．四個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于 D．四個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于6．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿(mǎn)足（是的導(dǎo)函數(shù)），則不等式的解集為（）A． B． C． D．7．直三棱柱中，，，、分別為、的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．8．甲、乙、丙、丁四人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，四人在成績(jī)公布前作出如下預(yù)測(cè)：甲預(yù)測(cè)說(shuō)：獲獎(jiǎng)?wù)咴谝摇⒈?、丁三人中；乙預(yù)測(cè)說(shuō)：我不會(huì)獲獎(jiǎng)，丙獲獎(jiǎng)丙預(yù)測(cè)說(shuō)：甲和丁中有一人獲獎(jiǎng)；丁預(yù)測(cè)說(shuō)：乙的猜測(cè)是對(duì)的成績(jī)公布后表明，四人的猜測(cè)中有兩人的預(yù)測(cè)與結(jié)果相符.另外兩人的預(yù)測(cè)與結(jié)果不相符，已知有兩人獲獎(jiǎng)，則獲獎(jiǎng)的是（）A．甲和丁B．乙和丁C．乙和丙D．甲和丙9．展開(kāi)式中不含項(xiàng)的系數(shù)的和為A． B． C． D．210．已知α，β表示兩個(gè)不同的平面，l為α內(nèi)的一條直線(xiàn)，則“α∥β是“l(fā)∥β”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件11．已知直線(xiàn)（t為參數(shù)）與圓相交于B、C兩點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．12．定義在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,若對(duì)任意的正實(shí)數(shù),都有恒成立,則使成立的實(shí)數(shù)的取值范圍為(

)A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若曲線(xiàn)(為常數(shù))不存在斜率為負(fù)數(shù)的切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．14．已知等比數(shù)列是遞減數(shù)列，是的前項(xiàng)和，若是方程的兩個(gè)根，則__________．15．有一個(gè)倒圓錐形的容器，其底面半徑是5厘米，高是10厘米，容器內(nèi)放著49個(gè)半徑為1厘米的玻璃球，在向容器倒?jié)M水后，再把玻璃球全部拿出來(lái)，則此時(shí)容器內(nèi)水面的高度為_(kāi)_______厘米16．某校高一年級(jí)有名學(xué)生，其中女生人，按男女比例用分層抽樣的方法從該年級(jí)學(xué)生中抽取一個(gè)容量為的樣本，則應(yīng)抽取的男生人數(shù)是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列滿(mǎn)足：，．的前n項(xiàng)和為．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令（）,求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．（12分）已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求的最大值，并說(shuō)明取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的的值.19．（12分）在平面真角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線(xiàn)的普通方程和曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線(xiàn)與曲線(xiàn)交于M，N兩點(diǎn)，直線(xiàn)OM和ON的斜率分別為和，求的值．20．（12分）以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是.（Ⅰ）求曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)曲線(xiàn)與軸正半軸及軸正半軸交于點(diǎn)，在第一象限內(nèi)曲線(xiàn)上任取一點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.21．（12分）已知橢圓M的方程是，直線(xiàn)與橢圓M交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，且橢圓M上存在點(diǎn)滿(mǎn)足，求的值.22．（10分）已知函數(shù)，．（）當(dāng)時(shí)，證明：為偶函數(shù)；（）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍，使在上恒成立．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷出函數(shù)的最值情況.【詳解】解:，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，有最大值為，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值問(wèn)題，對(duì)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性的判斷是解題的關(guān)鍵.2、A【解析】分析：化簡(jiǎn)即可得復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.詳解：復(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)與虛部分別為5，5.故選A.點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)相關(guān)概念與運(yùn)算的技巧(1)解決與復(fù)數(shù)的基本概念和性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意復(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，把復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵．(2)復(fù)數(shù)相等問(wèn)題一般通過(guò)實(shí)部與虛部對(duì)應(yīng)相等列出方程或方程組求解．(3)復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算的基本方法是運(yùn)用運(yùn)算法則，但可以通過(guò)對(duì)代數(shù)式結(jié)構(gòu)特征的分析，靈活運(yùn)用i的冪的性質(zhì)、運(yùn)算法則來(lái)優(yōu)化運(yùn)算過(guò)程．3、B【解析】∵三個(gè)數(shù)，，的和為1，其平均數(shù)為∴三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)大于或等于假設(shè)，，都小于，則∴，，中至少有一個(gè)數(shù)不小于故選B.4、B【解析】由，得，故選B.5、A【解析】

對(duì)于“至少一個(gè)不大于”的否定為“全都大于”，由此得到結(jié)果.【詳解】“平面四邊形四個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于”的否定形式為：“平面四邊形四個(gè)內(nèi)角中都大于”，即反證法時(shí)應(yīng)假設(shè)：四個(gè)內(nèi)角都大于本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查反證法的假設(shè)，關(guān)鍵是明確至少問(wèn)題的否定的形式，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，在不等式兩邊同時(shí)乘以化為，即，然后利用函數(shù)在上的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，在不等式兩邊同時(shí)乘以得，即，所以，解得，因此，不等式的解集為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用構(gòu)造新函數(shù)求解函數(shù)不等式問(wèn)題，其解法步驟如下：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，必要時(shí)分析該函數(shù)的奇偶性；（3）將不等式變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性求解.7、B【解析】

以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線(xiàn)與所成角的余弦值.【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè),則、、、、，，、，設(shè)異面直線(xiàn)與所成角為，則，異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量法求異面直線(xiàn)所成的角，解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

從四人的描述語(yǔ)句中可以看出，乙、丁的表述要么同時(shí)與結(jié)果相符，要么同時(shí)與結(jié)果不符，再進(jìn)行判斷【詳解】若乙、丁的預(yù)測(cè)成立，則甲、丙的預(yù)測(cè)不成立，推出矛盾．故乙、丙預(yù)測(cè)不成立時(shí)，推出獲獎(jiǎng)的是乙和丁答案選B【點(diǎn)睛】真假語(yǔ)句的判斷需要結(jié)合實(shí)際情況，作出合理假設(shè)，才可進(jìn)行有效論證9、B【解析】試題分析：由二項(xiàng)式定理知，展開(kāi)式中最后一項(xiàng)含，其系數(shù)為1，令=1得，此二項(xiàng)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為=1，故不含項(xiàng)的系數(shù)和為1-1=0，故選B.考點(diǎn)：二項(xiàng)展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和；二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)10、A【解析】試題分析：利用面面平行和線(xiàn)面平行的定義和性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．解：根據(jù)題意，由于α，β表示兩個(gè)不同的平面，l為α內(nèi)的一條直線(xiàn)，由于“α∥β，則根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，則必然α中任何一條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面，條件可以推出結(jié)論，反之不成立，∴“α∥β是“l(fā)∥β”的充分不必要條件．故選A．考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；平面與平面平行的判定．11、B【解析】

根據(jù)參數(shù)方程與普通方程的互化方法，然后聯(lián)立方程組，通過(guò)弦長(zhǎng)公式，即可得出結(jié)論．【詳解】曲線(xiàn)（為參數(shù)），化為普通方程，將代入，可得，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．12、A【解析】

分析：構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定它的單調(diào)性，從而可得題中不等式的解．詳解：設(shè)，則，由已知當(dāng)時(shí)，，∴在上是減函數(shù)，又∵是偶函數(shù)，∴也是偶函數(shù)，，不等式即為，即，∴，∴，即．故選A．點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后解函數(shù)不等式．解題關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)．新函數(shù)的結(jié)構(gòu)可結(jié)合已知導(dǎo)數(shù)的不等式和待解的不等式的形式構(gòu)造．如，，，等等．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：令y′≥1在（1，+∞）上恒成立可得a，根據(jù)右側(cè)函數(shù)的值域即可得出a的范圍．詳解：y′=+2ax，x∈（1，+∞），∵曲線(xiàn)y=lnx+ax2（a為常數(shù)）不存在斜率為負(fù)數(shù)的切線(xiàn)，∴y′=≥1在（1，+∞）上恒成立，∴a≥﹣恒成立，x∈（1，+∞）．令f（x）=﹣，x∈（1，+∞），則f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，又f（x）=﹣＜1，∴a≥1．故答案為：．點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問(wèn)題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.14、【解析】

由題可知，于是可知，從而利用求和公式得到答案.【詳解】∵是方程的兩根，且，∴，，則公比，因此.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的基本量的相關(guān)計(jì)算，難度很小.15、6【解析】

設(shè)水面的高度為，根據(jù)圓錐體的體積等于全部玻璃的體積加上水的體積列方程求解即可.【詳解】解：設(shè)在向容器倒?jié)M水后，再把玻璃球全部拿出來(lái)，則此時(shí)容器內(nèi)水面的高度為，則，解得.故答案為：6.【點(diǎn)睛】本題考查圓錐體積和球的體積的運(yùn)算，關(guān)鍵要找到體積之間的關(guān)系，是基礎(chǔ)題.16、【解析】

先求出男生的抽樣比,再乘以樣本容量即可得到應(yīng)抽取的男生人數(shù).【詳解】因?yàn)槟承８咭荒昙?jí)有名學(xué)生，其中女生人,所以其中男生有180-80=100人,所以男生抽樣比為,若抽取一個(gè)容量為的樣本,則應(yīng)抽取的男生人數(shù)是人.故答案為:25.【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）;（Ⅱ）．【解析】試題分析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知可得解得，則及可求；（2）由（1）可得，裂項(xiàng)求和即可試題解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以有，解得，所以?（2）由（1）知，，所以，所以，即數(shù)列的前項(xiàng)和.考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式．裂項(xiàng)求和18、（1）的最小正周期為（2）時(shí)，取得最大值【解析】

降次化為的形式再通過(guò)求出最小正周期。根據(jù)的性質(zhì)求出最大值即可?！驹斀狻浚?），所以的最小正周期為.（2）由（1）知.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。19、（1），（2）1【解析】

（1）消去t即可得的普通方程，通過(guò)移項(xiàng)和可得的普通方程；（2）由可得的幾何意義是斜率，將的參數(shù)方程代入的普通方程，得到關(guān)于t的方程且，由韋達(dá)定理可得．【詳解】解：（1）．由，（t為參數(shù)），消去參數(shù)t，得，即的普通方程為，由，得，即，將代入，得，即的直角坐標(biāo)方程為．（2）．由（t為參數(shù)），得，則的幾何意義是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)（原點(diǎn)除外）與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率．由題意知，將，（t為參數(shù)）代入，得．由，且得，且．設(shè)M，N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為、，則，，所以．【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程化為普通方程和參數(shù)方程在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）把整合成，再利用就可以得到曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）因?yàn)樵跈E圓上且在第一象限，故可設(shè)，從而所求面積可用的三角函數(shù)來(lái)表示，求出該函數(shù)的最大值即可.詳解：（Ⅰ）由題可變形為，∵，，∴，∴.（Ⅱ）由已知有，，設(shè)，.于是由，由得，于是，∴四邊形最大值.點(diǎn)睛：直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)為極坐標(biāo)方程的關(guān)鍵是利用公式，而極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程的關(guān)鍵是利用公式，后者也可以把極坐標(biāo)方程變形盡量產(chǎn)生以便轉(zhuǎn)化.另一方面，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在圓錐曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，我們可用一個(gè)參數(shù)來(lái)表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用一元函數(shù)求與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值問(wèn)題.21、【解析】

設(shè)出點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，聯(lián)立準(zhǔn)線(xiàn)方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理和平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則可得關(guān)于實(shí)數(shù)m的方程，解方程即可確定m的值.【詳解】設(shè)，聯(lián)立，得，，解得，，，在橢圓上，，解得.【點(diǎn)睛】解決直線(xiàn)與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀(guān)察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線(xiàn)、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面