高中數(shù)學(xué)2 1 2 2函數(shù)表示法課件北師大版必修

成才之路·數(shù)學(xué)北師大版·

必修1第二章函數(shù)§1

生活中的變量關(guān)系§2

對(duì)函數(shù)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)函數(shù)的表示法第2課時(shí)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)思路方法技巧課堂鞏固訓(xùn)練探索延拓創(chuàng)新課后強(qiáng)化作業(yè)知能自主梳理知能目標(biāo)解讀理解函數(shù)的三種表示方法：列表法、圖像法、解析法．掌握求函數(shù)解析式的幾種常用方法，掌握分段函數(shù)的表達(dá)形式．重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥重點(diǎn)：函數(shù)解析式的求法及函數(shù)的表示方法．難點(diǎn)：分段函數(shù)及應(yīng)用．學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)一、函數(shù)的三種表示方法各自的優(yōu)缺點(diǎn)二、函數(shù)解析式的求法定義法(亦稱配湊法)．換元法：形如f[g(x)]＝y(tǒng)

的函數(shù)，可令t＝g(x)，由此求出x＝φ(t)，然后代入解析式求解，但要注意新設(shè)變量“t”的范圍．待定系數(shù)法：若已知所求函數(shù)類型，可先設(shè)出所求函數(shù)的解析式，然后由已知條件列方程(組)，再求系數(shù)．4．賦值法：有時(shí)令自變量取某些特殊值即可求得解析式．

5．方程組法：若已知式子含有f(x)，f1，或f(x)，f(－x)x等形式，可讓

x

與1

x

與

x

互換等，從而構(gòu)造出另互換，或－x一個(gè)方程，通過(guò)解方程組獲解．三、函數(shù)圖像及其畫法圖像是函數(shù)關(guān)系的直觀體現(xiàn)，畫好函數(shù)圖像有利于問(wèn)題的解決和對(duì)知識(shí)的深層理解．最基本的方法是列表描點(diǎn)法，其次還要注意充分挖掘題目中的隱含條件，根據(jù)平移關(guān)系或?qū)ΨQ性作圖，能夠提高作圖的速度和準(zhǔn)確性．(1)描點(diǎn)法：取有限個(gè)自變量的值，對(duì)應(yīng)求出函數(shù)值，每一組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，描出這些點(diǎn)，用光滑的曲線連接各點(diǎn)．其步驟為列表、描點(diǎn)、連線．對(duì)于一些未知圖像的函數(shù)，此法是一種常用方法．(2)變換法：如果所研究的函數(shù)與我們熟知的基本函數(shù)存在密切聯(lián)系，可以觀察其特征，通過(guò)熟知函數(shù)的圖像對(duì)稱或平移變換得到．具體情況是：y＝f(x)與y＝f(－x)關(guān)于y

軸對(duì)稱；

y＝f(x)與y＝－f(x)關(guān)于x軸對(duì)稱；y＝－f(－x)與y＝f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；y＝f(x＋a)可由y＝f(x)左移a

個(gè)單位；y＝f(x)＋h

可由y＝f(x)上移h

個(gè)單位；y＝f(x－a)可由y＝f(x)右移a

個(gè)單位；

y＝f(x)－h(huán)

可由y＝f(x)下移h

個(gè)單位(a>0，h>0)等等．四、分段函數(shù)當(dāng)x

在定義域中不同范圍內(nèi)取值時(shí)，如果對(duì)應(yīng)關(guān)系f

是不同的，那么函數(shù)的解析式用分段的形式寫出，稱為分段函數(shù)．注意：(1)對(duì)于分段函數(shù)要掌握其意義，即在定義域的不同部分有不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，要注意分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，不要誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù)．(2)分段函數(shù)的定義域是各段自變量取值范圍的并集；分段函數(shù)的值域也是各段因變量取值范圍的并集，是針對(duì)一個(gè)函數(shù)而言的．例如，y＝(3)分段函數(shù)的“段”可能是等長(zhǎng)的，也可能是不等長(zhǎng)的，1，－2≤x≤0，x，0<x≤3，其“段”是不等長(zhǎng)的．分段函數(shù)求值要先找準(zhǔn)自變量所在區(qū)間及所對(duì)應(yīng)的解析式，然后求值．在研究分段函數(shù)圖像時(shí)，要特別注意定義域的制約作用．知能自主梳理1．函數(shù)的表示法2.分段函數(shù)在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)于自變量

x

的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)法則，這樣的函數(shù)通常叫

．分段函數(shù)的定義域是各段定義域的

，其值域是各段值域的

．(填“交集”或“并集”)[答案]

1.表格表達(dá)式 解析式2．(1)分段函數(shù)函數(shù)

圖像

函數(shù)

對(duì)應(yīng)關(guān)系

解析(2)并集 并集思路方法技巧列表法表示函數(shù)[例1]下表給出的y

與x

的關(guān)系，是函數(shù)關(guān)系嗎？x1921192719491949<x<1997199719992010y1234567[分析]

判斷是否是函數(shù)關(guān)系，首先看問(wèn)題是否具備函數(shù)的三要素，并且判斷是否具備函數(shù)的基本特性．[解析]

x，y

的取值范圍分別是A

＝

{1921,1927,1949,1997,1999,2010}

∪{x|1949<x<1997}，B＝{1,2,3,4,5,6,7}，它們都是非空數(shù)集，且按照表格中給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)任意的x∈A，在B

中都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，所以y

是x

的函數(shù)．[方法總結(jié)]判斷兩變量是否具有函數(shù)關(guān)系，應(yīng)以定義判定，即從函數(shù)的基本特征入手．[解析]

零售量是月份的函數(shù)．由表可知，因?yàn)閷?duì)于集合{1,2，…，12}中任意一個(gè)值，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，所以由它可確定y

是t

的函數(shù).函數(shù)的三種表示方法[例

2]

某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)是

30元的商品，在市場(chǎng)試銷中發(fā)現(xiàn)，此商品銷售單價(jià)x

元與日銷售量y

臺(tái)之間有如下關(guān)系：x35404550…y57422712…在所給的坐標(biāo)系中，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，并確定你認(rèn)為比較適合的x與y的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)．[方法總結(jié)]這是一個(gè)綜合了函數(shù)三種表示方法(列表法、圖像法以及解析法)的問(wèn)題．由表格可看到每一個(gè)銷售單價(jià)與相應(yīng)日銷售量的關(guān)系，但卻無(wú)法明確后面單價(jià)與日銷售量的確切關(guān)系，在圖像法中，看到日銷售量的發(fā)展趨勢(shì)，而解析法則能讓我們明確其最終趨勢(shì)，知道定什么樣的價(jià)便有怎樣的日銷售量，不僅知道單價(jià)為35

元時(shí)的日銷售量，還能知道36

元時(shí)的日銷售量，通過(guò)此題能讓我們充分認(rèn)識(shí)到函數(shù)三種表示法的優(yōu)點(diǎn)．[解析](1)列表法：x(臺(tái))12345y(元)3000600090001200015000求函數(shù)解析式[例

3]

求下列函數(shù)的解析式：已知f(x)＝x2＋2x，求f(2x＋1)；已知

f(

x－1)＝x＋2

x，求

f(x)；已知f(x)是一次函數(shù)，且f[f(x)]＝4x＋3，求f(x)；1(4)已知f(x)－2fx＝3x＋2，求f(x)．

根據(jù)題中所給條件，可用拼湊法、換元法、待定[分析]系數(shù)法、解方程組的方法求解．[解析]

(1)f(2x＋1)＝(2x＋1)2＋2(2x＋1)x－1)＝(

x－1)2＋4(

x－1)＋3，而x－1≥＝4x2＋8x＋3.(2)解法一：f(－1，故所求的函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)．解法二：設(shè)t＝

x－1，則t≥－1，且x＝t＋1，∴f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)＝t2＋4t＋3.故所求的函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)．(3)設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.∴解得a2＝4，

a＝2，或a＝－2，ab＋b＝3，

b＝1，

b＝－3.故所求的函數(shù)為f(x)＝2x＋1

或f(x)＝－2x－3.

1(4)∵f(x)－2fx＝3x＋2，①

11∴fx－2f(x)＝3·x＋2.②x①②聯(lián)立解得

f(x)＝－x－2

2.—x故所求的函數(shù)

f(x)＝－x－2

2(x≠0)．—[方法總結(jié)](1)換元法(或配湊法)是求函數(shù)解析式的重要方法，若不清楚函數(shù)類型，比如已知f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式，可采用配湊法或換元法，配湊法是將f[g(x)]右端的代數(shù)式配湊成關(guān)于g(x)的形式，進(jìn)而求出f(x)的解析式；換元法可令g(x)＝t

及解出x，即用t

表示x，然后代入f[g(x)]中即可求得f(t)，從而求得f(x)．(2)待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式的常用方法：若已知函數(shù)類型，可用待定系數(shù)法求解，若f(x)是一次函數(shù)，可設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0)，若f(x)是二次函數(shù)，可設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后利用題目中的已知條件，列出待定系數(shù)的方程組，進(jìn)而求出待定的系數(shù)．[解析]

(1)∵f(1－x)＝x2－3x＋2＝(1－x)2＋1－x，∴f(x)＝x2＋x.令x＋1＝t，則t≥1.即x＝(t－1)2.則f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．∵f(0)＝c＝0，∴f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b，f(x)＋x＋1＝ax2＋bx＋x＋1＝ax2＋(b＋1)x＋1，∴2a＋b＝b＋1a＋b＝1?1a＝2，b1

＝2.∴f(x)＝1

1

.2x2＋2x函數(shù)的圖像[例

4]

作出下列函數(shù)的圖像：(1)y＝2x＋1(|x|≤1)；(2)y＝(x－2)2.[分析]

(1)是一次函數(shù)，定義域?yàn)閇－1,1]，所以它是一條線段；(2)可以用描點(diǎn)法，也可以用圖像變換法作出圖像．[解析]

(1)y＝2x＋1(|x|≤1)是一次函數(shù)，定義域?yàn)閇－1,1]所以它是一條線段．列表：x－11y－13[方法總結(jié)]

(1)函數(shù)的圖像不一定是一條或幾條無(wú)限延伸的平滑曲線，也可以是一條線段，一段曲線，甚至是一些點(diǎn)，這主要由函數(shù)的定義域決定．(2)畫函數(shù)圖像的基本方法有兩種：①描點(diǎn)法；②圖像變換法：以已知的常見(jiàn)函數(shù)的圖像為基礎(chǔ)，以平移、伸縮、對(duì)稱等變換的意義為依據(jù)，經(jīng)過(guò)對(duì)函數(shù)解析式的適當(dāng)?shù)葍r(jià)變形，得到所要的圖像．(4)這個(gè)函數(shù)的圖像由兩部分組成：1當(dāng)0<x<1

時(shí)，為曲線y＝x的一部分；當(dāng)x≥1

時(shí)，為直線y＝x

的一部分，如圖4.分段函數(shù)的求值[例5](1)設(shè)f(x)＝

11＋x2|x－1|－2，|x|≤1，|x|>11，則f[f(2)]＝(

)A.1B.

4

2

13C．－95D.2541(2)若函數(shù)f(x)＝x＋1(x≥0)f(x＋2)(x<0)，則

f(－2)＝

.[分析]

對(duì)于分段函數(shù)的求值問(wèn)題，一定要注意自變量的取值范圍，只有在自變量確定的范圍內(nèi)才可以代入運(yùn)算．[解析]

(1)由于

1

1，所以

f(

)|2|<

21

＝

1|2－1|－23

3＝－2，而|－21＋(－2)2

3

2

13

134|>1，所以

f(－3)＝

1

＝

1

＝

4

，所以131

4

f[f(2)]＝

，選B.(2)由于－2<0，所以f(－2)＝f(－2＋2)＝f(0)，而0≥0，所以f(0)＝0＋1＝1，即f(－2)＝1.[答案](1)B(2)1[方法總結(jié)]

分段函數(shù)是考試的熱點(diǎn)，由于分段函數(shù)能將不同的函數(shù)揉在一起，因此對(duì)于考查函數(shù)的性質(zhì)方面可以有一定的覆蓋，且可以考查分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想方法，因此備受關(guān)注．對(duì)于分段函數(shù)問(wèn)題，一定要注意在每一段上函數(shù)定義域的不同，換言之，必須在相應(yīng)定義域上研究函數(shù)，離開(kāi)了定義域談函數(shù)是沒(méi)有任何意義的．探索延拓創(chuàng)新分段函數(shù)的圖像及應(yīng)用[例

6]

設(shè)

x∈(－∞，＋∞)，求函數(shù)

y＝2|x－1|－3|x|的最大值．[分析]

本題涉及含絕對(duì)值函數(shù)，應(yīng)先分段討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，再畫出分段函數(shù)的圖像，然后解之．[解析]

當(dāng)

x≥1

時(shí)，y＝2(x－1)－3x＝－x－2；當(dāng)0≤x<1時(shí)，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2；當(dāng)x<0

時(shí)，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2.－x－2，因此y＝－5x＋2，x＋2，x≥1，0≤x<1，x<0.[方法總結(jié)]函數(shù)圖像直觀性強(qiáng)，能夠幫助我們正確理解概念和有關(guān)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)的一個(gè)重要手段，是解題的一個(gè)有效途徑，便于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、啟發(fā)思考，有助于培養(yǎng)綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的能力．[答案]

1當(dāng)2－x2≤x，即x≥1或x≤－2時(shí)，h(x)＝2－x2.故h(x)＝x2－x－2<x<1，x≥1或x≤－2.2如圖所示，兩個(gè)圖像取下方的部分，即為此函數(shù)的圖像，由圖像可知：當(dāng)x

取1

時(shí)，h(x)取最大值1，所以min{f(x)，g(x)}的最大值是1.已知函數(shù)f(x)＝xx21x∈(－∞，0)x∈[0，＋∞)，求f(x＋1)．[誤解]1f(x＋1)＝x＋1x∈(－∞，0)(x＋1)2

x∈[0，＋∞).名師辨誤做答[解析]

x＝－1∈(－∞，0)，此時(shí)1x＋1無(wú)意義，故上述解法錯(cuò)誤．錯(cuò)誤原因：根據(jù)函數(shù)的定義，若f(x)的定義域?yàn)锳，則當(dāng)

f[g(x)]中的

g(x)∈A

時(shí)，f[g(x)]才有意義，因而求

f[g(x)]時(shí)，必須要考慮g(x)∈A.[正解]1f(x＋1)＝x＋1x＋1∈(－∞，0)，(x＋1)2

x＋1∈[0，＋∞)，1即f(x＋1)＝x＋1x∈(－∞，－1)，(x＋1)2

x∈[－1，＋∞).課堂鞏固訓(xùn)練一、選擇題1．函數(shù)

y＝f(x)的圖像與直線

x＝1

交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(

)A．0 B．0

或

1

C．1 D．1

或

2[答案]

B[解析]

根據(jù)函數(shù)的定義，

數(shù)

1

不一定屬于

f(x)的定義域

A，若

1∈A，則有一交點(diǎn)，若

1?A，則無(wú)交點(diǎn)．[答案]

D[解析]

A

不能表示函數(shù)

y＝f(x)的圖像，因?yàn)楫?dāng)－1<x<1時(shí)，對(duì)于每個(gè)x，都有兩個(gè)y

值與之對(duì)應(yīng)；B

不能表示函數(shù)y＝f(x)的圖像，因?yàn)閤>0時(shí)，對(duì)每個(gè)x，都有兩個(gè)y

值與之對(duì)應(yīng)；C

不能表示函數(shù)y＝f(x)的圖像，因?yàn)閤＝0

時(shí)，y

有兩個(gè)值±1

與之對(duì)應(yīng)．D

能表示函數(shù)y＝f(x)的圖像．[答案]

D[解析]

根據(jù)分段函數(shù)定義域的確定原則：將每一個(gè)段上函數(shù)的自變量的范圍取并集，即：[－5,0]∪[2,6)．二、填空題4．已知函數(shù)

f(2x＋1)＝3x＋2，且

f(a)＝4，則

a＝

.[答案]73[解析]2t－1令

2x＋1＝t，則

x＝

，∴f(t)＝33

32t－2＋2＝2t＋1，∴f(x)＝3

＋1，又f(a)＝3a＋1＝4，∴a＝7.2

2x

2

2

2

35．已知f(x)＝2x＋1－(x－1)2的

x

的取值范圍為

．[答案]

[－4,2]1(x≤0)(x>0)，使f(x)≥－1

成立[解析]f(x)≥－1

可化為2x≤0或