統(tǒng)計(jì)學(xué)數(shù)據(jù)分布特征的描述

統(tǒng)計(jì)學(xué)數(shù)據(jù)分布特征的描述1第1頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月對單變量截面數(shù)據(jù)的特征描述，主要有四個(gè)方面：集中趨勢、離散程度、偏態(tài)與峰度。各類代表性的數(shù)量特征值代表值是多少代表性有多大代表性可靠嗎集中趨勢的度量離散趨勢的度量分布特征的度量平均指標(biāo)變異指標(biāo)偏度峰度指標(biāo)基本公式簡單式加權(quán)式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式公式算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)極差平均差標(biāo)準(zhǔn)差離散系數(shù)原點(diǎn)矩中心距N階矩第三章數(shù)據(jù)分布特征的描述2第2頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章數(shù)據(jù)分布特征的描述第一節(jié)統(tǒng)計(jì)變量集中趨勢的測定第二節(jié)統(tǒng)計(jì)變量離散程度的測定第三節(jié)變量分布的偏度與峰度第四節(jié)利用Excel計(jì)算描述統(tǒng)計(jì)指標(biāo)3第3頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)統(tǒng)計(jì)變量集中趨勢的測定一測定集中趨勢的指標(biāo)及其作用二數(shù)值平均數(shù)三眾數(shù)與中位數(shù)4第4頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月一、測定集中趨勢的指標(biāo)及其作用集中趨勢(Centraltendency)較大和較小的觀測值出現(xiàn)的頻率比較低，大多數(shù)觀測值密集分布在中心附近，使得全部數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出向中心聚集或靠攏的態(tài)勢。測度集中趨勢的指標(biāo)有兩大類：數(shù)值平均數(shù)——是根據(jù)全部數(shù)據(jù)計(jì)算得到的代表值，主要有算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)及幾何平均數(shù)；位置代表值——根據(jù)數(shù)據(jù)所處位置直接觀察或根據(jù)與特定位置有關(guān)的部分?jǐn)?shù)據(jù)來確定的代表值，主要有眾數(shù)和中位數(shù)。5第5頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月測定集中趨勢指標(biāo)的作用1．反映變量分布的集中趨勢和一般水平。如用平均工資了解職工工資分布的中心，反映職工工資的一般水平。2．可用來比較同一現(xiàn)象在不同空間或不同階段的發(fā)展水平。不受總體規(guī)模大小的影響；在一定程度上使偶然因素的影響相互抵消。3．可用來分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系。如研究勞動者的文化程度與收入的關(guān)系。4．平均指標(biāo)也是統(tǒng)計(jì)推斷中的一個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量，是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)。年份人均可支配收入人均消費(fèi)性支出19922.0271.67219932.5772.11119943.4962.85119954.2833.53819964.8393.91919975.164.18619985.4254.33219995.8544.61620006.284.99820016.865.30920027.7036.0320038.4726.511合計(jì)62.97650.0736第6頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月二、數(shù)值平均數(shù)（一）算術(shù)平均數(shù)（均值）一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)的項(xiàng)數(shù)所得的結(jié)果;最常用的數(shù)值平均數(shù)。

1．簡單算術(shù)平均數(shù)把每項(xiàng)數(shù)據(jù)直接加總后除以它們的項(xiàng)數(shù)。通常用于對未分組的數(shù)據(jù)計(jì)算算術(shù)平均數(shù)。計(jì)算公式：表3-1男性女性22222222252525252525252525253030303050307第7頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月二、數(shù)值平均數(shù)表3-2年齡人數(shù)（人）xf2242510305501合計(jì)20表3-1男性女性22222222252525252525252525253030303050302．加權(quán)算術(shù)平均數(shù)——加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式：加權(quán)—為了體現(xiàn)各變量值輕重不同的影響作用，對各個(gè)變量值賦予不盡相同的權(quán)數(shù)（fi）。8第8頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月二、數(shù)值平均數(shù)2．加權(quán)算術(shù)平均數(shù)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式：權(quán)數(shù)（fi

，也稱權(quán)重）權(quán)數(shù)——指在計(jì)算總體平均數(shù)或綜合水平的過程中對各個(gè)數(shù)據(jù)起著權(quán)衡輕重作用的變量。可以是絕對數(shù)形式，也可以是比重形式（如頻率）來表示。事實(shí)上比重權(quán)數(shù)更能夠直接表明權(quán)數(shù)的權(quán)衡輕重作用的實(shí)質(zhì)。9第9頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月二、數(shù)值平均數(shù)產(chǎn)量（件/人）人數(shù)（人）xfxf22488251025030515050150合計(jì)205382．加權(quán)算術(shù)平均數(shù)——權(quán)數(shù)的性質(zhì)：加權(quán)——為了體現(xiàn)各變量值輕重不同的影響作用，對各個(gè)變量值賦予不盡相同的權(quán)數(shù)（fi）表1表2表3產(chǎn)量（件/人）人數(shù)（人）xfxf221222551253010300504200合計(jì)20647產(chǎn)量（件/人）人數(shù)（人）xfxf225110255125305150505250合計(jì)20635大變量值組大權(quán)數(shù)，小變量值組小權(quán)數(shù)，則平均數(shù)就大大變量值組小權(quán)數(shù)，小變量值組大權(quán)數(shù)，則平均數(shù)就小當(dāng)權(quán)數(shù)完全相等（f1=f2=…=fn）時(shí)，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)就成了簡單算術(shù)平均數(shù)。10第10頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月表3－3節(jié)能燈泡的使用壽命的分組數(shù)據(jù)使用壽命（小時(shí)）

組中值x數(shù)量fXf

頻率f/ΣfXf/Σf1000以下900218000.020181000-12001100888000.080881200-1400130016208000.1602081400-1600150035525000.3505251600-1800170023391000.2303911800-2000190012228000.1202282000以上2100484000.04084合計(jì)——1001542001.00015423．由組距數(shù)列計(jì)算算術(shù)平均數(shù)各組變量值用組中值來代表。假定條件是各組內(nèi)數(shù)據(jù)呈均勻分布或?qū)ΨQ分布。計(jì)算結(jié)果是近似值。二、數(shù)值平均數(shù)11第11頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月表3-4企業(yè)流通費(fèi)用率（％）商品銷售額（萬元）流通費(fèi)用（萬元）甲161600256乙104750475丙124000480合計(jì)11.700481035012114．對相對數(shù)求算術(shù)平均數(shù)由于各個(gè)相對數(shù)的對比基礎(chǔ)不同，采用簡單算術(shù)平均通常不合理，需要加權(quán)。權(quán)數(shù)的選擇必須符合該相對數(shù)本身的計(jì)算公式。權(quán)數(shù)通常為該相對數(shù)的分母指標(biāo)。二、數(shù)值平均數(shù)12第12頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月5．算術(shù)平均數(shù)的主要數(shù)學(xué)性質(zhì)（1）算術(shù)平均數(shù)與變量值個(gè)數(shù)的乘積等于各個(gè)變量值的總和（2）各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差之總和等于零（3）各變量值與算術(shù)平均數(shù)離差平方之總和為最小二、數(shù)值平均數(shù)13第13頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月二、數(shù)值平均數(shù)產(chǎn)量（件/人）人數(shù)（人）總產(chǎn)量（件）xfxf22488251025030515050150合計(jì)20538（二）調(diào)和平均數(shù)（Harmonicmean）對于已分組資料，當(dāng)已知各組單位總量f，未知各組標(biāo)志總量m時(shí)，采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。表1表2產(chǎn)量（件/人）總產(chǎn)量（件）人數(shù)（人）xmm/x22884252501030150550501合計(jì)53820商務(wù)統(tǒng)計(jì)中所應(yīng)用的調(diào)和平均數(shù)通常是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的變形對于已分組資料，當(dāng)已知各組標(biāo)志總量m，未知各組單位總量f時(shí)，采用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。對于未分組資料，或雖已分組但各組次數(shù)相同時(shí)，采用簡單算術(shù)平均數(shù)。14第14頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月二、數(shù)值平均數(shù)（二）調(diào)和平均數(shù)（Harmonicmean）調(diào)和平均數(shù)也稱為倒數(shù)平均數(shù)。各變量值的倒數(shù)（1/xi）的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。其計(jì)算公式為：對于未分組資料，采用簡單調(diào)和平均數(shù)。對于已分組資料，當(dāng)已知各組標(biāo)志總量m，未知各組單位總量f時(shí)，采用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。15第15頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月二、數(shù)值平均數(shù)【例】某企業(yè)產(chǎn)品的加工要順次經(jīng)過前后銜接的五道工序。本月該企業(yè)各加工工序的合格率分別為88％、85％、90％、92％、96％，試求這五道工序的平均合格率。本例中各工序的合格率具有環(huán)比的性質(zhì)，企業(yè)產(chǎn)品的總合格率等于各工序合格率之連乘積。所以，所求的平均合格率應(yīng)為：（三）幾何平均數(shù)（Geometricmean）16第16頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月（三）幾何平均數(shù)（Geometricmean）幾何平均數(shù)—n個(gè)變量值連乘積的n次方根。簡單幾何平均數(shù)加權(quán)幾何平均數(shù)適用于各個(gè)變量值之間存在連乘積關(guān)系的場合。主要用于計(jì)算現(xiàn)象的平均發(fā)展速度；也適用于對某些具有環(huán)比性質(zhì)的比率求平均。二、數(shù)值平均數(shù)17第17頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值平均數(shù)小結(jié)：二、數(shù)值平均數(shù)簡單式加權(quán)式算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)算術(shù)和的關(guān)系倒數(shù)和的關(guān)系連乘積的關(guān)系由未分組資料計(jì)算由已分組資料計(jì)算變量值的關(guān)系數(shù)值平均數(shù)的計(jì)算18第18頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月三、眾數(shù)與中位數(shù)（一）眾數(shù)（Mode）眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻數(shù)最多、頻率最高的變量值，常用Mo

表示。如表3-2中年齡的眾數(shù)值Mo＝25。眾數(shù)代表的是最常見、最普遍的狀況，是對現(xiàn)象集中趨勢的度量?？捎脕頊y度定性變量的集中趨勢；

銷售量最大的產(chǎn)品顏色是“白色”，則有Mo＝“白色”?？梢远攘慷孔兞康募汹厔荨?/p>

從分布曲線的角度看，眾數(shù)就是變量分布曲線的最高峰所對應(yīng)的變量值。19第19頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月組距數(shù)列中眾數(shù)的確定先找到眾數(shù)組。在等距數(shù)列中，眾數(shù)組就是次數(shù)最多的組；在異距數(shù)列中，眾數(shù)組應(yīng)是頻數(shù)密度最大的組。根據(jù)眾數(shù)組與其相鄰兩組的次數(shù)差來推算。其近似公式為：下限公式：上限公式：20第20頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)統(tǒng)計(jì)變量離散程度的測定測度集中趨勢的指標(biāo)有兩大類：數(shù)值平均數(shù)——主要有算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)及幾何平均數(shù)；位置代表值——主要有眾數(shù)和中位數(shù)。測度離中趨勢的指標(biāo)也有兩大類：數(shù)值平均數(shù)的代表性——主要有極差、平均差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差、離散系數(shù)；位置代表值的代表性——主要有四分位差、異眾比例。21第21頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)統(tǒng)計(jì)變量離散程度的測定一測定離散程度的指標(biāo)及其作用二極差、四分位差和平均差三方差和標(biāo)準(zhǔn)差四離散系數(shù)五異眾比率

22第22頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月一、測定離散程度的指標(biāo)及其作用1.說明數(shù)據(jù)的分散程度，反映變量的穩(wěn)定性、均衡性。數(shù)據(jù)之間差異越大，變量的穩(wěn)定性或均衡性越差。2.衡量平均數(shù)的代表性。離散程度越大，平均數(shù)的代表性就越小。3.統(tǒng)計(jì)推斷的重要依據(jù)判別統(tǒng)計(jì)推斷前提條件是否成立，衡量推斷效果好壞的重要尺度。23第23頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月二、極差、四分位差和平均差（一）極差（Range）極差是一組數(shù)據(jù)的最大值（xmax）與最小值（xmin）之差，通常用R

表示。對于總體數(shù)據(jù)而言，極差也就是變量變化的范圍或幅度大小，也稱為全距組距數(shù)列中，極差≈最高組的上限-最低組的下限。優(yōu)缺點(diǎn)：計(jì)算簡便、含義直觀、容易理解。它未考慮數(shù)據(jù)的中間分布情況，不能充分說明全部數(shù)據(jù)的差異程度。24第24頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月二、極差、四分位差和平均差（二）四分位差第3四分位數(shù)（Q3）與第1四分位數(shù)（Q1）之差，常用Qd表示。計(jì)算公式為：實(shí)質(zhì)上是兩端各去掉四分之一的數(shù)據(jù)以后的極差，表示占全部數(shù)據(jù)一半的中間數(shù)據(jù)的離散程度。四分位差越大，表示數(shù)據(jù)離散程度越大。優(yōu)缺點(diǎn)：是在一定程度上對極差的一種改進(jìn)，避免了極端值的干擾。但它對數(shù)據(jù)差異的反映仍然是不充分的。四分位差是一種順序統(tǒng)計(jì)量，適用于定序數(shù)據(jù)和定量數(shù)據(jù)。尤其是當(dāng)用中位數(shù)來測度數(shù)據(jù)集中趨勢時(shí)。25第25頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月二、極差、四分位差和平均差（三）平均差（AverageDeviation）平均差——各個(gè)數(shù)據(jù)與其均值的離差絕對值的算術(shù)平均數(shù)，反映各個(gè)數(shù)據(jù)與其均值的平均差距，通常以A.D表示。計(jì)算公式為：優(yōu)缺點(diǎn)：平均差含義清晰，能全面地反映數(shù)據(jù)的離散程度。但取離差絕對值進(jìn)行平均，數(shù)學(xué)處理上不夠方便，在數(shù)學(xué)性質(zhì)上也不是最優(yōu)的。已分組數(shù)據(jù)：未分組數(shù)據(jù)：26第26頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差（一）方差（Variance）的概念和計(jì)算方差是各個(gè)數(shù)據(jù)與其均值的離差平方的算術(shù)平均數(shù).總體方差（

2）的計(jì)算公式為：樣本方差（通常用S2表示）分母應(yīng)為（n-1）。已分組數(shù)據(jù)：未分組數(shù)據(jù)：27第27頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差（standardDeviation）：方差的算術(shù)平方根?？傮w標(biāo)準(zhǔn)差一般用表示。其計(jì)算公式為：樣本標(biāo)準(zhǔn)差（S）分母應(yīng)為（n-1）。標(biāo)準(zhǔn)差比方差更容易理解。在社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)分析中，標(biāo)準(zhǔn)差比方差的應(yīng)用更為普遍，經(jīng)常被用作測度數(shù)據(jù)與均值差距的標(biāo)準(zhǔn)尺度分組數(shù)據(jù)：未分組數(shù)據(jù)：28第28頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月計(jì)算平均差和方差、標(biāo)準(zhǔn)差使用壽命（小時(shí)）

組中值(x)試驗(yàn)數(shù)量（只）f

頻率（f/Σf)(x－1542)|x－1542|f(x－1542)2*f1000以下90020.020-64212848243281000-1200110080.080-442353615629121200160-24238729370241400-16001500350.350-42147061740160023015836345741721800-20001900120.120358429615379682000以上210040.04055822321245456合計(jì)——1001.000——

20324674360029第29頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差（二）方差的主要數(shù)學(xué)性質(zhì)常數(shù)的方差等于零。a為常數(shù),則變量的線性函數(shù)的方差等于變量系數(shù)的平方乘以變量的方差。設(shè)a,b為常數(shù)，y=a+bx，則有：分組條件下，總體的方差等于組間方差與各組方差平均數(shù)之和。組間方差各組方差平均數(shù)30第30頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差（三）標(biāo)準(zhǔn)化值（Z-score）標(biāo)準(zhǔn)化值或標(biāo)準(zhǔn)得分也稱為Z值。對于來自不同均值和標(biāo)準(zhǔn)差的個(gè)體的數(shù)據(jù)，往往不能直接對比。這就需要將它們轉(zhuǎn)化為同一規(guī)格、尺度的數(shù)據(jù)后再比較。標(biāo)準(zhǔn)化值實(shí)際上是將不同均值和標(biāo)準(zhǔn)差的總體都轉(zhuǎn)換為均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1的總體，將各個(gè)體的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為它在其總體中的相對位置。31第31頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差假定某班學(xué)生先后兩個(gè)兩次進(jìn)行了難度不同的綜合考試，第一次考試成績的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為80分和10分，而第二次考試成績的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為70分和7分。張某第一、二次考試的成績分別為92分和80分，那么全班相比較而言，他哪一次考試的成績更好呢？解：由于兩次考試成績的均值和標(biāo)準(zhǔn)差不同，每個(gè)學(xué)生兩次考試的成績不宜直接比較。利用標(biāo)準(zhǔn)化值進(jìn)行對比，表明第二次考試的成績更好一些。32第32頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差（四）對稱鐘形分布中的3法則3

法則——關(guān)于鐘形分布的一個(gè)近似的或經(jīng)驗(yàn)的法則：變量值落在[-3

，+3]范圍以外的情況極為少見。因此通常將落在區(qū)間[-3

，+3]之外的數(shù)據(jù)稱為異常數(shù)據(jù)或稱為離群點(diǎn)。x99.73%68.27%95.45%33第33頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月四、離散系數(shù)前面的各變異指標(biāo)都是有計(jì)量單位的，它們的數(shù)值大小不僅取決于數(shù)據(jù)的離散程度，還要受數(shù)據(jù)本身水平高低和計(jì)量單位的影響。對不同變量（或不同數(shù)據(jù)組）的離散程度進(jìn)行比較時(shí)，只有當(dāng)它們的平均水平和計(jì)量單位都相同時(shí)，才能利用上述變異指標(biāo)來分析；否則，須利用離散系數(shù)來比較它們的離散程度。例如，哪個(gè)變量的差異較大：體重，還是身高？例如，體重的差異哪個(gè)較大：父親，還是嬰兒？父親：平均體重=70kg，標(biāo)準(zhǔn)差=5kg

嬰兒：5kg，1kg34第34頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月四、離散系數(shù)離散系數(shù)是極差、四分位差、平均差或標(biāo)準(zhǔn)差等變異指標(biāo)與算術(shù)平均數(shù)的比率，以相對數(shù)的形式表示變異程度。將極差與算術(shù)平均數(shù)對比得到極差系數(shù)，將平均差與算術(shù)平均數(shù)對比得到平均差系數(shù)。最常用的離散系數(shù)是就標(biāo)準(zhǔn)差來計(jì)算的，稱之為標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)：離散系數(shù)大，說明數(shù)據(jù)的離散程度大，其平均數(shù)的代表性就差；反之亦然.35第35頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月五、異眾比率異眾比率是指非眾數(shù)值的次數(shù)之和在總次數(shù)中所占比重，其公式為：主要用于衡量一組數(shù)據(jù)以眾數(shù)為分布中心的集中程度，即衡量眾數(shù)代表一組數(shù)據(jù)一般水平的代表性。其值越小，數(shù)據(jù)集中程度越高，眾數(shù)代表性越大。36第36頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)變量分布的偏度與峰度一矩（動差）二偏度（Skewness）

三峰度（Kurtosis）37第37頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月一、矩（動差）矩（動差）——一系列刻畫數(shù)據(jù)分布特征的指標(biāo)的統(tǒng)稱。變量值與數(shù)值a

之離差的K

次方的平均數(shù)稱為變量x

關(guān)于a

的K

階矩，即：38第38頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月K階原點(diǎn)矩（當(dāng)a=0時(shí)）是數(shù)據(jù)的K次方的平均數(shù)一階原點(diǎn)矩即算術(shù)平均數(shù)；二階原點(diǎn)矩即平方平均數(shù)。K階中心矩矩（當(dāng)a=均值時(shí)）是以均值為中心計(jì)算的離差K次方的平均數(shù)k=1時(shí)，稱為一階中心矩，它恒等于0，即

m1=0；k=2時(shí)，稱為二階中心矩，也就是方差，即m2=

2。39第39頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月二、偏度（Skewness）偏度——指數(shù)據(jù)分布的不對稱程度或偏斜程度。以對稱分布為標(biāo)準(zhǔn)來區(qū)分偏態(tài)分布又分左偏（負(fù)偏）和右偏（正偏）.左偏分布（負(fù)偏）右偏分布（正偏）40第40頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月偏態(tài)的測度方法（一）由均值與眾數(shù)（中位數(shù)）之間的關(guān)系求偏態(tài)系數(shù) 一般有：-3