統(tǒng)計學分布及假設(shè)檢驗

統(tǒng)計學分布及假設(shè)檢驗第1頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月正態(tài)分布第2頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月

正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如測量誤差;人的生理特征尺寸如身高、體重等;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應(yīng)用與背景

第3頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月

記為分布定義:設(shè)

相互獨立,都服從正態(tài)分布N(0,1),則稱隨機變量：

所服從的分布為自由度為

n

的分布.第4頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月一般其中，在x>0時收斂，稱為函數(shù)的密度函數(shù)為自由度為

n的n=2n=3n=5n=10n=15第5頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月t

分布(Student分布)定義則稱T服從自由度為n

的t分布.記為其密度函數(shù)為X,Y相互獨立,設(shè)t

分布第6頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月t分布的性質(zhì)1°fn(t)是偶函數(shù),性質(zhì)n=1n=20t分布的圖形(紅色的是標準正態(tài)分布)第7頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月F分布

定義若X~2(n1)，Y~2(n2)，X,Y相互獨立，則稱隨機變量為第一自由度為n1，第二自由度為n2的F分布（或自由度為），其概率密度為第8頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月第1章假設(shè)檢驗§1.1假設(shè)檢驗的基本問題§1.2一個正態(tài)總體參數(shù)的檢驗第9頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月學習目標了解假設(shè)檢驗的基本思想掌握假設(shè)檢驗的步驟對實際問題作假設(shè)檢驗第10頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)樣本的信息檢驗關(guān)于總體的某個命題是否正確.有參數(shù)假設(shè)檢驗和非參數(shù)假設(shè)檢驗這類問題稱作假設(shè)檢驗問題.基本概念§1.1

假設(shè)檢驗的基本問題第11頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月假設(shè)檢驗的步驟提出假設(shè)確定適當?shù)臋z驗統(tǒng)計量規(guī)定顯著性水平計算檢驗統(tǒng)計量的值作出統(tǒng)計決策第12頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月提出原假設(shè)和備擇假設(shè)什么是原假設(shè)？(nullhypothesis)待檢驗的假設(shè)，又稱“0假設(shè)”研究者想收集證據(jù)予以反對的假設(shè)3. 表示為H0H0：

某一數(shù)值指定為=號，即或例如,H0：

3190（克）為什么叫0假設(shè)?第13頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月什么是備擇假設(shè)？(alternativehypothesis)與原假設(shè)對立的假設(shè)，也稱“研究假設(shè)”研究者想收集證據(jù)予以支持的假設(shè)總是有不等號:

,

或表示為H1H1：

<某一數(shù)值，或某一數(shù)值例如,H1：

<3910(克)，或3910(克)提出原假設(shè)和備擇假設(shè)第14頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月什么是檢驗統(tǒng)計量？1. 用于假設(shè)檢驗決策的統(tǒng)計量2. 選擇統(tǒng)計量的方法與參數(shù)估計相同，需考慮是大樣本還是小樣本總體方差已知還是未知檢驗統(tǒng)計量的基本形式為確定適當?shù)臋z驗統(tǒng)計量第15頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月規(guī)定顯著性水平

(significantlevel)什么顯著性水平？1. 是一個概率值2. 原假設(shè)為真時，拒絕原假設(shè)的概率被稱為抽樣分布的拒絕域3. 表示為(alpha)常用的值有0.01,0.05,0.104. 由研究者事先確定第16頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月作出統(tǒng)計決策計算檢驗的統(tǒng)計量根據(jù)給定的顯著性水平，查表得出相應(yīng)的臨界值z或z/2，t或t/2將檢驗統(tǒng)計量的值與水平的臨界值進行比較得出拒絕或不拒絕原假設(shè)的結(jié)論第17頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月雙側(cè)檢驗與單側(cè)檢驗

(假設(shè)的形式)假設(shè)研究的問題雙側(cè)檢驗左側(cè)檢驗右側(cè)檢驗H0m=m0m

m0m

m0H1m≠m0m<m0m>m0第18頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月單側(cè)檢驗

(原假設(shè)與備擇假設(shè)的確定)將研究者想收集證據(jù)予以支持的假設(shè)作為備擇假設(shè)H1例如,一個研究者總是想證明自己的研究結(jié)論是正確的一個銷售商總是想證明供貨商的說法是不正確的備擇假設(shè)的方向與想要證明其正確性的方向一致將研究者想收集證據(jù)證明其不正確的假設(shè)作為原假設(shè)H0先確立備擇假設(shè)H1第19頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月單側(cè)檢驗

(原假設(shè)與備擇假設(shè)的確定)一項研究表明，采用新技術(shù)生產(chǎn)后，將會使產(chǎn)品的使用壽命明顯延長到1500小時以上。檢驗這一結(jié)論是否成立研究者總是想證明自己的研究結(jié)論(壽命延長)是正確的備擇假設(shè)的方向為“>”(壽命延長)建立的原假設(shè)與備擇假設(shè)應(yīng)為

H0:

1500H1:

1500第20頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月雙側(cè)檢驗

(顯著性水平與拒絕域)H0值臨界值臨界值a/2a/2

樣本統(tǒng)計量拒絕域拒絕域抽樣分布1-置信水平第21頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月左側(cè)檢驗

(顯著性水平與拒絕域)H0值臨界值a樣本統(tǒng)計量拒絕域抽樣分布1-置信水平觀察到的樣本統(tǒng)計量第22頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月右側(cè)檢驗

(顯著性水平與拒絕域)H0值臨界值a樣本統(tǒng)計量拒絕域抽樣分布1-置信水平觀察到的樣本統(tǒng)計量第23頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.2一個正態(tài)總體參數(shù)的檢驗1.總體均值的檢驗2.總體比例的檢驗3.總體方差的檢驗第24頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月一個總體參數(shù)的檢驗Z檢驗（單尾和雙尾）

t檢驗（單尾和雙尾）Z檢驗（單尾和雙尾）

2檢驗（單尾和雙尾）均值一個總體比例方差第25頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月總體均值的檢驗

(檢驗統(tǒng)計量)總體是否已知？用樣本標準差S代替

t檢驗小樣本容量n否是z檢驗

z檢驗大第26頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月總體均值的檢驗

(2

已知或2未知大樣本)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布若不服從正態(tài)分布,可用正態(tài)分布來近似(n30)使用Z-統(tǒng)計量2

已知：2

未知：第27頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月2

已知均值的檢驗

(例題分析)【例】已知某種玉米平均穗重u0=300g,標準差=9.5g。噴施某種植物生長調(diào)節(jié)劑后，隨機抽取9個果穗，重量分別308,305,311,298,315,300,321,294,320(g)。問這種調(diào)節(jié)劑對果穗重量是否有影響？（＝0.05）第28頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月2

已知均值的檢驗

(例題分析)H0:=300gH1:

300g

=0.05n=9臨界值(s):檢驗統(tǒng)計量:Z01.96-1.96.025拒絕H0拒絕H0.025決策:結(jié)論:

在

=0.05的水平上拒絕H0認為噴施調(diào)節(jié)劑能夠顯著增加玉米果穗的重量第29頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月2

未知大樣本均值的檢驗

(例題分析)【例】某電子元件批量生產(chǎn)的質(zhì)量標準為平均使用壽命1200小時。某廠宣稱他們采用一種新工藝生產(chǎn)的元件質(zhì)量大大超過規(guī)定標準。為了進行驗證，隨機抽取了100件作為樣本，測得平均使用壽命1245小時，標準差300小時。能否說該廠生產(chǎn)的電子元件質(zhì)量顯著地高于規(guī)定標準？(＝0.05)單側(cè)檢驗第30頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月2

未知大樣本均值的檢驗

(例題分析)H0:

1200H1:

>1200=0.05n=100臨界值(s):檢驗統(tǒng)計量:在

=0.05的水平上不拒絕H0不能認為該廠生產(chǎn)的元件壽命顯著地高于1200小時決策:結(jié)論:Z0拒絕域0.051.645第31頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月總體均值的檢驗

(2未知小樣本)1. 假定條件總體為正態(tài)分布2未知，且小樣本2. 使用t

統(tǒng)計量第32頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月2

未知小樣本均值的檢驗

(例題分析)【例】某魚塘水中的含氧量多年平均為4.5mg/L?，F(xiàn)在該魚塘設(shè)10個點采集水樣，測定水中含氧量分別為：4.33,4.62,3.89,4.14,4.78,4.64,4.52,4.55,4.48,4.26(mg/L)。試檢驗該次抽樣測定的水中含氧量與多年平均值有無顯著差別？

雙側(cè)檢驗第33頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月2

未知小樣本均值的檢驗

(例題分析)H0:=4.5H1:

4.5=0.05df=10-1=9臨界值(s):檢驗統(tǒng)計量:在=0.05的水平上接受H0認為該次抽樣測定的含氧量與多年平均含氧量沒有顯著差別。決策：結(jié)論：t02.262-2.262.025拒絕H0拒絕H0.025第34頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月在R軟件中，函數(shù)t.test()提供了t檢驗的功能，使用格式如下：t.test(x,y=NULL,alternative=c("two.sided","less","greater"),mu=0,paired=FALSE,var.equal=FALSE,conf.level=1-α)其中x,y是由數(shù)據(jù)構(gòu)成的向量(如果只提供x,則作單個正態(tài)總體的均值檢驗，否則作兩個總體的均值檢驗)；alternative表示備擇假設(shè)，less表示單邊檢驗(H1:u<u0);mu表示原假設(shè)u0；var.equal=FALSE表示認為兩總體方差不同,conf.level是置信水平，通常是0.95，即α=0.05第35頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月總體比例的檢驗

(Z

檢驗)第36頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月一個總體比例檢驗假定條件有兩類結(jié)果總體服從二項分布可用正態(tài)分布來近似比例檢驗的Z統(tǒng)計量p0為假設(shè)的總體比例第37頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月一個總體比例的檢驗

(例題分析)【例】有一批蔬菜種子的平均發(fā)芽率p0=0.85。現(xiàn)隨機抽取500粒種子，用種衣劑進行浸種處理，結(jié)果445粒發(fā)芽。試檢驗種衣劑對種子發(fā)芽有無效果？雙側(cè)檢驗第38頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月一個總體比例的檢驗

(例題分析)H0:p=0.85H1:

p

0.85=0.05n=

500臨界值(s):檢驗統(tǒng)計量:在

=0.05的水平上拒絕H0種衣劑對種子發(fā)芽率有顯著提高的效果(0.89>0.85)決策:結(jié)論:Z01.96-1.96.025拒絕H0拒絕H0.025第39頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月方差的卡方(2)檢驗檢驗一個總體的方差或標準差假設(shè)總體近似服從正態(tài)分布檢驗統(tǒng)計量樣本方差假設(shè)的總體方差第40頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月方差的卡方(2)檢驗

(例題分析)【例】某廠商生產(chǎn)出一種新型的飲料裝瓶機器，按設(shè)計要求，該機器裝一瓶一升(1000cm3)的飲料誤差上下不超過1cm3。如果達到設(shè)計要求，表明機器的穩(wěn)定性非常好。現(xiàn)從該機器裝完的產(chǎn)品中隨機抽取25瓶，分別進行測定(用樣本減1000cm3)，得到如下結(jié)果。檢驗該機器的性能是否達到設(shè)計要求(=0.05)0.3-0.4-0.71.4-0.6-0.3-1.50.6-0.91.3-1.30.71-0.50-0.60.7-1.5-0.2-1.9-0.51-0.2-0.61.1雙側(cè)檢驗第41頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月方差的卡方(2)檢驗

(例題分析)H0:2=1H1:2

1=0.05df=25-1=24臨界值(s):統(tǒng)計量:

在

=0.05的水平上不拒絕H0不能認為該機器的性能未達到設(shè)計要求

2039.3612.40

/2=.05決策:結(jié)論:第42頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.3兩個正態(tài)總體參數(shù)的檢驗檢驗統(tǒng)計量的確定兩個總體均值之差的檢驗兩個總體比例之差的檢驗兩個總體方差比的檢驗檢驗中的匹配樣本第43頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個正態(tài)總體參數(shù)的檢驗兩個總體的檢驗Z

檢驗(大樣本)t

檢驗(小樣本)t

檢驗(小樣本)Z檢驗F

檢驗獨立樣本配對樣本均值比例方差第44頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月獨立樣本總體均值之差的檢驗第45頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個獨立樣本之差的抽樣分布

m1s1總體1s2

m2總體2抽取簡單隨機樣樣本容量n1計算X1抽取簡單隨機樣樣本容量n2計算X2計算每一對樣本的X1-X2所有可能樣本的X1-X2m1-m2抽樣分布第46頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個總體均值之差的檢驗

(12、22

已知)1. 假定條件兩個樣本是獨立的隨機樣本兩個總體都是正態(tài)分布若不是正態(tài)分布,可以用正態(tài)分布來近似(n130和n230)檢驗統(tǒng)計量為第47頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個總體均值之差的檢驗

(假設(shè)的形式)假設(shè)研究的問題沒有差異有差異均值1均值2均值1<均值2均值1均值2均值1>均值2H0

1–2=0

1–20

1–20H1

1–20

1–2<0

1–2>0第48頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個總體均值之差的檢驗

(例題分析)

【例】現(xiàn)用甲、乙兩種發(fā)酵法生產(chǎn)青霉素，其產(chǎn)品收率的方差分別為

=0.46(g/L)2,=0.37(g/L)2?，F(xiàn)甲方法測得25個數(shù)據(jù)，=3.71g/L;乙方法測得30個數(shù)據(jù)，=3.46g/L。問甲、乙兩種方法的收率是否相同？(=0.05)第49頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個總體均值之差的檢驗

(例題分析)H0:1-2=0H1:1-2

0=0.05n1=25，n2

=

30臨界值(s):檢驗統(tǒng)計量:決策:結(jié)論:

在=0.05的水平上接受H0甲、乙兩種方法的收率相同，沒有顯著差異Z01.96-1.96.025拒絕H0拒絕H0.025第50頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個總體均值之差的檢驗

(12、22

未知且相等,小樣本)檢驗具有不等方差的兩個總體的均值假定條件兩個樣本是獨立的隨機樣本兩個總體都是正態(tài)分布兩個總體方差未知且相等12=22檢驗統(tǒng)計量其中：第51頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個總體均值之差的檢驗

(12、22未知但不相等,小樣本)檢驗具有等方差的兩個總體的均值假定條件兩個樣本是獨立的隨機樣本兩個總體都是正態(tài)分布兩個總體方差未知但不相等12=22檢驗統(tǒng)計量(n1≠n2,用近似的t檢驗)第52頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月當n1=n2=n時，仍可用t檢驗法，其計算也與兩個總體方差相等的情況一樣，只是自由度df=n-1當n1≠n2時，其自由度df計算方式如下：第53頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個總體均值之差的檢驗

(例題分析)【例】用高蛋白和低蛋白兩種飼料飼料1月齡大白鼠,在3個月時,測定兩組大白鼠的增重量(g),

兩組數(shù)據(jù)如下：高蛋白組：134,146,106,119,124,161,107,83,113,129,97,123低蛋白組：70,118,101,85,107,132,94試問兩種飼料飼養(yǎng)的大白鼠增重量是否有差別？第54頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個總體均值之差的檢驗

(該題由后面的F檢驗可以得出兩總體方差相等)H0:

1-2

=

0H1:1-2

≠0=

0.05n1=12，n2

=

7臨界值(s):檢驗統(tǒng)計量：決策:結(jié)論:

在=0.05的水平上接受H0認為兩種飼料飼養(yǎng)的大白鼠增重量沒有顯著差別Z01.96-1.96.025拒絕H0拒絕H0.025第55頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個總體均值之差的檢驗

(匹配樣本的t

檢驗)1. 檢驗兩個總體的均值配對或匹配重復測量(前/后)2. 假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布如果不服從正態(tài)分布，可用正態(tài)分布來近似(n1

30,n230)第56頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月匹配樣本的t

檢驗

(假設(shè)的形式)假設(shè)研究的問題沒有差異有差異總體1總體2總體1<總體2總體1總體2總體1>總體2H0mD=0mD0mD0H1mD0mD<0mD>0注：Di=X1i-X2i

，對第i對觀察值第57頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月匹配樣本的t

檢驗

(數(shù)據(jù)形式)

觀察序號樣本1樣本2差值1x11x21D1=x11-x212x12x22D1=x12-x22MMMMix1ix2iD1=x1i-x2iMMMMnx1nx2nD1=x1n-x2n第58頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月匹配樣本的t

檢驗

(檢驗統(tǒng)計量)樣本差值均值樣本差值標準差自由度df＝nD-1統(tǒng)計量D0：假設(shè)的差值第59頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月【例】一個以減肥為主要目標的健美俱樂部聲稱，參加其訓練班至少可以使減肥者平均體重減重8.5kg以上。為了驗證該宣稱是否可信，調(diào)查人員隨機抽取了10名參加者，得到他們的體重記錄如下表：匹配樣本的t

檢驗

(例題分析)在

=0.05的顯著性水平下，調(diào)查結(jié)果是否支持該俱樂部的聲稱？訓練前94.5101110103.59788.596.5101104116.5訓練后8589.5101.5968680.58793.593102單側(cè)檢驗第60頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月樣本差值計算表訓練前訓練后差值Di94.5101110103.59788.596.5101104116.58589.5101.5968680.58793.5931029.511.58.57.51189.57.51114.5合計—98.5配對樣本的t

檢驗

(例題分析)第61頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月配對樣本的t

檢驗

(例題分析)差值均值差值標準差第62頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月H0:

m1–m2

8.5H1:

m1–m2

<8.5a=0.05df=

10-1=9臨界值(s):檢驗統(tǒng)計量:決策:結(jié)論:

在

=0.05的水平上不拒絕H0不能認為該俱樂部的宣稱不可信配對樣本的t

檢驗

(例題分析)-1.833t0拒絕域.05第63頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個總體比例之差的檢驗第64頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月1. 假定條件兩個總體是獨立的兩個總體都服從二項分布可以用正態(tài)分布來近似檢驗統(tǒng)計量兩個總體比例之差的Z檢驗第65頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個總體比例之差的檢驗

(假設(shè)的形式)假設(shè)研究的問題沒有差異有差異比例1≥比例2比例1<比例2總體1≤比例2總體1>比例2H0P1–P2=0P1–P20P1–P20H1P1–P20P1–P2<0P1–P2>0第66頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個總體比例之差的Z檢驗

(例題分析)

【例】現(xiàn)研究地勢對小麥銹病發(fā)病率的影響。調(diào)查低洼地麥田378株，其中銹病株342株；調(diào)查高坡地麥田396株，其中銹病株313株。比較兩塊地麥田銹病發(fā)病率是否有顯著性差異？第67頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個總體比例之差的Z檢驗

(例題分析)H0:P1-P2

=0H1:P1-P2

≠0=0.05n1=378，n2

=

396臨界值(s):檢驗統(tǒng)計量:決策:結(jié)論:

在

=0.05的水平上拒絕H0低洼地麥田銹病發(fā)病率顯著高于高坡地麥田Z01.96-1.96.025拒絕H0拒絕H0.025第68頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個總體方差比的檢驗

(F

檢驗)假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布兩個獨立的隨機樣本假定形式H0：s12=s22

或H0：s12

s22

(或

)H1：s12

s22H1：s12

<s22

(或>)檢驗統(tǒng)計量F=S12/S22～F(n1–1,n2–1)第69頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個總體均值之差的檢驗

(例題分析)【例】用高蛋白和低蛋白兩種飼料飼料1月齡大白鼠,在3個月時,測定兩組大白鼠的增重量(g),

兩組數(shù)據(jù)如下：高蛋白組：134,146,106,119,124,161,107,83,113,129,97,123低蛋白組：70,118,101,85,107,132,94試問這兩個總體的方差是否有顯著差異？第70頁，課件共77頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個總體方差的F

檢驗

(