廣西壯族自治區(qū)南寧市富庶中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

廣西壯族自治區(qū)南寧市富庶中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的值為(

)A. B.

C.

D.參考答案：B略2.如圖，某幾何體的三視圖中，正視圖和側(cè)視圖都是半徑為的半圓和相同的正三角形，其中三角形的上頂點(diǎn)是半圓的中點(diǎn)，底邊在直徑上，則它的表面積是（）A．6π B．8π C．10π D．11π參考答案：C【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；由三視圖求面積、體積．【分析】由已知中的三視圖，可得該幾何體是一個(gè)半球挖去一個(gè)圓錐所得的組合體，進(jìn)而可得幾何體的表面積．【解答】解：由已知中的三視圖，可得該幾何體是一個(gè)半球挖去一個(gè)圓錐所得的組合體，由正視圖和側(cè)視圖都是半徑為的半圓和相同的正三角形，故半球的半徑為，圓錐的底面半徑為1，母線長為2，故組合體的表面積S=+（﹣π?12）+π?1?2=10π，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓錐的體積和表面積，球的體積和表面積，難度中檔．3.函數(shù)的圖像向右平移()個(gè)單位后，與函數(shù)的圖像重合．

則(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：C,所以,選C.4.若的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是65，則a的值為

（

）

A．—2

B．—1

C．1

D．2參考答案：A略5.加強(qiáng)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分．某學(xué)生做引體向上運(yùn)動(dòng)，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時(shí)，若兩只胳膊的夾角為60°，每只胳膊的拉力大小均為400N，則該學(xué)生的體重（單位：kg）約為（

）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為）A.63 B.69 C.75 D.81參考答案：B【分析】根據(jù)平行四邊形法則得到該學(xué)生的體重,利用余弦定理即可求出得解.【詳解】如圖，設(shè)該學(xué)生的體重為,則.由余弦定理得.所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的平行四邊形法則和余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.6.“”是“”的（

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：B因?yàn)椤啊笔恰啊钡哪娣衩}是“”是“”的必要不充分條件，選B7.教育部選派3名中文教師到外國任教中文，有4個(gè)國家可供選擇，每名教師隨機(jī)選擇一個(gè)國家，則恰有2名教師選擇同一個(gè)國家的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C8.同時(shí)具有性質(zhì)：“①最小正周期是；②圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③在上是增函數(shù)”的一個(gè)函數(shù)是（

）A．

B．C．

D．參考答案：C略9.已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝,則集合CuA等于(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C10.已知等差數(shù)列中，，記，S13=(

)A．78

B．68

C．56 D．52

參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在2013年3月15日那天，長沙縣物價(jià)部門對(duì)星沙的5家商場的某商品的一天銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，5家商場的售價(jià)x元和銷售量y件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：價(jià)格x99.51010.511銷量y1110865根據(jù)上表可得回歸直線方程是：則__________.參考答案：40略12.如圖在三角形ABC中，E為斜邊AB的中點(diǎn)，CD⊥AB，AB＝1,則的最大值是

.參考答案：.略13.在三棱錐P－ABC中，任取兩條棱，則這兩條棱異面的概率是＿＿＿＿參考答案：三棱錐中兩條相對(duì)的棱所在是直線是異面直線，共有3對(duì)，從6條棱中任取兩條，利用列舉法可知有15種取法，∴取到兩條棱異面的概率是．14.已知直線l：y=x﹣1與曲線相切于點(diǎn)A，則A點(diǎn)坐標(biāo)為．參考答案：（1，0）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】設(shè)切點(diǎn)A（m，n），代入切線的方程和曲線方程，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，化為lnm+m2=1，由f（m）=lnm+m2的導(dǎo)數(shù)大于0，且f（1）=0，解方程可得m=1，n=0，進(jìn)而得到切點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：設(shè)切點(diǎn)A（m，n），可得m﹣1=n，=n，y=的導(dǎo)數(shù)為y′=，可得=1，即為lnm+m2=1，由f（m）=lnm+m2的導(dǎo)數(shù)為+2m＞0，則f（m）遞增，且f（1）=1，即有方程lnm+m2=1的解為m=1．可得n=0．即為A（1，0）．故答案為：（1，0）．15.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2,1)，若點(diǎn)B(x,y)滿足，則的最大值是

．參考答案：16.已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）在區(qū)間上有零點(diǎn)，則ab的最大值是．參考答案：【考點(diǎn)】3W：二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】對(duì)判別式△和在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行討論得出ab的最值．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）在區(qū)間上有零點(diǎn)，∴△=a2﹣4b≥0，（1）若△=0，即b=時(shí)，f（x）的零點(diǎn)為x=﹣，∴0≤﹣≤1，即﹣2≤a≤0，∴ab=，∴當(dāng)a=0時(shí)，ab取得最大值0；（2）若△＞0，即b＜，①若函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)，則f（0）?f（1）≤0，∴b（1+a+b）≤0，即b+b2+ab≤0，∴ab≤﹣b2﹣b=﹣（b+）2+，∴ab的最大值是；②若函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，∴，即顯然ab≤0，綜上，ab的最大值為．17.點(diǎn)集的圖形是一條封閉的折線，這條封閉折線所圍成的區(qū)域的面積

是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某理科考生參加自主招生面試，從7道題中（4道理科題3道文科題）不放回地依次任取3道作答．（1）求該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率；（2）規(guī)定理科考生需作答兩道理科題和一道文科題，該考生答對(duì)理科題的概率均為，答對(duì)文科題的概率均為，若每題答對(duì)得10分，否則得零分．現(xiàn)該生已抽到三道題（兩理一文），求其所得總分X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；條件概率與獨(dú)立事件．【分析】（1）利用條件概率公式，即可求該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率；（2）確定X的可能取值，利用概率公式即可得到總分X的分布列，代入期望公式即可．【解答】解：（1）記“該考生在第一次抽到理科題”為事件A，“該考生第二次和第三次均抽到文科題”為事件B，則P（A）=，P（AB）=．…∴該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率為P（B|A）=．…（2）X的可能取值為：0，10，20，30，則P（X=0）==，P（X=10）=+=，P（X=20）==，P（X=30）=1﹣﹣﹣=．…∴X的分布列為X0102030p…∴X的數(shù)學(xué)期望為EX=0×+10×+20×+30×=．…19.（本小題滿分12分）某班主任對(duì)全班50名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量多少的調(diào)查，喜歡玩電腦游戲的同學(xué)認(rèn)為作業(yè)多的有18人，認(rèn)為作業(yè)不多的有9人，不喜歡玩電腦游戲的同學(xué)認(rèn)為作業(yè)多的有8人，認(rèn)為作業(yè)不多的有15人，則認(rèn)為喜歡玩電腦游戲與認(rèn)為作業(yè)量的多少有關(guān)系的把握大約是多少？參考答案：解：

認(rèn)為作業(yè)多認(rèn)為作業(yè)不多總數(shù)喜歡玩電腦游戲18927不喜歡玩電腦游戲81523總數(shù)262450K2=，

P（K2>5.024）=0.025,有97.5%的把握認(rèn)為喜歡玩電腦游戲與認(rèn)為作業(yè)多有關(guān)系。略20.已知函數(shù)f(x)=xlnx－ax2，g(x)=f′(x)，（1）若，試判斷函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)不單調(diào)且在(2,+∞)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。參考答案：（解法1）

。。。。。。。。。。。。。1分

正0負(fù)增極大值減

。。。。。。。。。。。。3分由表可知，在處取得最大值，最大值為，因?yàn)?，所?/p>

。。。。。。。。。。。。5分因?yàn)間(x)圖像是先增后減，函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為零個(gè)或者一個(gè)，當(dāng)時(shí)g(x)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)g(x)無零點(diǎn)。

。。。。。。。。。。。。6分（解法2）,

。。。。。。。。。。。1分得即，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于兩函數(shù)與圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

。。。。。。。。。。。。。2分設(shè)兩者相切時(shí)切點(diǎn)為，則由且得。。。4分

由圖可知：

當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖像有1個(gè)交點(diǎn)，有1個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，兩函數(shù)圖像無交點(diǎn)，無零點(diǎn)；

。。。6分（解法3）,

。。。。。。。。1分得即，所以，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于兩函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

。。。。。。。。2分因?yàn)?，所以，時(shí)，有極大值，

。。。。。。。。4分如圖所示由圖可知時(shí)，兩函數(shù)圖像無交點(diǎn)，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖像有一個(gè)交點(diǎn)，有一個(gè)零點(diǎn)；

。。。。。。。。。。6分（2）（解法1）由（1）知，時(shí)，無零點(diǎn)或一個(gè)零點(diǎn)，，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)時(shí)，

………8分在上單調(diào)遞減時(shí)，，即恒成立，亦等價(jià)于時(shí)，，

…………

………9分，①當(dāng)時(shí)，，遞增，不合題意；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，遞減，時(shí)，由得，解得，所以

③當(dāng)時(shí)，，時(shí)正0負(fù)增極大值減

由表可知時(shí)，取最大值，最大值為，不合題意

…………

………11分綜上可得

…………

………

12分（解法2）由（1）知，時(shí)，無零點(diǎn)或一個(gè)零點(diǎn)，，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)時(shí)，

…………

………8分在上單調(diào)遞減時(shí)，，即恒成立由得，令，則恒成立，

………

9分因?yàn)椋詴r(shí)，單調(diào)遞減，，

由恒成立得，解得，

………

11分綜上可得

…………

………12分21.已知函數(shù)．

(1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(2）當(dāng)時(shí)，用定義證明函數(shù)在上是增函數(shù)；(3）求函數(shù)在上的最值．參考答案：（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意都有故f（x）在R上為奇函數(shù)；

(2）任取則故f（x