數(shù)學(xué)建模-概率模型課件

數(shù)學(xué)建模---概率模型決策樹航空公司的預(yù)訂票策略學(xué)生作弊現(xiàn)象的調(diào)查與估計(jì)決策樹全概率公式和貝葉斯公式數(shù)學(xué)期望的使用例1

S1S20.40.6A1100-20

A27510A35030電視機(jī)廠試生產(chǎn)三種電視機(jī)Ai(i=1,2,3)。市場(chǎng)大、小Sj

(j=1,2)。生產(chǎn)哪種？解：100-207510503012340.60.40.60.40.6A1A2A3P(S1)=0.4解：100-20751050303812823633840.60.40.60.40.6A1A2A3P(S1)=0.4多級(jí)決策問題例2、化工原料廠，由于某項(xiàng)工藝不好，影響效益，現(xiàn)廠方欲改革工藝，可自行研究(成功可能為0.6)，買專利(成功可能為0.8)。若成功，則有2種生產(chǎn)方案可選，1是產(chǎn)量不變，2是增產(chǎn)；若失敗，則按原方案生產(chǎn)，有關(guān)數(shù)據(jù)如下。試求最優(yōu)方案。按原工藝方案生產(chǎn)價(jià)低0.1-100-200-300-200-300

中0.5050500-250價(jià)高0.4100150250200600買專利(0.8)自研(0.6)產(chǎn)量不變?cè)霎a(chǎn)產(chǎn)量不變?cè)霎a(chǎn)(萬元)解：0.1解：0.1最優(yōu)決策

買入專利，成功則增產(chǎn)，失敗則保持原產(chǎn)量。例3某公司有資金500萬元，如用于某項(xiàng)開發(fā)事業(yè)，估計(jì)成功率為96%，一年可獲利潤(rùn)12％；若失敗則喪失全部資金；若把資金全存在銀行，可獲得年利率6%，為輔助決策可求助于咨詢公司，費(fèi)用為5萬元，根據(jù)咨詢過去公司類似200例咨詢工作，有下表：實(shí)施結(jié)果投資投資合計(jì)咨詢意見成功失敗可以投資1542156次不宜投資38644次合計(jì)1928200次試用決策樹方法分析該公司是否應(yīng)該咨詢？資金該如何使用？T1：咨詢公司意見：可以投資T2：咨詢公司意見：不宜投資E1：投資成功E2：投資失敗

156P(T1)=×100%=0.78200

44P(T2)=×100%=0.22200P(E1)=0.96P(E2)=0.04

154P(E1/

T1)==0.987156

2P(E2/

T1)==0.013156

38P(E1/

T2)==0.86544

6P(E2/

T2)==0.13544P(T1)P(T2)42.72投資投資存銀行存銀行47.72答：求助于咨詢公司如果投資公司給出可以投資意見則投資如果投資公司給出不宜投資意見則存入銀行練習(xí)：為生產(chǎn)某種新型的港口裝罐機(jī)械，提出了兩個(gè)建廠方案：一是投資300萬元建大廠；二是投資160萬元建小廠，均考慮10年經(jīng)營(yíng)期。據(jù)預(yù)測(cè)，在這10年經(jīng)營(yíng)期內(nèi)，前3年該產(chǎn)品銷路好的概率為0.7；而若前3年銷路好，則后7年銷路好的概率為0.9；若前3年銷路差，則后7年的銷路肯定差。另外，估計(jì)每年兩個(gè)建廠方案的益損值如表7-14所示，要求用決策樹法確定采用哪種建廠方案？?jī)蓚€(gè)建廠方案益損表表7-14解:(1)畫決策樹如圖7-3所示圖

兩個(gè)建廠方案決策圖銷路差0.3銷路好(2)計(jì)算各方案節(jié)點(diǎn)的期望益損值節(jié)點(diǎn)④：[0.9×100+0.1×(-20)]×7=616(萬元)節(jié)點(diǎn)⑤：[1.0×(-20)]×7=－140(萬元)節(jié)點(diǎn)⑥：(0.9×40+0.1×10)×7=259(萬元)節(jié)點(diǎn)⑦：(1.0×10)×7=70(萬元)節(jié)點(diǎn)②：[0.7×100×3+0.3×(-20)×3]+[0.7×616+0.3×(-140)]－300=281(萬元)節(jié)點(diǎn)③：（0.7×40×3+0.3×10×3）+（0.7×259+0.3×70）－160=135(萬元)（3）比較、剪枝、決策比較節(jié)點(diǎn)②和節(jié)點(diǎn)③的期望收益值，節(jié)點(diǎn)②的期望收益值大，故：最優(yōu)方案為建大廠。將節(jié)點(diǎn)①上方標(biāo)上期望收益值281(萬元)，并剪去小廠方案枝。后續(xù)：現(xiàn)假定兩個(gè)方案中，除了建大廠的方案以外，另一個(gè)方案是：先投資160萬元建小廠，若產(chǎn)品銷路好，則3年后考慮是否擴(kuò)建成大廠，擴(kuò)建投資為140萬元。擴(kuò)建后經(jīng)營(yíng)期為7年，每年的收益情況與大廠相同。此時(shí)，應(yīng)選擇哪個(gè)建廠方案？解

（1）畫決策樹

第一方案與上相同，故在本題中，略去第一方案的部分節(jié)點(diǎn)和樹枝，只保留第二個(gè)節(jié)點(diǎn)及其計(jì)算結(jié)果。第二個(gè)方案的決策樹模型如圖所示。(1)決策樹模型為：圖

第二個(gè)方案的決策樹模型(2)計(jì)算各方案節(jié)點(diǎn)的期望益損值節(jié)點(diǎn)②：建大廠方案，其值與例1相同，為281萬元。節(jié)點(diǎn)⑥：[0.9×100+0.1×(-20)]×7－

140=476(萬元)節(jié)點(diǎn)⑦：（0.9×40+0.1×10）×7=259(萬元)節(jié)點(diǎn)④：決策節(jié)點(diǎn)，比較節(jié)點(diǎn)⑥和節(jié)點(diǎn)⑦的值，因?yàn)?76＞259，故選擇擴(kuò)建方案為好，剪去不擴(kuò)建方案，并且將476寫在節(jié)點(diǎn)④上方。節(jié)點(diǎn)⑤：（1.0×10）×7=70(萬元)節(jié)點(diǎn)③：（0.7×40×3

+0.3×10×3

）+（0.7×476+0.3×70）－160=287(萬元)節(jié)點(diǎn)①：決策節(jié)點(diǎn)，比較節(jié)點(diǎn)②和節(jié)點(diǎn)③的值，因?yàn)?87＞281，故剪去建大廠方案。

最優(yōu)方案為：先投資160萬元建小廠，3年后，再追加投資140萬元，擴(kuò)建成大廠，10年的總收益為287萬元。航空公司的預(yù)訂票策略1問題的提出有時(shí)在機(jī)場(chǎng)會(huì)出現(xiàn)一些乘客本已訂好了某家航空公司的某趟航班，卻被意外地告知此趟航班已滿，航空公司將為他們預(yù)定稍后的航班的情況。這不但會(huì)引起乘客的不便，還會(huì)加劇他們對(duì)航空公司的抱怨程度。在如今這個(gè)使用計(jì)算機(jī)系統(tǒng)來實(shí)行訂票的時(shí)代，是否可以通過設(shè)計(jì)某種系統(tǒng)來抑制這類事件的發(fā)生。試建立一個(gè)面對(duì)航空公司訂票決策的數(shù)學(xué)模型。2符號(hào)約定f——維持航班的總費(fèi)用（成本）n——乘坐航班的乘客數(shù)量g——每名乘客支付的運(yùn)費(fèi)（機(jī)票票價(jià)）N——航班的滿艙載客數(shù)量k——誤機(jī)的乘客數(shù)

——k人誤機(jī)的概率m——預(yù)定航班的乘客數(shù)量S——航班的收支差額b——安置一名剩余乘客的費(fèi)用p——訂票乘客登機(jī)的概率q——訂票乘客誤機(jī)的概率（1-p）j——航班賣出折價(jià)票的數(shù)量r——航班票價(jià)的折扣率3建模目標(biāo)建立一個(gè)面對(duì)航空公司訂票決策的數(shù)學(xué)模型。航空公司制定超客訂票策略，是為了從航班中獲得盡可能大的利潤(rùn)。順著這條脈絡(luò)，很自然地以求出航空公司期待從一趟預(yù)定航班中獲得的利潤(rùn)來建立模型。1）初步建模（從簡(jiǎn)單情形入手）首先，摒除對(duì)所求利潤(rùn)帶來復(fù)雜影響的參量，從利潤(rùn)最根本的角度出發(fā)建立基本模型。4建立模型

一趟航班運(yùn)行的成本基本與實(shí)際搭乘的乘客數(shù)量無關(guān)。航班的成本包括了航空公司支付的薪水、燃料費(fèi)用、機(jī)場(chǎng)承擔(dān)的起飛、降落和操作費(fèi)用，以及一些其它的費(fèi)用（比如飛機(jī)維修費(fèi)用，地面工作人員的薪金，廣告費(fèi)用）。不管航班是否滿艙，航空公司都必需給飛行員、領(lǐng)航員、工程師和艙內(nèi)全體職員支付薪金。而相對(duì)于半艙的航班，滿艙的航班所多消耗的燃料在總體的燃料負(fù)擔(dān)中僅占很小的比例。利潤(rùn)=收入—成本一趟航班運(yùn)行的成本記為如果一趟航班實(shí)際搭載了

名乘客，那么所得的余額是其中，為每名乘客支付的運(yùn)費(fèi)。當(dāng)乘客的數(shù)目增加時(shí)，利潤(rùn)也跟著增加。最大可得利潤(rùn)是其中，是航班的滿艙載客量。不同類型的乘客支付不同的運(yùn)費(fèi)，例如頭等艙、公務(wù)艙、經(jīng)濟(jì)艙都有各自的定價(jià)。為了建模方便，現(xiàn)在假設(shè)所有的乘客都支付同樣的運(yùn)費(fèi)。一趟航班的收入取決于實(shí)際的乘客人數(shù)n當(dāng)乘客所付的總運(yùn)費(fèi)恰好能維持航班的費(fèi)用時(shí)，達(dá)到一個(gè)臨界人數(shù)當(dāng)乘客人數(shù)少于它時(shí)，航班的經(jīng)營(yíng)將會(huì)造成損失。容易看出，為了獲得盡可能大的利潤(rùn)，航空公司應(yīng)當(dāng)讓每一趟航班達(dá)到滿艙。誤機(jī)者會(huì)影響滿艙。分析初步模型模型每趟航班能否達(dá)到滿艙？因此，需要在基本模型上加進(jìn)反映“乘客誤機(jī)”這一條件的參量，并考察其對(duì)所求利潤(rùn)的影響。2）擴(kuò)充模型時(shí)也不一定能保證利潤(rùn)達(dá)到最大，則訂票上限便不應(yīng)局限于N值。假設(shè)訂票的總?cè)藬?shù)是，有可能超出航空公司可能從航班中得到的利潤(rùn)為當(dāng)考慮到發(fā)生乘客誤機(jī)的情況，使得即使訂票數(shù)為當(dāng)有個(gè)人誤機(jī)時(shí)，乘客沒有搭乘航班屬于偶然事件，要反映這一事件，必須加進(jìn)乘客搭乘航班的概率這一參量。設(shè)有個(gè)人誤機(jī)的概率是則所得利潤(rùn)的表達(dá)方式只能是利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望值，用表示，有設(shè)有如果，則第一項(xiàng)和不存在，僅由第二項(xiàng)和表出，并且求和下限由0代替。由于對(duì)航班需求的不同，顯然訂票的乘客數(shù)有可能小于航班載客量，航空公司并不需要考慮超額訂票的問題。根據(jù)求解的問題，需要假設(shè)各種情況，不論航空公司決定的最大訂票數(shù)為多少，在一些時(shí)間的熱門航線中它都是有可能會(huì)達(dá)到的。為研究對(duì)的影響，將上式改寫為根據(jù)的定義，，因此，有而在和都為正數(shù)的條件下，有。則唯一能達(dá)到預(yù)期利潤(rùn)最大值的方法是降低所有的，使之趨近于0。當(dāng)訂票數(shù)量充分的大于時(shí)，可以達(dá)到所要結(jié)果。因?yàn)椋?dāng)訂票的乘客數(shù)目增加時(shí)，任意大的誤機(jī)人數(shù)出現(xiàn)的概率便隨之降低。因此，第二個(gè)模型通過預(yù)測(cè)已訂票乘客的真正登機(jī)數(shù)目表明，可以令訂票數(shù)充分地大于航班客載量來使預(yù)期的利潤(rùn)趨近于理論上的最大值，即航班滿艙時(shí)的可獲得的利潤(rùn)。在這個(gè)模型中對(duì)訂票的超額數(shù)量并沒有任何限制，它甚至可能是航班載客量的好幾倍。但是，一旦實(shí)行了超額訂票策略之后，除了對(duì)航班的利潤(rùn)帶來保障外，也會(huì)帶一些負(fù)面的影響。即到達(dá)機(jī)場(chǎng)要求登機(jī)的乘客數(shù)m-k,可能要比航班的載客量大得多。對(duì)被擠兌的乘客數(shù)為單從表面上來看，顯然航空公司最后得到的利潤(rùn)需要扣除這一部分費(fèi)用，并且這筆費(fèi)用是隨著m的變化而變化。因此，需要在模型里加進(jìn)代表“被擠兌的乘客所支出的費(fèi)用”這一參量，并考察其對(duì)所求利潤(rùn)的影響，以及它與m的相互關(guān)系。被擠兌的乘客造成航空公司兩方面的損失：滯留費(fèi)用，機(jī)票簽轉(zhuǎn)的費(fèi)用。來自乘客的抱怨，影響公司形象的潛在費(fèi)用。當(dāng)出現(xiàn)超額訂票并有超出航班載客量的乘客抵達(dá)機(jī)場(chǎng)的情況時(shí)，假設(shè)航空公司通過各種方法處理被擠兌的乘客，每一名所需要的費(fèi)用是b

建立包括處理超出乘客所需費(fèi)用在內(nèi)的，航空公司從某趟航班中期望獲得的平均利潤(rùn)的模型。設(shè)實(shí)際登機(jī)的乘客數(shù)為，則航班所得的利潤(rùn)為當(dāng)3）改進(jìn)的模型事實(shí)上，將利潤(rùn)看成一隨機(jī)變量，有個(gè)人登機(jī)所對(duì)應(yīng)的概率為，則航空公司從航班中所獲得的預(yù)期利潤(rùn)，或說平均利潤(rùn)，便是取遍所有可能的誤機(jī)人數(shù)的情況下，利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望。因此，有，且表示預(yù)計(jì)的誤機(jī)人數(shù)，我們用表示，有現(xiàn)在，已經(jīng)得到一個(gè)相對(duì)復(fù)雜的中間結(jié)果。將和從開始令代入上式中進(jìn)行檢驗(yàn)。這符合乘客誤機(jī)的概率為0，即每一名訂票的乘客都抵達(dá)了機(jī)場(chǎng)。在這種情況下，上式簡(jiǎn)化為從這個(gè)結(jié)果表明，如同預(yù)測(cè)的，如果有名乘客預(yù)定了載客量為的航班并且他們都抵達(dá)了機(jī)場(chǎng)，那么利潤(rùn)將是滿艙的收支差額減去承擔(dān)名剩余乘客的費(fèi)用。在這種情況下，最大平均利潤(rùn)在時(shí)可以達(dá)到，就如同最初的基本模型所表示的一般。相較于基本模型，此時(shí)的模型已經(jīng)考慮了“乘客誤機(jī)”與“安排被擠兌乘客”兩種情況。其中“有

名乘客誤機(jī)”這一偶然事件的概率，還可進(jìn)一步分解以方便估計(jì)與計(jì)算。接著，便來討論關(guān)于的形式。最簡(jiǎn)單地，假設(shè)一乘客登機(jī)的概率為，而誤機(jī)的概率為。進(jìn)一步假設(shè)抵達(dá)機(jī)場(chǎng)的乘客兩兩無關(guān)，則可得到的二項(xiàng)式結(jié)構(gòu)為當(dāng)然，事實(shí)上這個(gè)誤機(jī)者兩兩無關(guān)的假設(shè)并不是完全正確的——一部分的乘客是兩人或是以小組為單位一起行動(dòng)的。現(xiàn)在，先從最簡(jiǎn)單的情況開始入手。由這個(gè)結(jié)構(gòu)可得航空公司將要嘗試的就是找出航班所得平均利潤(rùn)的最大值。上式中表達(dá)的平均利潤(rùn)依賴于和。成本，票價(jià)和費(fèi)用則在航空公司短期控制范圍之外（運(yùn)費(fèi)是由IATA決定，而不是由個(gè)別的航空公司決定），和由客觀因素約束，只有訂票數(shù)目上限是航空公司可以改變的參數(shù)。上式中的部分和結(jié)果表明，這個(gè)問題可以通過列舉細(xì)表來得到解決。但是，明顯地，最佳的訂票上限至少不低于航班的載客量。當(dāng)時(shí)，所得利潤(rùn)可化簡(jiǎn)為這是關(guān)于的增函數(shù)。我們計(jì)算得包含各種取值，每一個(gè)對(duì)應(yīng)于一個(gè)訂票上限。通過和來求得利潤(rùn)，并根據(jù)各組不同數(shù)值的來選出最佳的訂票上限。式中的和其實(shí)是一個(gè)關(guān)于的函數(shù)，在給出估算這個(gè)和，然后便會(huì)發(fā)現(xiàn)預(yù)期的利潤(rùn)是一個(gè)關(guān)于的值后，可以編寫計(jì)算程序來的函數(shù)。航空公司綜合考慮大量的因素，得出的臨界人數(shù)大約是航班載客量的60%，所以可以估計(jì)一個(gè)最佳近似值，即是。因此，可以得到用計(jì)算程序比照訂票數(shù)量來計(jì)算一架載客量為300的飛機(jī)所能得到的預(yù)期利潤(rùn)，假設(shè)和結(jié)果很明顯，依據(jù)超額訂票程度來達(dá)到最大的可能利潤(rùn)是可行的。同樣，也可以計(jì)算個(gè)或是更多乘客發(fā)生座位沖撞的概率：結(jié)果表明，當(dāng)超額訂票的乘客數(shù)分別為20和39時(shí)，可以達(dá)到最大的預(yù)期利潤(rùn)。有5名或更多乘客發(fā)生座位沖撞的概率在46%和55%之間。當(dāng)考慮到安排一名被擠兌乘客的費(fèi)用所帶來的影響時(shí)，得到的結(jié)果和從直觀上所得的結(jié)果是一致的，因?yàn)榘才攀Ｓ喑丝退栀M(fèi)用增加，為從航班中得到的最大預(yù)期利潤(rùn)所需要的超額訂票數(shù)便會(huì)減少，發(fā)生任意多名乘客座位沖撞的概率（這里以發(fā)生5名或更多的乘客座位沖撞例）也就降低了。能達(dá)到最大預(yù)期利潤(rùn)的訂票水平，將作為構(gòu)成機(jī)票價(jià)格的一部份。對(duì)300座的客機(jī)，設(shè)對(duì)于值的估計(jì)，這筆費(fèi)用大致是由實(shí)際和相對(duì)潛在的，例如公司信譽(yù)的損害與將來的潛在客源流失，兩筆花費(fèi)構(gòu)成。這個(gè)討