目的熟悉常見的兩類集合的勢掌握其基本性質(zhì)重點與教學(xué)課件

目的熟悉常見的兩類集合的勢掌握其基本性質(zhì)重點與目的熟悉常見的兩類集合的勢掌握其基本性質(zhì)重點與目的熟悉常見的兩類集合的勢掌握其基本性質(zhì)重點與目的：熟悉常見的兩類集合的勢，掌握其基本性質(zhì)。重點與難點：可數(shù)集合的性質(zhì)，連續(xù)勢的性質(zhì)。第3講勢的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢第3講勢的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢一．可數(shù)集合定義凡是與自然數(shù)對等的集稱為可數(shù)集或可列集，凡與R1對等的集稱為具有連續(xù)勢?？蓴?shù)集性質(zhì)：定理2任何無窮集都包含一個可數(shù)子集。定理3可數(shù)集合的無窮子集仍是可數(shù)的。

證明：假設(shè)是可數(shù)集，是的無窮子集，由定理2，含可數(shù)子集，于是，但，故，從而也是可數(shù)的。證畢。

第3講勢的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢

定理4設(shè)是可數(shù)集，是有限集或可數(shù)集，則可數(shù)。證明：由于有限或可數(shù)，故有限或可數(shù)，所以可以寫成，或，又因可數(shù)，從而可以寫成，將按如下方法排列：當(dāng)時，將排成第3講勢的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢

當(dāng)將排成無論哪種情形，顯然都是可數(shù)的。證畢。第3講勢的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢

定理5有限個或可數(shù)個有限集或可數(shù)集的并仍是有限集或可數(shù)集。證明：不妨假設(shè)是一列有限或可數(shù)集（有限個集合情形證明相仿）。將中元素排列成，（如果是有限集，則排列成）。于是表示中的第3講勢的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢

第個元素，記，則對任意自然數(shù)，滿足的數(shù)組必為有限個，首先按從小到大的順序進(jìn)行編號，即將編為對每個，將重新寫成

第3講勢的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢

即按第一個下標(biāo)從小到大的順序排列，應(yīng)該注意的是中可能含一些重復(fù)的元素，暫且將重復(fù)元素留著，最后將排成在上述序列中，去掉重復(fù)元素，則剩下的是有限集或可數(shù)集。證畢。第3講勢的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢

第3講勢的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢

如果說表示正整數(shù)，表示一個有限集與可數(shù)集之并的勢，表示個可數(shù)集之并的勢，表示可數(shù)個可數(shù)集之并的勢，則定理5蘊(yùn)含了下列各式：（1）（2）（3）（4）

定理6。

證明：記，顯然是可數(shù)集，故可數(shù)；同理每個也可數(shù)，從而可數(shù)，于是第3講勢的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢

是可數(shù)的，即。證畢。定理6告訴我們，盡管有理數(shù)全體在數(shù)軸上處處稠密，然而，它和自然數(shù)集卻是對等的，這與我們的直覺是多么不同！第3講勢的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢

第3講勢的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢

問題1：可數(shù)集合的性質(zhì)與有限集合的性質(zhì)有何異同？其本質(zhì)差別是什么？前面已經(jīng)看到，可數(shù)集是無窮集中勢最小者，下面的命題指出，任一無窮集并上一個可數(shù)集不影響它的勢。第3講勢的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢

命題1假設(shè)是無窮集，是可數(shù)集或有限集，則。證明：由可數(shù)或有限知也可數(shù)或有限，且，故不妨假設(shè)與不相交。由定理2知含可數(shù)子集，不妨記為，則仍可數(shù)，于是與第3講勢的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢

對等，又與自身對等，不妨設(shè)是與的1-1對應(yīng)，是到自身的恒等映射，則令

，易知是第3講勢的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢

的1-1對應(yīng)，從而。證畢。

二．無限集的特征

問題2:有限集與無限集的本質(zhì)差別是否也體現(xiàn)在一般的無限集？這種差別是否正是無限集的特征？第3講勢的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢

命題2是無窮集當(dāng)且僅當(dāng)它可以與其真子集對等。證明：先證必要性，若可數(shù)，則結(jié)論顯然，故不妨設(shè)不是可數(shù)集，由定理2，含可數(shù)子集，由于非可數(shù)，所以仍是無窮集，由命題1立知第3講勢的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢

即與其真子集對等。為證充分性，我們要證，若與其真子集對等，必是無窮集。假若不然，是有限集，不妨設(shè)為，與其真子集對等，記與對等的真子集為，是與之間的1-1對應(yīng)。則，注意第3講勢的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢

且因是一一的，故對不同的，。故是中個不同的元素，于是。然而。這說明。這個矛盾意味著必是無窮集。證畢。第3講勢的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢

在例2中，我們已經(jīng)看到與是不對等的，因此是一個不可數(shù)集合，我們也知道是最小的無窮集，所以。有一個很有意思的問題，存不存在這樣的集合，其勢位于與之間？即。Cantor首先考慮了這個問題，但他未能解決。他猜測，沒有這個中第3講勢的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢

間勢，這就是著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，嚴(yán)格說來，至今沒有人能證明是否存在這種勢，但大家普遍承認(rèn)Cantor的猜測，并將此作為集合論的一條公理。人們已經(jīng)證明，這條公理與集合論的其它公理是相互獨立的，換言之，無論是承認(rèn)還是否認(rèn)這條公理，都不會與其它公理發(fā)生沖突。

第3講勢的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢

三．具有連續(xù)勢的集合例3只要a<b則。

令

則是(a,b)到的一個1-1對應(yīng)，故。顯然當(dāng)?shù)膭菥鶠镃。同樣的勢也為C。

第3講勢的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢

第3講勢的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢

定理7如果都是勢小于或等于的集合，且其中至少有一個的勢是，則的勢是。證明：不失一般性，假設(shè)，令，則因此一定存在的子集，使，設(shè)是與之間的一個1—1對應(yīng)關(guān)系，定義，當(dāng)。易見便是和之間的一個1—1對應(yīng)關(guān)系，因而。另一方面第3講勢的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢

，由Bernstein定理知的勢為。證畢。定理7實際是說，可數(shù)個勢不超過的集合之并，其勢也不超過，用公式表示就是：。第3講勢的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢

以上看到的都是直線上的點集，平面內(nèi)點集的勢又有多大呢？我們先來看整個平面的勢。有一點是顯然的，即。問題在于是大于還是等于。我們可以把看作，其中的元素是數(shù)組，由于與有相同的勢，故與有相同的勢，因而只需考察的勢。如果將與按適當(dāng)順序排成一個新的數(shù)，便

第3講勢的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢

有可能將與的一個子集對等。不妨設(shè)。顯然我們可以按下述方式來排列，即令。到的這種對應(yīng)關(guān)系是不是一對一的呢？如果確定，對應(yīng)的第3講勢的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢

顯然也是唯一確定的，但是，用小數(shù)表示一個數(shù)，其表示法不一定唯一，比如1也可以表示成，因此，這里要作一個規(guī)定，即不允許出現(xiàn)只有有限個數(shù)字非零的情況，在這種規(guī)定下，表示法就唯一了。然后作對應(yīng)關(guān)系第3講勢的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢

則是到的某個子集的1－1對應(yīng)，故，進(jìn)而，這說明。類似方法可證明下面的第3講勢的定義

--可數(shù)集合