人教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊3.3.2 第二課時 直線與拋物線的位置關(guān)系及其應用 課件（共35張PPT）

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第二課時直線與拋物線的位置關(guān)系及其應用

[學習目標]能用坐標方法解決一些與直線和拋物線的位置關(guān)系有關(guān)的簡單幾何問題．

必備知識自主探究

關(guān)鍵能力互動探究

課時作業(yè)鞏固提升

問題1類比直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系，你認為應該研究哪些問題？

問題2怎樣判定直線與拋物線的位置關(guān)系？

問題3如何研究與拋物線弦的中點有關(guān)的問題？

[預習自測]

1．已知直線l與拋物線x2＝2py(p>0)只有一個公共點，則直線l與拋物線的位置關(guān)系為()

A．相交B．相離

C．相切D．相交或相切

解析：由題意可知直線l與拋物線相交或相切．如圖

D

C

3．已知拋物線C：y2＝x，直線l：y＝x－2，直線l與拋物線C交于A，B兩點，則|AB|＝________.

4．直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個公共點，則k＝________.

0或1

直線與拋物線的位置關(guān)系

1．直線的斜率存在時

設直線l：y＝kx＋m，拋物線：y2＝2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x的方程k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.

(1)若k≠0，

當Δ>0時，直線與拋物線，有兩個交點；

當Δ＝0時，直線與拋物線，有一個交點；

當Δ0)．顯然，當m0時，直線與拋物線相交，有兩個交點．

[例1]求過點P(0,1)且與拋物線y2＝2x有且只有一個公共點的直線方程．

分析：在設直線方程時，要注意選擇形式，如果無法避免討論，要考慮全面．

一般地，點P在拋物線內(nèi)，則過點P且和拋物線只有一個公共點的直線有一條；點P在拋物線上，則過點P且和拋物線只有一個公共點的直線有兩條；點P在拋物線外，則過點P且和拋物線只有一個公共點的直線有三條．因此，在求過點P且與拋物線只有一個公共點的直線方程時要考慮周全，不要出現(xiàn)漏解的情況．另外，在求直線與拋物線的位置關(guān)系時，對消元后的方程不要忘記討論二次項系數(shù)為零的情況．

1.過點(－1,1)且與拋物線y＝x2＋2有一個公共點的直線方程為__________________________________．

拋物線的弦長問題

2.已知點P(1，m)是拋物線C：y2＝2px(p>0)上的點，F(xiàn)為拋物線的焦點，且|PF|＝2，過焦點F的直線l與拋物線C交于不同的兩點A，B.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若|AB|＝8，求直線l的方程．

與拋物線弦的中點有關(guān)的問題

由直線與拋物線相交，利用列出k的方程求解．另由于該類問題與直線斜率及弦中點坐標有關(guān)，故可利用求k.

根與系數(shù)的關(guān)系

點差法

[例3]已知拋物線y2＝2x，過點Q(2,1)作一條直線交拋物線于A，B兩點，試求弦AB的中點的軌跡方程．

分析：思路一：利用點差法，設點作差，要考慮直線的斜率不存在的情況；

思路二：可設出直線的方程，將其與拋物線方程聯(lián)立，得一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點坐標公式，消參后即可得軌跡方程，同樣要考慮斜率不存在的情況．

解決中點弦問題的方法

(1)解決中點弦問題的基本方法是點差法，因為用點差法求軌跡方程時用到了斜率，所以必須驗證斜率不存在的情況．(2)直線與拋物線相交于兩點，隱含著條件Δ>0，求y1＋y2及x1＋x2是為利用中點坐標公式做準備．

3.過點Q(4,1)作拋物線y2＝8x的弦AB，恰被點Q所平分，求AB所在直線的方程．

1．知識清單：(1)直線與拋物線的位置關(guān)系．

(2)拋物線的弦長問題