2023屆天津市靜海縣第一中學(xué)、楊村一中、寶坻一中等六校數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．一工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的生產(chǎn)量（單位：噸）與利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：從所得的散點(diǎn)圖分析可知，與線性相關(guān)，且回歸方程為，則（）A． B． C． D．2．（2017新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅲ文科）已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為A． B．C． D．3．年平昌冬奧會(huì)期間，名運(yùn)動(dòng)員從左到右排成一排合影留念，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法種數(shù)為（）A． B． C． D．4．為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是()A．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B．按性別分層抽樣C．按學(xué)段分層抽樣 D．系統(tǒng)抽樣5．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則（）A．有極小值，但無(wú)極大值 B．既有極小值，也有極大值C．有極大值，但無(wú)極小值 D．既無(wú)極小值，也無(wú)極大值6．在復(fù)數(shù)列中，，，設(shè)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A．存在點(diǎn)，對(duì)任意的正整數(shù)，都滿足B．不存在點(diǎn)，對(duì)任意的正整數(shù)，都滿足C．存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，對(duì)任意的正整數(shù)，都滿足D．存在唯一的點(diǎn)，對(duì)任意的正整數(shù)，都滿足7．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，則A．9 B．8 C．7 D．28．已知隨機(jī)變量，的分布列如下表所示，則（）123123A．， B．，C．， D．，9．給出命題①零向量的長(zhǎng)度為零，方向是任意的．②若，都是單位向量，則．③向量與向量相等．④若非零向量與是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)共線．以上命題中，正確命題序號(hào)是（）A．① B．② C．①和③ D．①和④10．近年來(lái)隨著我國(guó)在教育科研上的投入不斷加大，科學(xué)技術(shù)得到迅猛發(fā)展，國(guó)內(nèi)企業(yè)的國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)力得到大幅提升．某品牌公司一直默默拓展海外市場(chǎng)，在海外設(shè)了多個(gè)分支機(jī)構(gòu)，現(xiàn)需要國(guó)內(nèi)公司外派大量中青年員工．該企業(yè)為了解這兩個(gè)年齡層員工是否愿意被外派工作的態(tài)度，按分層抽樣的方式從中青年員工中隨機(jī)調(diào)查了位，得到數(shù)據(jù)如下表：愿意被外派不愿意被外派合計(jì)中年員工青年員工合計(jì)由并參照附表，得到的正確結(jié)論是附表：0.100.010.0012.7066.63510.828A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)10%的前提下，認(rèn)為“是否愿意外派與年齡有關(guān)”；B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)10%的前提下，認(rèn)為“是否愿意外派與年齡無(wú)關(guān)”；C．有99%以上的把握認(rèn)為“是否愿意外派與年齡有關(guān)”；D．有99%以上的把握認(rèn)為“是否愿意外派與年齡無(wú)關(guān)”．11．點(diǎn)是雙曲線在第一象限的某點(diǎn)，、為雙曲線的焦點(diǎn).若在以為直徑的圓上且滿足，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.12．某人考試，共有5題，至少解對(duì)4題為及格，若他解一道題正確的概率為0.6，則他及格的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量與的夾角為，，，則__________.14．隨機(jī)變量X服從于正態(tài)分布N（2，σ2）若P（X≤0）＝a，則P（2＜X＜4）＝_____15．在四棱錐中，設(shè)向量，，，則頂點(diǎn)到底面的距離為_(kāi)________16．函數(shù)，對(duì)任意，恒有，則的最小值為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）（1）求證：當(dāng)時(shí)，；（2）證明：不可能是同一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng).18．（12分）已知四棱錐的底面是菱形，且，，，O為AB的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)B到平面的距離.19．（12分）旅游業(yè)作為一個(gè)第三產(chǎn)業(yè)，時(shí)間性和季節(jié)性非常強(qiáng)，每年11月份來(lái)臨，全國(guó)各地就相繼進(jìn)入旅游淡季，很多旅游景區(qū)就變得門庭冷落.為改變這種局面，某旅游公司借助一自媒體平臺(tái)做宣傳推廣，銷售特惠旅游產(chǎn)品.該公司統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)產(chǎn)品的銷售數(shù)量，用表示活動(dòng)推出的天數(shù)，用表示產(chǎn)品的銷售數(shù)量（單位：百件），統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖，根據(jù)已有的函數(shù)知識(shí)，發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)型函數(shù)的周圍.為求出該回歸方程，相關(guān)人員確定的研究方案是：先用其中5個(gè)數(shù)據(jù)建立關(guān)于的回歸方程，再用剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).試回答下列問(wèn)題：（1）現(xiàn)令，若選取的是這5組數(shù)據(jù)，已知，，請(qǐng)求出關(guān)于的線性回歸方程（結(jié)果保留一位有效數(shù)字）；（2）若由回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)，則認(rèn)為得到的回歸方程是可靠的，試問(wèn)（1）中所得的回歸方程是否可靠？參考公式及數(shù)據(jù)：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為，；；．20．（12分）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，，設(shè)“”.（1）若為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)集合與集合的交集為，若為假，為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)，。（1）求的解析式；（2）求在處的切線方程.22．（10分）為慶祝黨的98歲生日，某高校組織了“歌頌祖國(guó)，緊跟黨走”為主題的黨史知識(shí)競(jìng)賽．從參加競(jìng)賽的學(xué)生中，隨機(jī)抽取40名學(xué)生，將其成績(jī)分為六段，，，，，，到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值及樣本的中位數(shù)與眾數(shù)；（2）若從競(jìng)賽成績(jī)?cè)谂c兩個(gè)分?jǐn)?shù)段的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生，設(shè)這兩名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于分為事件,求事件發(fā)生的概率.（3）為了激勵(lì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)熱情,現(xiàn)評(píng)出一二三等獎(jiǎng),得分在內(nèi)的為一等獎(jiǎng),得分在內(nèi)的為二等獎(jiǎng),得分在內(nèi)的為三等獎(jiǎng).若將頻率視為概率,現(xiàn)從考生中隨機(jī)抽取三名,設(shè)為獲得三等獎(jiǎng)的人數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)計(jì)算出和，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入回歸直線方程可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】由題意可得，，由于回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)，則有，解得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用回歸直線方程求原始數(shù)據(jù)，解題時(shí)要充分利用“回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)”這一結(jié)論的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】以線段為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為，圓的方程為，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，整理可得，即即，從而，則橢圓的離心率，故選A.【名師點(diǎn)睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及取值范圍問(wèn)題，其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.3、C【解析】分析：根據(jù)題意，分兩種情況討論：①最左邊排甲；②最左邊排乙，分別求出每一種情況的安排方法數(shù)目，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可得到答案.詳解：根據(jù)題意，最左端只能排甲或乙，則分兩種情況討論：①最左邊排甲，則剩下4人進(jìn)行全排列，有種安排方法；②最左邊排乙，則先在剩下的除最右邊的3個(gè)位置選一個(gè)安排甲，有3種情況，再將剩下的3人全排列，有種情況，此時(shí)有種安排方法，則不同的排法種數(shù)為種.故選：C.點(diǎn)睛：解決排列類應(yīng)用題的策略(1)特殊元素(或位置)優(yōu)先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置．(2)分排問(wèn)題直排法處理．(3)“小集團(tuán)”排列問(wèn)題中先集中后局部的處理方法．4、C【解析】試題分析：符合分層抽樣法的定義，故選C.考點(diǎn)：分層抽樣．5、A【解析】

通過(guò)導(dǎo)函數(shù)大于0原函數(shù)為增函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)小于0原函數(shù)為減函數(shù)判斷函數(shù)的增減區(qū)間，從而確定函數(shù)的極值.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)圖像可知：導(dǎo)函數(shù)在上小于0，于是原函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上大于等于0，于是原函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以原函數(shù)在處取得極小值，無(wú)極大值，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的聯(lián)系，極值的相關(guān)概念，難度不大.6、D【解析】

由，由復(fù)數(shù)模的性質(zhì)可得出，可得出數(shù)列是等比數(shù)列，且得出，再由，結(jié)合向量的三角不等式可得出正確選項(xiàng).【詳解】，，，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），由向量模的三角不等式可得，當(dāng)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)，，因此，存在唯一的點(diǎn)，對(duì)任意的正整數(shù)，都滿足，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，同時(shí)也考查了復(fù)數(shù)模的性質(zhì)和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是利用向量模的三角不等式構(gòu)建不等關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證，考查推理能力，屬于難題.7、C【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，求得和的值，即可求出．【詳解】由，，，解得，，則，故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式的應(yīng)用。8、C【解析】

由題意分別求出Eξ，Dξ，Eη，Dη，由此能得到Eξ＜Eη，Dξ＞Dη．【詳解】由題意得：Eξ，Dξ．Eη，Dη＝（）2（2）2（3）2，∴Eξ＜Eη，Dξ=Dη．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差的求法，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．9、A【解析】

根據(jù)零向量和單位向量的定義，易知①正確②錯(cuò)誤，由向量的表示方法可知③錯(cuò)誤，由共線向量的定義和四點(diǎn)共線的意義可判斷④錯(cuò)誤【詳解】根據(jù)零向量的定義可知①正確；根據(jù)單位向量的定義，單位向量的模相等，但方向可不同，故兩個(gè)單位向量不一定相等，故②錯(cuò)誤；與向量互為相反向量，故③錯(cuò)誤；若與是共線向量，那么可以在一條直線上，也可以不在一條直線上，只要它們的方向相同或相反即可，故④錯(cuò)誤，故選A.【點(diǎn)睛】向量中有一些容易混淆的概念，如共線向量，它指兩個(gè)向量方向相同或相反，這兩個(gè)向量對(duì)應(yīng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)可以不在一條直線上，實(shí)際上共線向量就是平行向量．10、A【解析】

由公式計(jì)算出的值，與臨界值進(jìn)行比較，即可得到答案。【詳解】由題可得：故在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)10%的前提下，認(rèn)為“是否愿意外派與年齡有關(guān)”，有90%以上的把握認(rèn)為“是否愿意外派與年齡有關(guān)，所以答案選A;故答案選A【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，解題的關(guān)鍵是正確計(jì)算出的值，屬于基礎(chǔ)題。11、D【解析】試題分析：根據(jù)題畫(huà)圖，可知P為圓與雙曲線的交點(diǎn)，根據(jù)雙曲線定義可知：，所以，又，即，所以，，雙曲線離心率，所以。考點(diǎn)：雙曲線的綜合應(yīng)用。12、C【解析】

由題，得他及格的情況包含答對(duì)4題和5題，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，即可得到本題答案.【詳解】由題，得他及格的情況包括答對(duì)4題和5題，所以對(duì)應(yīng)的概率.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、6.【解析】

求出即得解.【詳解】由題意，向量的夾角為，所以，所以.故答案為：6【點(diǎn)睛】本題主要考查向量模的計(jì)算，考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.14、【解析】

利用正態(tài)分布的對(duì)稱性，求得的值.【詳解】由條件知,故.【點(diǎn)睛】本小題主要考查正態(tài)分布在指定區(qū)間的概率，屬于基礎(chǔ)題.15、2；【解析】

根據(jù)法向量的求法求得平面的法向量，利用點(diǎn)到面的距離的向量求解公式直接求得結(jié)果.【詳解】設(shè)平面的法向量則，令，則，點(diǎn)到底面的距離：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到面的距離的向量求法，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確求解出平面的法向量，考查學(xué)生對(duì)于點(diǎn)到面距離公式掌握的熟練程度.16、【解析】∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增。∴當(dāng)時(shí)，有最大值，且。又，∴。由題意得等價(jià)于。∴的最小值為。答案：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)試題解析；（2）證明過(guò)程詳見(jiàn)試題解析.【解析】

（1）利用綜合法證明即可；（2）利用反證法證明，假設(shè)是同一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)，分別設(shè)為am，an，ap，推出為無(wú)理數(shù)，又為有理數(shù)，矛盾，即可證明不可能是等差數(shù)列中的三項(xiàng)．【詳解】解：（1）∵（）2＝2a+2?，0，0且a+2≠a﹣2，∴，∴2（2）假設(shè)是同一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)，分別設(shè)為am，an，ap，則為無(wú)理數(shù)，又為有理數(shù)，矛盾．所以，假設(shè)不成立，即不可能是同一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)．【點(diǎn)睛】反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問(wèn)題的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得．應(yīng)用反證法證明的具體步驟是：①反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；②歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過(guò)一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；③結(jié)論：說(shuō)明反設(shè)成立，從而肯定原命題成立．18、(1)證明見(jiàn)解析;(2)【解析】

(1)連結(jié),推導(dǎo)出,由此能證明平面.(2)利用等體積法求距離即可.【詳解】(1)證明:連結(jié),四棱錐的底面是菱形,且，,,O為AB的中點(diǎn)...平面.(2)在中,,則,,.故點(diǎn)B到平面的距離.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判斷定理,考查等體積法求點(diǎn)到面的距離,難度一般.19、（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）在等式兩邊取自然對(duì)數(shù)，得，即，計(jì)算出與，將數(shù)據(jù)代入公式，計(jì)算出和，再代入回歸方程可得出答案；（2）將和的值代入指數(shù)型回歸函數(shù)，并將和代入，計(jì)算估計(jì)值與實(shí)際值之差的絕對(duì)值，看是否都小于，從而確定（1）中所得的回歸方程是否可靠?！驹斀狻浚?）由已知，又令，故有.又，因?yàn)?，，所以，，所?（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，與檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差為，不超過(guò)；當(dāng)時(shí)，，與檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差為，不超過(guò).故可以認(rèn)為得到的回歸方程是可靠的.【點(diǎn)睛】本題考查非線性回歸分析，求非線性回歸問(wèn)題，通常要結(jié)合題中的變形，將非線性回歸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題。20、（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）由已知可得，函數(shù)為上的奇函數(shù)、且為增函數(shù)，由命題為真，則，所以，從而解得；（2）由集合，若為真，則，因?yàn)椤盀榧伲瑸檎妗钡葍r(jià)于“、一真一假”，因此若真假，則；若假真，則.從而可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.試題解析：∵函數(shù)是奇函數(shù)，∴，∵當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)為上的增函數(shù)，∵，，∴，∴，若為真，則，解得（2），若為真，則，∵為假，為真，∴、一真一假，若真假，則；若假真，則綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是考點(diǎn)：1.函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用；2.命題的真假判斷及其邏輯運(yùn)算.21、（1）；（2）【解析】分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用已知條件列出方程，求解即可；（2）求出切線的斜率，然后求解切線方程．詳解：（1）依題意有①②由①②解有所以的