2021-2022學(xué)年廣東省湛江市美術(shù)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

2021-2022學(xué)年廣東省湛江市美術(shù)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在區(qū)間[﹣1，1]上單調(diào)遞減的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=lnC．f（x）=﹣|x+1| D．f（x）=參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，奇函數(shù)的定義，減函數(shù)的定義即可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤，從而得到正確選項(xiàng)．【解答】解：A．f（x）=sinx在[﹣1，1]上單調(diào)遞增；B．f（x）=，解得該函數(shù)的定義域?yàn)閇﹣2，2]；又f′（x）=；∴f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上是減函數(shù)；又f（﹣x）==﹣f（x）；∴f（x）是奇函數(shù)；∴該選項(xiàng)正確；C．f（x）=﹣|x+1|，奇函數(shù)f（x）在原點(diǎn)有定義時(shí)f（0）=0；而這里f（0）=﹣1；∴該函數(shù)不是奇函數(shù)；D.，f（﹣1）=；∴該函數(shù)在[﹣1，1]上不是減函數(shù)．故選B．【點(diǎn)評】考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)f（x）在原點(diǎn)有定義時(shí)f（0）=0，減函數(shù)的定義．2.某農(nóng)科所研制成功一種產(chǎn)量較高的農(nóng)作物種子，并對該作物種子在相同條件下發(fā)芽與否進(jìn)行了試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果如下表，則其發(fā)芽的概率大約為

（

）種子粒數(shù)251070130310700150020003000發(fā)芽粒數(shù)24960116282639133918062715A．1

B．0.7

C．0.8

D．0.9參考答案：D3.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位

B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位

D．向右平移個(gè)單位參考答案：A4.設(shè)

則的值為（

）A.10

B.11

C.12

D.13參考答案：B5.設(shè)集合，，，則等于A．

B．

C．

D．

參考答案：B略6.定義域?yàn)镽的偶函數(shù)滿足，有，且當(dāng)時(shí)，．若函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是(A)(0，)

(B)(0，)

(C)(0，)

(D)(0，)參考答案：B略7.命題，則為（

） A.

B. C.

D.參考答案：C8.（08年大連24中）等差數(shù)列{an}中，a5+a7=16，a3=4，則a9=

（

）

A．8

B．12

C．24

D．25參考答案：答案:B9.若0<a<b<1，則下列不等式成立的是

A.logb<ab<logba

B.

logb<logba<ab

C.logba<logb<ab

D.

ab<logb<logba

參考答案：A10.已知實(shí)數(shù)滿足則的最大值為

(

)

A.17

B.15

C.9

D.5參考答案：A【測量目標(biāo)】數(shù)學(xué)基本知識和基本技能/能按照一定的規(guī)則和步驟進(jìn)行計(jì)算、畫圖和推理.【知識內(nèi)容】方程與代數(shù)/簡單的線性規(guī)劃/簡單的線性規(guī)劃.【試題分析】不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)，其中直線將其分為的兩部分，聯(lián)立得,聯(lián)立得,在上，直線在點(diǎn)有最大值，此時(shí)，在上，直線在點(diǎn)有最大值，此時(shí)，所以的最大值為17，故答案為A.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若非零向量，滿足||＝|＋|＝1，與夾角為120°，則|

|=

．參考答案：112.函數(shù)的圖象中，離坐標(biāo)原點(diǎn)最近的一條對稱軸的方程為x=．參考答案：考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：先求出函數(shù)的對稱軸方程為x=，k∈Z，從而可求離坐標(biāo)原點(diǎn)最近的一條對稱軸的方程．解答：解：∵函數(shù)的對稱軸方程為x=，k∈Z∴當(dāng)k=﹣1時(shí)，x=是離坐標(biāo)原點(diǎn)最近的一條對稱軸的方程．故答案為：x=．點(diǎn)評：本題主要考察了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．13.已知，則=

。參考答案：-314.若tanα=，則tan（α+）=

．參考答案：3【考點(diǎn)】兩角和與差的正切函數(shù)．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)tanα的值和兩角和與差的正切公式可直接得到答案．【解答】解：∵tanα=∴tan（α+）===3故答案為：3．【點(diǎn)評】本題主要考查兩角和與差的正切公式．屬基礎(chǔ)題．15.過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程是（

）（A）

（B）

（C）（D）或

參考答案：D設(shè)點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，則有。導(dǎo)數(shù)則切線斜率，所以切線方程為，即，整理得，將點(diǎn)代入得，即，即，整理得，解得或，代入切線方程得切線為或，選D.16.已知函數(shù)f（x）=|cosx|?sinx，給出下列四個(gè)說法：①f（x）為奇函數(shù)；

②f（x）的一條對稱軸為x=；③f（x）的最小正周期為π；

④f（x）在區(qū)間[﹣，]上單調(diào)遞增；⑤f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣，0）成中心對稱．其中正確說法的序號是

．參考答案：①②④【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】先化簡函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷①；根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡f（π﹣x）后，得到與f（x）的關(guān)系可判斷②；根據(jù)函數(shù)周期性的定義判斷③；由二倍角公式化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷④；根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡f（﹣π﹣x）后，得到與﹣f（x）的關(guān)系可判斷⑤．【解答】解：函數(shù)f（x）=|cosx|?sinx=（k∈Z），①、f（﹣x）=|cos（﹣x）|?sin（﹣x）=﹣|cosx|?sinx=﹣f（x），則f（x）是奇函數(shù)，①正確；②、∵f（π﹣x）=|cos（π﹣x）|?sin（π﹣x）=|﹣cosx|?sinx=f（x），∴f（x）的一條對稱軸為x=，②正確；③、∵f（π+x）=|cos（π+x）|?sin（π+x）=|﹣cosx|?（﹣sinx）=﹣f（x）≠f（x），∴f（x）的最小正周期不是π，③不正確；④、∵x∈[﹣，]，∴f（x）=|cosx|?sinx=sin2x，且2x∈[，]，∴f（x）在區(qū)間[﹣，]上單調(diào)遞增，④正確；⑤、∵f（﹣π﹣x）=|cos（﹣π﹣x）|?sin（﹣π﹣x）=|﹣cosx|?sinx=f（x）≠﹣f（x），∴f（x）的圖象不關(guān)于點(diǎn)（﹣，0）成中心對稱，⑤不正確；故答案為：①②④．17.已知半徑為R的球內(nèi)接一個(gè)正四面體ABCD，平面BCD將球面分割成二部分，在異于球心一側(cè)的球面上的點(diǎn)P到平成BCD的最大距離為

。參考答案：答案:

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分13分)如圖，直三棱柱，，AA′=1，點(diǎn)分別為和的中點(diǎn)。

(Ⅰ)證明：∥平面;

(Ⅱ)求三棱錐的體積。參考答案：（1）（法一）連結(jié)，由已知三棱柱為直三棱柱，所以為中點(diǎn).又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)所以，又平面

平面，因此

……6分（法二）取的中點(diǎn)為P，連結(jié)MP，NP，∵分別為和的中點(diǎn)，

∴MP∥,NP∥,∴MP∥面,NP∥面,

∵,

∴面MPN∥面，∵M(jìn)N面，

∴MN∥面.(Ⅱ)（解法一）連結(jié)BN，由題意⊥,面∩面=,∴⊥⊥面NBC，

∵==1,

∴.(解法2)19.設(shè)函數(shù)的圖象與直線相切于點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(I)求，的值；(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出在每個(gè)區(qū)間上的增減性．參考答案：解析：（Ⅰ）………3分由于的圖象與直線相切于點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則．所以

………7分即解得，．………8分

（Ⅱ）由，，得，定義域?yàn)?，令，解得或；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

令，解得．故函數(shù)在區(qū)間上分別單調(diào)遞增，在區(qū)間

上單調(diào)遞減．………14分20.直四棱柱的底面是菱形，，其側(cè)面展開圖是邊長為的正方形.、分別是側(cè)棱、上的動(dòng)點(diǎn)，．

(Ⅰ)證明：；

(Ⅱ)在棱上，且，若∥平面，求.參考答案：⑴連接，因?yàn)槭橇庑?，所以?/p>

因?yàn)槭侵彼睦庵?，，所以，因?yàn)?，所以?/p>

因?yàn)?，所以…?分．

⑵連AC交BD與O，因?yàn)槠矫?，所以EF//PO取中點(diǎn)，則，所以，所以為平行四邊形，則，從而…12分21.交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動(dòng)車購買的險(xiǎn)種，若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用（基準(zhǔn)保費(fèi)）統(tǒng)一為元，在下一年續(xù)保時(shí)，實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制，保費(fèi)與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動(dòng)情況如表：交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和浮動(dòng)費(fèi)率比率表

浮動(dòng)因素浮動(dòng)比率上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮上兩個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮上三個(gè)及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故上浮上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故上浮某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機(jī)抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時(shí)的情況，統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格：類型數(shù)量105520155以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題:（Ⅰ）求一輛普通6座以下私家車（車險(xiǎn)已滿三年）在下一年續(xù)保時(shí)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的頻率；（Ⅱ）某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車．假設(shè)購進(jìn)一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元．且各種投保類型車的頻率與上述機(jī)構(gòu)調(diào)查的頻率一致，完成下列問題：①若該銷售商購進(jìn)6輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，某顧客欲在店內(nèi)隨機(jī)挑選兩輛車，求這兩輛車恰好有一輛為事故車的概率；②若該銷售商一次購進(jìn)120輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求一輛車盈利的平均值．參考答案：（Ⅰ）一輛普通6座以下私家車（車險(xiǎn)已滿三年）在下一年續(xù)保時(shí)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的頻率為．（Ⅱ）①由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，該銷售商店內(nèi)的六輛該品牌車齡已滿三年的二手車有兩輛事故車，四輛非事故車設(shè)為，從六輛車中隨機(jī)挑選兩輛車共有，，，，，，，，，，，，，，總共15種情況，其中兩輛車恰好有一輛事故車共有，，，，，，，，總共8種情況．所以該顧客在店內(nèi)隨機(jī)挑選的兩輛車恰好有一輛事故車的概率為．②由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，該銷售量一次購進(jìn)120輛該品牌車齡已滿三年的二手車有事故車40輛，非事故車80輛，所以一輛車盈利的平均值為元．22.如圖，在四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四邊形，DD1⊥平面ABCD，AB=AD，AD=A1B1，∠BAD=45°．（1）證明：BD⊥AA1；（2）證明：AA1∥平面BC1D．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】（1）由已知條件利用余弦定理得BD2=AD2，從而利用勾股定理得AD⊥BD，進(jìn)而得到BD⊥平面ADD1A1，由此能證明BD⊥AA1．（2）連結(jié)AC、A1C1，設(shè)AC∩BD=E，連結(jié)EC1，由棱臺的定義結(jié)合已知條件推導(dǎo)出四邊形A1C1EA是平行四邊形，由此能證明AA1∥平面BC1D．【解答】證明：（1）∵AB=AD，∠BAD=45°，在△ABD中，由余弦定理得BD2=AD2+AB2﹣2AD?ABcos45°=AD2，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，∵DD1⊥平面ABCD