微正則分布熱力學

微正則分布熱力學第1頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月一、相空間若系統(tǒng)包含多種粒子，第i種粒子的自由度為ri

，粒子數(shù)為Ni

，則系統(tǒng)的自由度為：以共2f個變量為坐標構(gòu)成一個2f維空間,稱為相空間(?？臻g)系統(tǒng)在某一時刻的運動狀態(tài)：可用相空間中的一點表示，稱為系統(tǒng)運動狀態(tài)的代表點。（2）系統(tǒng)的運動狀態(tài)隨時間的演化

系統(tǒng)的運動狀態(tài)隨時間而變，遵從哈密頓正則方程（9.1.1）（1）相空間（Γ

空間）當系統(tǒng)的運動狀態(tài)隨時間變化時，代表點相應地在相空間中移動，其軌道由式(9.1.1)確定．知識回顧：§9.1相空間劉維爾定理第2頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月劉維爾定理(Liouville’stheorem)

設想大量結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)，各自從其初態(tài)出發(fā)獨立地沿著正則方程(9.1.1)所規(guī)定的軌道運動.（9.1.1）這些系統(tǒng)的運動狀態(tài)的代表點將在相空間中形成一個分布．2、劉維爾定理如果一個代表點沿著正則方程所確定的軌道在相空間中運動，其鄰域的代表點密度是不隨時間改變的常數(shù)。ρdΩ表示時刻t，運動狀態(tài)在dΩ內(nèi)的代表點數(shù)知識回顧：§9.1相空間劉維爾定理第3頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.2微正則分布§9.2微正則分布宏觀系統(tǒng)，表面分子數(shù)遠小于總分子數(shù)，系統(tǒng)與外界的相互作用很弱。統(tǒng)計物理學:研究系統(tǒng)在給定宏觀條件下的宏觀性質(zhì)。例如:如果研究的是一個孤立系統(tǒng)，給定的宏觀條件就是具有確定的粒子數(shù)N、體積V和能量E。1統(tǒng)計系綜1)關于孤立系統(tǒng)能量的討論：實際上系統(tǒng)通過其表面分子不可避免地與外界發(fā)生作用，使孤立系統(tǒng)的能量不具有確定的數(shù)值E而是在E附近的一個狹窄的范圍內(nèi)，或者說在E到E+ΔE之間．ΔE/E<<1第4頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月這微弱的相互作用ΔE

對系統(tǒng)微觀狀態(tài)的變化卻產(chǎn)生巨大的影響：在給定的宏觀條件下，宏觀量是相應微觀量在一切可能的滿足給定宏觀條件的微觀狀態(tài)上的平均值。系統(tǒng)從某一初態(tài)出發(fā)沿正則方程確定的軌道運動，經(jīng)過一定的時間后，外界的作用使系統(tǒng)躍遷到E到E＋ΔE內(nèi)的另一狀態(tài)而沿正則方程確定的另一軌道運動。這樣的過程不斷發(fā)生，使系統(tǒng)的微觀狀態(tài)發(fā)生極其復雜的變化。2)宏觀量與微觀量的關系§9.2微正則分布第5頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月表示(一個系統(tǒng))微觀狀態(tài)處在相空間各區(qū)域的概率總和為1。經(jīng)典理論中，取相空間中體積元將簡記為：t

時刻系統(tǒng)微觀狀態(tài)處在dΩ內(nèi)的概率為……分布函數(shù)已經(jīng)歸一化！根據(jù)統(tǒng)計物理的觀點，與微觀量B(q,p)相應的宏觀物理量§9.2微正則分布第6頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月Gibbs提出：“原來我們討論的只是一個系統(tǒng)隨時間

的演化過程，現(xiàn)在我們改為同時討論大量的結(jié)構(gòu)

相同的N

個系統(tǒng)，這N個系統(tǒng)雖然相似，但卻處

在各個不同的微觀狀態(tài)之中，我們把這N個系統(tǒng)

的集合叫作統(tǒng)計系綜”。3)統(tǒng)計系綜[定義]統(tǒng)計系綜是指與原來的系統(tǒng)處在完全相同宏觀條件下的，想象的大量結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)的集合．這些系統(tǒng)具有完全相同的哈密頓，但處在各自不同的微觀狀態(tài)之中。上式中，追蹤一個系統(tǒng)從時間上求平均十分困難?！?.2微正則分布第7頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.2微正則分布吉布斯(JosiahWillardGibbs，1839-1903)，美國物理學家。1858年畢業(yè)于耶魯大學，接著攻讀該大學的研究生課程。1863年取得美國首批博士學位，留校講授拉丁文和自然哲學。1866年至1869年去歐洲進修，回國后一直在耶魯(Yale)

大學任教。1871年被任命為數(shù)理教授。第8頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.2微正則分布1902年吉布斯發(fā)表了巨著《統(tǒng)計力學的基本原理》，創(chuàng)立了統(tǒng)計系綜的方法，建立起經(jīng)典平衡態(tài)統(tǒng)計力學的系統(tǒng)理論，對統(tǒng)計力學給出了適用任何宏觀物體的最徹底、最完整的形式。吉布斯在光學和電磁理論的研究上也有建樹，并為此建立了矢量分析的方法。吉布斯被美國科學院以及歐洲14個科學機構(gòu)選為院士或通訊院士，并接受過一些名譽學銜和獎賞。1880年他榮獲美國最高科學獎--冉福特獎(RumfordPrize)。Gibbs'scientificcareercanbedividedintofourphases.Upuntil1879,heworkedonthetheoryofthermodynamics.From1880to1884,heworkedonthefieldofvectoranalysis.From1882to1889,heworkedonOpticsandthetheoryoflight.After1889,heworkedontextbooksonstatisticalmechanics.第9頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.2微正則分布統(tǒng)計系綜所包含的大量的系統(tǒng)中，在時刻t運動狀態(tài)處在dΩ范圍內(nèi)的系統(tǒng)數(shù)將與成正比。如果在時刻t，從統(tǒng)計系綜中任意選取一個系統(tǒng)，這個系統(tǒng)的狀態(tài)處在dΩ范圍的概率為的系綜理解：微觀量B在統(tǒng)計系綜上的平均值---系綜平均值。相應地，對于量子系統(tǒng)，有：第10頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.2微正則分布系綜平均值B(t)根本問題是確定系綜分布函數(shù)ρ第11頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.2微正則分布二、統(tǒng)計系綜研究孤立系統(tǒng)的討論1研究對象:孤立系統(tǒng)(N,V,E)為參量的系統(tǒng)。2系綜的分布函數(shù)ρ平衡狀態(tài)下系統(tǒng)的宏觀量不隨時間改變ρ必不顯含時間第12頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.2微正則分布劉維爾定理系統(tǒng)從初態(tài)出發(fā)沿正則方程確定的軌道運動，概率密度是不隨時間改變的常數(shù)．受外界作用發(fā)生躍遷后,系統(tǒng)沿E到E+ΔE內(nèi)的另一軌道運動，概率密度仍然是不隨時間改變的常數(shù)．不同軌道的常數(shù)概率密度是否相同?-----劉維爾定理不能回答!第13頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.2微正則分布3微正則分布

假設E

到E+ΔE

內(nèi)一切軌道的常數(shù)概率密度都相等，則在E到E+ΔE能量范圍的所有可能的微觀狀態(tài)上概率密度就都相等，是不隨時間改變的常數(shù)。這就是等概率原理，也稱為微正則分布。等概率原理是平衡態(tài)統(tǒng)計物理的基本假設經(jīng)典表達式量子表達式第14頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.2微正則分布三、微正則分布的微觀態(tài)數(shù)1把經(jīng)典統(tǒng)計理解為量子統(tǒng)計的經(jīng)典極限,那么對于N

個自由度為r的全同粒子組成的系統(tǒng)，在能量范圍E~E+ΔE范圍內(nèi)的系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)2

對于多種粒子的系統(tǒng)i種粒子:自由度為ri;粒子數(shù)Ni第15頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.2微正則分布3系綜理論的宏觀量計算與以前方法的區(qū)別以前方法：

最概然分布下的統(tǒng)計結(jié)果系綜理論：

所有可能的微觀狀態(tài)上的平均值說明：二者差別很小!當相對漲落很小時，即概率分布必然是具有非常陡的極大值的分布函數(shù)，微觀量的最概然值和平均值是相等的。第16頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.1&§9.2小結(jié)§9.1相空間劉維爾定理§9.2微正則分布小結(jié)Chap.9系綜理論研究互作用粒子組成的系統(tǒng)．統(tǒng)計系綜:是指與原來的系統(tǒng)處在完全相同宏觀條件下的，想象的大量結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)的集合．這些系統(tǒng)具有完全相同的哈密頓，但處在各自不同的微觀狀態(tài)之中。第17頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月劉維爾定理(Liouville’stheorem)

設想大量結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)，各自從其初態(tài)出發(fā)獨立地沿著正則方程(9.1.1)所規(guī)定的軌道運動.（9.1.1）這些系統(tǒng)的運動狀態(tài)的代表點將在相空間中形成一個分布．§9.1&§9.2小結(jié)2、劉維爾定理如果一個代表點沿著正則方程所確定的軌道在相空間中運動，其鄰域的代表點密度是不隨時間改變的常數(shù)。ρdΩ表示時刻t，運動狀態(tài)在dΩ內(nèi)的代表點數(shù)第18頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023