浙江省寧波市九校2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷及答案

試題guomeng2014試題guomeng2014浙江省寧波市九校2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第（）象限A．一 B．二 C．三 D．四2．已知，，若，則（）A． B． C． D．3．某小區(qū)有人自愿接種新冠疫苗，其中歲的有人，歲的有人，其余為符合接種條件的其他年齡段的居民．在一項接種疫苗的追蹤調(diào)查中，要用分層抽樣的方法從該小區(qū)名接種疫苗的人群中抽取人，則從符合接種條件的其他年齡段的居民中抽取的人數(shù)是（）A． B． C． D．4．設(shè)、是兩個不同的平面，m、n是兩條不同的直線，下列說法正確的是（）A．若，，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，，則5．北碚區(qū)在創(chuàng)建“全國文明城市”活動中大力加強垃圾分類投放宣傳．某居民小區(qū)設(shè)有“廚余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”四種不同的垃圾桶．一天，居民小陳提著上述分好類的垃圾各一袋，隨機每桶投一袋，則恰好有兩袋垃圾投對的概率為（）A． B． C． D．6．如圖，已知為中的角平分線，若，，則（）A． B． C． D．7．古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)?商功》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑．若四棱錐為陽馬，平面，，，則此“陽馬”外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（）A． B． C． D．8．如圖，等腰梯形中，，，，，沿著把折起至，使在平面上的射影恰好落在上．當(dāng)邊長變化時，點的軌跡長度為（）A． B． C． D．二、多選題9．從裝有個紅球和個白球的口袋中任取個球，那么互斥而不對立的事件是（）A．恰有個紅球與恰有個紅球 B．至少有個白球與都是紅球C．恰有個紅球與恰有個白球 D．至少有個紅球與至少有白球10．關(guān)于平面向量，下列說法正確的是（）A．若，，則B．已知，，則在方向上的投影向量是C．若，，且與的夾角為銳角，則D．若，且，則四邊形為菱形11．已知的三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，則下列條件能推導(dǎo)出一定是銳角三角形的是（）A． B．C． D．12．正方體棱長為，若是空間異于的一個動點，且，則下列正確的是（）A．平面B．存在唯一一點，使C．存在無數(shù)個點，使D．若，則點到直線的最短距離為三、填空題13．設(shè)，若，則的最大值為________．14．已知三棱柱中，棱長均為，頂點在底面上的射影恰為的中點，為的中點，則直線與直線所成角的余弦值為________．15．平面向量滿足：，且．則的取值范圍為________．四、雙空題16．隨機事件，的概率分別為，．（1）若，則________；（2）若與相互獨立，則________．五、解答題17．某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和．現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品，乙組研發(fā)新產(chǎn)品，設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨立．（1）求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；（2）若新產(chǎn)品研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤萬元；若新產(chǎn)品研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤萬元，該企業(yè)獲得利潤超過萬元的概率為多少．18．某校對名高一學(xué)生的某次數(shù)學(xué)測試成績進行統(tǒng)計，分成，，，，五組，得到如圖所示頻率分布直方圖．（1）求圖中的值；（2）估計該校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)；（3）估計該校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的第百分位數(shù)．19．在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并解答相應(yīng)的問題.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足________________，，求的面積.20．如圖，在等腰梯形中，，．點是線段上的動點．（1）若，求，的值；（2）若，求的取值范圍．21．如圖，已知四邊形是菱形，是邊長為的正三角形，為的中點，又（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．22．在棱長均為的正三棱柱中，為的中點．過的截面與棱，分別交于點，．（1）若為的中點，求三棱柱被截面分成上下兩部分的體積比；（2）若四棱雉的體積為，求截面與底面所成二面角的正弦值；（3）設(shè)截面的面積為，面積為，面積為，當(dāng)點在棱上變動時，求的取值范圍．試題guomeng2014試題guomeng2014參考答案1．B先化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)判斷所在象限即可.解：因為，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點坐標(biāo)為，對應(yīng)象限為第二象限.故選:B2．C由平面向量共線坐標(biāo)運算公式計算可得．解：解：，，，，解得：，故選：．3．C利用分層抽樣的性質(zhì)直接求解即可．解：解：依題意從其余符合接種條件的其它年齡段的居民中抽取的人數(shù)為：．故選：．4．D根據(jù)線面和面面有關(guān)定理對選項逐一分析，確定錯誤選項，對正確選項進行證明.解：對于A選項，由于直線可能含于平面，故A選項錯誤.對于B選項，由于直線可能含于平面，故B選項錯誤.對于C選項，可能相交，故C選項錯誤.對于D選項，由于，，所以；由于，所以.所以D選項正確.故選：D【點睛】本小題主要考查空間線面、面面有關(guān)命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.5．D先求得基本事件總數(shù)，再求得其中恰好有兩袋垃圾投對包含的基本事件個數(shù)，由古典概型概率公式即可求解.解：某居民小區(qū)設(shè)有“廚余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”四種不同的垃圾桶．居民小陳提著上述分好類的垃圾各一袋，隨機每桶投一袋，基本事件總數(shù)，其中恰好有兩袋垃圾投對包含的基本事件個數(shù)種，則恰好有一袋垃圾投對的概率為．故選：D．6．A利用已知條件，利用余弦定理求出，即可得到為直角三角形，從而求出，然后求解向量的數(shù)量積即可．解：解：為中的角平分線，，，由余弦定理可得，即，所以，所以，所以，所以，．故選：．7．B首先求出三棱錐的外接球半徑，進一步利用等體積法的應(yīng)用求出內(nèi)切球的半徑，最后利用球的表面積公式求出結(jié)果．解：解：因為四棱錐為陽馬，平面，，，所以設(shè)外接球的半徑為，所以，故，所以，所以，，所以設(shè)內(nèi)切球的半徑為，利用，解得，故，故外接球與內(nèi)切球的表面積之比為．故選：．8．B根據(jù)的射影在邊上，且固定長度為1，所以的軌跡在以為原點半徑為1的圓上，因此考慮的長度縮短到0時和變長到的長度兩種情況，從而求出夾角大小，進而求出弧長.解：因為的射影在邊上，且固定長度為1，所以的軌跡在以為原點半徑為1的圓上.考慮極端情況：當(dāng)?shù)拈L度縮短到0時，都匯聚到線段的中點（D2）；當(dāng)變長到的長度時（的射影為D3），如圖，設(shè)，則,

在中，，同理：，∴，即在線段上的投影與點的距離為，從而與夾角為，故點的軌跡為.故選：B.9．AC根據(jù)互斥事件與對立事件的定義判斷．解：恰有個紅球與恰有個紅球不可以同時發(fā)生，但可以同時不發(fā)生，如恰有3個紅球．說明互斥不對立，A正確；至少有個白球與都是紅球互斥且對立，它們不可以同時發(fā)生，但必有一個會發(fā)生，B錯；恰有個紅球與恰有個白球不可以同時發(fā)生，但可以同時不發(fā)生，如恰有2個紅球，說明互斥不對立，C正確至少有個紅球與至少有白球可以同時發(fā)生，不互斥，D錯．故選：AC．10．BD根據(jù)向量共線，投影向量，向量夾角的概念，平面向量基本定理判斷各選項．解：若，雖然有，，但不一定有，A錯；，，則在方向上的投影是，投影向量是，B正確；當(dāng)時，，兩向量同向，夾角為0不是銳角，C錯；若，則與的中點重合，是平行四邊形，則，又，所以，所以是菱形，D正確．故選：BD．11．BD利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理，余弦定理逐項判斷即可求解.解：解：對于，若，由余弦定理可知，即角為銳角，不能推出其他角均為銳角，故錯誤；對于，因為，可得，可得，設(shè)，，，，可得為最大邊，為三角形最大角，根據(jù)余弦定理得，可得為銳角，可得一定是銳角三角形，故正確；對于，因為，可得，整理可得，由正弦定理可得，可得為直角，故錯誤；對于，因為由于，整理得，故，由于，故，故，，均為銳角，為銳角三角形，故正確．故選：BD．12．ACD點為動點，確定點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵，將條件的異面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，找到的垂面，即可確定點的軌跡，對于A，由面面平行進行判斷，對于B，利用反證法和平行的傳遞性進行判斷，對于C，將異面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，找到的垂面進行判斷，對于D，由得到點也在球面上，所以點是球面與平面的并線，考查球截面的問題，類比圓的問題進行解決解：解：對于A，因為平面，所以點在平面上，又因為平面∥平面，所以平面，所以A正確，對于B，假設(shè)存在點，使得，因為∥，所以∥，這與在平面外矛盾，所以假設(shè)不成立，即點不存在，所以B錯誤，對于C，如圖，因為平面，平面平面，所以當(dāng)點在直線上時，恒有，所以C正確，如圖，若，則點在以為球心，（）為半徑的球面上，設(shè)平面，則點到平面的距離為，所以點到平面的距離為，所以平面被球面截得的圓的半徑為，且圓心為中點，設(shè)為，則在等邊三角形中，到直線的距離為，所以點到直線的距離的最小值為，所以D正確，故選：ACD13．3設(shè)，，則，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式及函數(shù)的性質(zhì)計算可得．解：解：，，設(shè)，，則，所以，所以，因為，所以，，所以，所以則的最大值為3，故答案為：3．14．根據(jù)三棱柱性質(zhì)與題中的中點條件，可將所求直線與直線所成角的余弦值轉(zhuǎn)化為求直線與直線所成角的余弦值，那么就要通過多次轉(zhuǎn)化最終求得中三邊長，然后直接在中運用余弦定理即可.解：如圖，取中點，連接,由三棱柱的性質(zhì)易證得,所以四邊形為平行四邊形，所以,所以下面即求直線與直線所成角的余弦值.由題意知，平面,因為平面,所以，在中，,求得.所以在菱形中，.在中，,求得.所以在中，根據(jù)余弦定理得,所以.在中根據(jù)余弦定理得.在中，,根據(jù)余弦定理得,所以直線與直線所成角的余弦值為，即直線與直線所成角的余弦值為.故答案為:15．由題意可得，，對應(yīng)的點在單位圓上，且是等邊三角形，且所求表達式轉(zhuǎn)化為，從而問題轉(zhuǎn)化為圓上的點到點的距離之和，即，再利用不等式的性質(zhì)以及三角形的性質(zhì)即可求解.解：因為向量滿足，且，所以，，對應(yīng)的點在單位圓上，且是等邊三角形，且即圓上的點到點的距離之和，即若點不與重合，不妨設(shè)點在上，則，，，故點在圓上運動時，，又因為為單位圓的內(nèi)接等邊三角形，所以，所以，由余弦定理可得：且，即，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)即點與點重合時，等號成立，又因為，所以當(dāng)且僅當(dāng)點是、、的中點時，等號成立，所以的取值范圍為，故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題解題的關(guān)鍵點是利用已知條件將，，對應(yīng)的點在單位圓上，且是單位圓的內(nèi)接正三角形，將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點到三點的距離之和.16．0.30.65根據(jù)獨立事件的概率公式計算．解：時，，．故答案為：0.3；0.65．17．（1）；（2）．（1）設(shè)事件表示“甲組研發(fā)新產(chǎn)品研發(fā)成功”，設(shè)事件表示“乙組研發(fā)新產(chǎn)品研發(fā)成功”，進而根據(jù)對立事件的概率求解即可；（2）由題知的可能取值為0，100，120，220，進而根據(jù)獨立事件的概率公式求解即可.解：解：（1）設(shè)事件表示“甲組研發(fā)新產(chǎn)品研發(fā)成功”，事件表示“乙組研發(fā)新產(chǎn)品研發(fā)成功”，則，，所以至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率：．（2）若新產(chǎn)品研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤120萬元，若新產(chǎn)品研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤100萬元，該企業(yè)可獲利潤的可能取值為0，100，120，220，，．故利潤超過100萬元的概率．18．（1）；（2）分；（3）分．（1）利用各組頻率和為1，列方程可求出的值；（2）直接計算平均數(shù)即可；（3）由于50到80的頻率和為，50到90的頻率和為，從而可知第百分位數(shù)在80到90之間，從而可計算得到解：解：（1）由于組距為10，所以有，從而．（2）平均數(shù)分．（3）因為50到80的頻率和為，50到90的頻率和為，所以第75百分位數(shù)為分．19．橫線處任填一個都可以，面積為．無論選哪一個，都先由正弦定理化邊為角后，由誘導(dǎo)公式，展開后，可求得角，再由余弦定理求得，從而易求得三角形面積．解：在橫線上填寫“”.解：由正弦定理，得.由，得.由，得.所以.又（若，則這與矛盾），所以.又，得.由余弦定理及，得，即.將代入，解得.所以.在橫線上填寫“”.解：由及正弦定理，得.又，所以有.因為，所以.從而有.又，所以由余弦定理及，得即.將代入，解得.所以.在橫線上填寫“”解：由正弦定理，得.由，得，所以由二倍角公式，得.由，得，所以.所以，即.由余弦定理及，得.即.將代入，解得.所以.【點睛】本題考查三角形面積公式，考查正弦定理、余弦定理，兩角和的正弦公式等，正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)換，求三角形面積時，①若三角形中已知一個角(角的大小或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求解這個角的兩邊或該角的兩邊之積，代入公式求面積；②若已知三角形的三邊，可先求其一個角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積，總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵．20．（1），；（2）．（1）由向量的線性運算法則計算；（2）設(shè)，，用方程組的思想，根據(jù)平面向量基本定理得出方程組，用表示，然后結(jié)合二次函數(shù)可得結(jié)論．解：解：（1）因為，所以，．（2）設(shè)，，所以，由（1）得，根據(jù)平面向量基本定理，得，從而，，因為，所以．從而．21．（1）證明見解析；（2）．（1）證明線線垂直可以找線面垂直，找出條件證明平面即可.（2）利用平行關(guān)系將原問題轉(zhuǎn)化為求的正弦值，利用直角三角形直接求解即可.解：（1）連接，交于點，連接.由已知得，因為為的中點，故,又，，平面,所以