新教材人教b版數(shù)學(xué)必修誘導(dǎo)公式(一)

7.2.4

誘導(dǎo)公式(一)1.誘導(dǎo)公式①sin(α+k·2π)=sinα,

cos(α+k·2π)=cosα,

tan(α+k·2π)=tanα(k∈Z).

【思考】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式①,終邊相同的角的同名三角函數(shù)值有何關(guān)系?提示:終邊相同的角,其同名三角函數(shù)的值相等.因?yàn)檫@些角的終邊都是同一條射線,根據(jù)三角函數(shù)的定義可知這些角的三角函數(shù)值相等.2.角的旋轉(zhuǎn)、對稱如圖,已知角α的終邊為OA,將射線OA逆時針旋轉(zhuǎn)θ到OB,順時針旋轉(zhuǎn)θ到OC;則射線OB是角α+θ的終邊,射線OC是角α-θ的終邊,所以角α+θ的終邊與角α-θ的終邊關(guān)于角α的終邊所在的直線對稱.【思考】角的正負(fù)與旋轉(zhuǎn)方向之間的關(guān)系?提示:將射線逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到正角,順時針方向旋轉(zhuǎn)得到負(fù)角.3.誘導(dǎo)公式②sin(-α)=-sinα,

cos(-α)=cosα,

tan(-α)=-tanα.

【思考】角-α的終邊與角α的終邊有什么關(guān)系?角-α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P2(cos(-α),sin(-α))與點(diǎn)P(cosα,sinα)有怎樣的關(guān)系?提示:角-α的終邊與角α的終邊關(guān)于x軸對稱,P2與P也關(guān)于x軸對稱.4.誘導(dǎo)公式③sin(π-α)=sinα,

cos(π-α)=-cosα,

tan(π-α)=-tanα.

【思考】角π-α的終邊與角α的終邊有什么關(guān)系?角π-α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P3(cos(π-α),sin(π-α))與點(diǎn)P(cosα,sinα)有怎樣的關(guān)系?提示:角π-α的終邊與角α的終邊關(guān)于y軸對稱,P3與P也關(guān)于y軸對稱.5.誘導(dǎo)公式④sin(π+α)=-sinα,

cos(π+α)=-cosα,

tan(π+α)=tanα.

【思考】角π+α的終邊與角α的終邊有什么關(guān)系?角π+α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P4(cos(π+α),sin(π+α))與點(diǎn)P(cosα,sinα)呢?提示:角π+α的終邊與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱;P4與P也關(guān)于原點(diǎn)對稱.【素養(yǎng)小測】

1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)誘導(dǎo)公式中角α是任意角. (

)(2)sin(α-π)=sinα. (

)(3) (

)提示:(1)×.正、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式中,α為任意角,但是正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式中,α的取值必須使公式中角的正切值有意義.(2)×.sin(α-π)=sin[-(π-α)]=-sin(π-α)=-sinα.(3)√.cos2.已知cos(π+θ)=,則cosθ= (

)【解析】選B.cos(π+θ)=-cosθ=,所以cosθ=-.3.下列各式不正確的是 (

)A.sin(α+180°)=-sinαB.cos(-α+β)=-cos(α-β)C.sin(-α-360°)=-sinαD.cos(-α-β)=cos(α+β)【解析】選B.cos(-α+β)=cos[-(α-β)]=cos(α-β),故B項(xiàng)錯誤.4.填空:sin600°=________.

【解析】sin600°=sin(720°-120°)=sin(-120°)=-sin120°=-sin(180°-60°)=-sin60°=-.答案:-類型一給角求值問題【典例】1.計(jì)算的值是(

)2.求下列各式的值:(1)sin(-1395°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°.(2)【思維·引】選擇恰當(dāng)?shù)恼T導(dǎo)公式,負(fù)角化正角,大角化小角,小角化銳角,然后利用特殊角的三角函數(shù)求值.【解析】1.選C.原式=2.(1)原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)=sin45°cos30°+cos60°sin30°(2)原式=【內(nèi)化·悟】對于(-2π,2π)之間的角,怎樣選擇誘導(dǎo)公式化簡?提示:當(dāng)一個角的絕對值不大時,一般選擇“公式②、③、④”進(jìn)行化簡.【類題·通】利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟(1)“負(fù)化正”:用誘導(dǎo)公式①或②來轉(zhuǎn)化.(2)“大化小”:用誘導(dǎo)公式①將角化為0°到360°間的角.(3)“小化銳”:用誘導(dǎo)公式③或④將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角.(4)“銳求值”:得到銳角的三角函數(shù)后求值.【習(xí)練·破】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α與角β均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于y軸對稱,若sinα=,則sinβ=________.

【解析】因?yàn)榻铅僚c角β均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于y軸對稱,所以α+β=π+2kπ,k∈Z,所以β=π+2kπ-α.sinβ=sin(π+2kπ-α)=sin(π-α)=sinα=.答案:

【加練·固】求sin585°cos1290°+cos(-30°)sin210°+tan135°的值.【解析】sin585°cos1290°+cos(-30°)sin210°+tan135°=sin(360°+225°)cos(3×360°+210°)+cos30°sin210°+tan(180°-45°)=sin225°cos210°+cos30°sin210°-tan45°=sin(180°+45°)cos(180°+30°)+cos30°·sin(180°+30°)-tan45°=sin45°cos30°-cos30°sin30°-tan45°類型二給值(式)求值問題【典例】1.已知sin=m,則sin=(

)A.mB.-m C.±m(xù) D.不確定2.若cos165°=a,則tan195°= 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(

)【思維·引】1.分析兩角π-α,α+π的特點(diǎn)能夠發(fā)現(xiàn),它們的和為2π,利用誘導(dǎo)公式即可求解.2.165°=180°-15°,195°=180°+15°,分別用誘導(dǎo)公式即可求解.【解析】1.選B.因?yàn)樗驭?所以2.選B.cos165°=cos(180°-15°)=-cos15°=a,故cos15°=-a(a<0),得sin15°=,tan195°=tan(180°+15°)=tan15°=【內(nèi)化·悟】怎樣找兩個角之間的關(guān)系?提示:解題時,我們一般把含有參變量的兩個角相加或相減,尋找兩個角之間的關(guān)系.對于不含參變量的角,我們一般直接觀察兩個角之間的關(guān)系,或者尋找給出角與特殊角之間的關(guān)系.【類題·通】解決給值求值問題的策略(1)解決給值求值問題,首先要仔細(xì)觀察條件式與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系.(2)可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化,或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化.【習(xí)練·破】1.已知sin(π+α)=,且α是第四象限角,則cos(α-2π)的值是 (

)【解析】選B.由sin(π+α)=,得sinα=-,而cos(α-2π)=cosα,且α是第四象限角,所以cosα=2.已知

【解析】因?yàn)?/p>

所以

【加練·固】已知sinβ=,cos(α+β)=-1,則sin(α+2β)的值為 (

)A.1 B.-1 C. D.-【解析】選D.因?yàn)閏os(α+β)=-1,所以α+β=π+2kπ,k∈Z,所以sin(α+2β)=sin[(α+β)+β]=sin(π+β)=-sinβ=-.類型三化簡求值問題【典例】1.計(jì)算:=________.

2.已知tan(π+α)=m,求值: 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號【思維·引】1.觀察的關(guān)系,分別用誘導(dǎo)公式化簡.2.先利用誘導(dǎo)公式求出tanα,再將所要求的式子化簡后代入求值.【解析】1.原式=答案:02.因?yàn)閠an(π+α)=m,所以tanα=m,=-tanα=-m.【內(nèi)化·悟】1.對于多個非特殊角的題目怎樣化簡?提示:對于多個非特殊角的題目,我們要仔細(xì)觀察角之間的關(guān)系,例如典例1中之間的關(guān)系,再選擇誘導(dǎo)公式化簡.2.怎樣解決復(fù)雜的三角函數(shù)式的化簡、求值和證明問題?提示:對于復(fù)雜的三角函數(shù)式,我們一般先利用誘導(dǎo)公式對每一項(xiàng)化簡,再合在一起;注意,化簡時一定要細(xì)心,盡量避免出現(xiàn)錯誤,特別是三角函數(shù)的符號錯誤.【類題·通】三角函數(shù)式的化簡方法(1)利用誘導(dǎo)公