用二分法求方程的近似解 名師獲獎(jiǎng)

3.1.2用二分法求方程的近似解

假設(shè)在區(qū)間[-1,5]上，f(x)的圖象是一條連續(xù)的曲線，且f(-1)>0,f(5)<0，即f(-1)f(5)<0，我們?cè)鯓右廊缟戏椒ㄇ蟮梅匠蘤(x)=0的一個(gè)解?-1f(x)yxO12345

像上面這種求方程近似解的方法稱為二分法.二分法的定義：定義：對(duì)于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法（bisection）.【思考】(1)所有的函數(shù)都有零點(diǎn)嗎？(2)若函數(shù)有零點(diǎn)，是否都可用二分法求出？xyoxyoxyo例1.求函數(shù)f(x)=x3+2x2-3x-6的正數(shù)零點(diǎn)(精確度為0.1).【解析】確定一個(gè)包含正數(shù)零點(diǎn)的區(qū)間(m，n)，且f(m)·f(n)<0.因?yàn)閒(0)=-6<0，f(1)=-6<0，f(2)=4>0，所以可以取區(qū)間(1,2)作為計(jì)算的初始區(qū)間.因?yàn)閒(1)=-6<0，f(2)=4>0，所以存在x0∈(1,2)，使f(x0)=0.用二分法逐步計(jì)算，列表如下：端點(diǎn)(中點(diǎn))端點(diǎn)或中點(diǎn)的函數(shù)值的符號(hào)取值區(qū)間f(1)<0,f(2)>0(1,2)f(1.5)<0(1.5，2)f(1.75)>0(1.5,1.75)由于|1.75-1.6875|=0.0625<0.1.∴函數(shù)的正零點(diǎn)的近似值為1.6875.端點(diǎn)(中點(diǎn))端點(diǎn)或中點(diǎn)的函數(shù)值的符號(hào)取值區(qū)間f(1.625)<0(1.625,1.75)f(1.6875)<0(1.6875,1.75)給定精確度,用二分法求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)近似值的步驟如下：1.確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精確度；2.求區(qū)間（a,b）的中點(diǎn)c；3.計(jì)算（1）若，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若,則令b=c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a,c))；（3）若,則令a=c（此時(shí)零點(diǎn)x0∈(c,b)).即若，則得到零點(diǎn)近似值a(或b）；4.判斷是否達(dá)到精確度：否則重復(fù)步驟2～4．例2.求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間（2，3）內(nèi)的零點(diǎn)（精確度為0.01）.解：畫出y=lnx及y=6-2x的圖象，觀察圖象得，方程lnx=6-2x有唯一解，記為x1，且這個(gè)解在區(qū)間（2，3）內(nèi)y=－2x+6y=lnx6Ox1234y根所在區(qū)間區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)中點(diǎn)值中點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)（2，3）f(2)<0,f(3)>02.5f(2.5)<0（2.5，3）f(2.5)<0，f(3)>02.75f(2.75)>0（2.5，2.75）f(2.5)<0，f(2.75)>02.625f(2.625)>0（2.5，2.625）f(2.5)<0,f(2.625)>02.5625f(2.5625)>0（2.53125，2.5625）f(2.5)<0f(2.5625)>0（2.5，2.5625）f(2.53125)<0f(2.5625)>0f(2.53125)<02.53906252.546875（2.53125，2.546875）2.53125f(2.5390625)>0f(2.53125)<0f(2.546875)>0（2.53125，2.5390625）f(2.546875)>0f(2.53125)<0,f(2.5390625)>0列出下表：由于所以，可以將作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值，也即方程的近似根.注意精確度2.二分法求函數(shù)零點(diǎn)步驟的記憶口訣定區(qū)間，找中點(diǎn)；中值計(jì)算兩邊看.同號(hào)丟，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間.重復(fù)做，何時(shí)止，精確度來(lái)把關(guān)口.1.下列函數(shù)不能用二分法求零點(diǎn)的是()(A)f(x)=3x-2(B)f(x)=log2x+2x-9(C)f(x)=(2x-3)2(D)f(x)=3x-32.用二分法求函數(shù)f(x)的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)時(shí)，經(jīng)計(jì)算f(0.64)<0，f