2023年春九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《二次函數(shù)綜合壓軸題》?？紵狳c(diǎn)專(zhuān)題訓(xùn)練(附答案)

2023年春九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《二次函數(shù)綜合壓軸題》?？紵狳c(diǎn)專(zhuān)題訓(xùn)練（附答案）

1．已知二次函數(shù)y＝x2+（k﹣2）x﹣2k．

（1）當(dāng)此二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求該二次函數(shù)的解析式；

（2）當(dāng)k＞0時(shí)，直線(xiàn)y＝kx+2交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）

，點(diǎn)P在線(xiàn)

段AB上，過(guò)點(diǎn)P作PM垂直x軸于點(diǎn)M，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)N．

①求PN的最大值（用含k的代數(shù)式表示）

；

②若拋物線(xiàn)與x軸交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)．在直線(xiàn)y＝kx+2上是否存在唯

一一點(diǎn)Q，使得∠EQO＝90°？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2．如圖，已知直線(xiàn)

與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)y＝ax2+3x+c經(jīng)過(guò)

B、C兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，點(diǎn)E的坐標(biāo)為

．

（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)E，F(xiàn)關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，Q點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上是

否存在點(diǎn)P，使得以E、F、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

3．如圖，拋物線(xiàn)y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，已

知點(diǎn)B（3，0）

．

（1）求直線(xiàn)BC及拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）P為x軸上方拋物線(xiàn)上一點(diǎn)．

①若S△PBC＝S△ABC，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②如圖，∥y軸交BC于點(diǎn)D，∥x軸交AC于點(diǎn)E，

PD

DE

求PD+DE的最大值；

（3）Q為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，若∠ACQ＝45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

4．綜合與實(shí)踐

如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+c的圖象交x軸于點(diǎn)A、點(diǎn)B，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）

，點(diǎn)

C的坐標(biāo)為（0，2）

，過(guò)點(diǎn)A、C的直線(xiàn)交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)D．

（1）求二次函數(shù)和直線(xiàn)AC的函數(shù)表達(dá)式；

（2）連接DB，則△DAB的面積為

；

；

（3）在y軸上確定點(diǎn)Q，使得∠AQB＝135°，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

（4）點(diǎn)M是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、

點(diǎn)D、點(diǎn)M、點(diǎn)N為頂點(diǎn)的四邊形是以AD為邊的矩形？若存在，請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)N的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

5．如圖，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（3，0）C（﹣1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B．

，

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）如圖1，點(diǎn)M是線(xiàn)段AB上方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊作平行四邊形ABMD，

連接OM，若OM將平行四邊形ABMD的面積分成為1：7的兩部分，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；

（3）如圖2，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BA勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)

Q從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AOB勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，

P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，點(diǎn)G在坐標(biāo)平面內(nèi)，使以B、P、Q、G

為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，直接寫(xiě)出所有符合條件的t值．

6．已知拋物線(xiàn)y＝mx2﹣3mx+n與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，與y軸交于點(diǎn)

C（0，3）

，且AB＝5；

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)N是線(xiàn)段OB上（端點(diǎn)除外）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作NM∥y軸，交BC于點(diǎn)P，

交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M，且PN：PM＝1：2．

①求此時(shí)的N點(diǎn)坐標(biāo)；

②試探究，在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得△CNQ為直角三角形，若存在，

請(qǐng)求Q點(diǎn)坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

7．

我們把函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn)定義為這個(gè)函數(shù)圖象上的

"互反點(diǎn)"例

．

如在二次函數(shù)y＝x2的圖象上，存在一點(diǎn)P（﹣1，1）

，則P為二次函數(shù)y＝x2圖象上的

"互反點(diǎn)"

．

（1）分別判斷y＝﹣x+3、y＝x2+x的圖象上是否存在"互反點(diǎn)"？如果存在，求出"互

反點(diǎn)"的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．

（2）如圖①，設(shè)函數(shù)y＝

（x＜0）y＝x+b的圖象上的"互反點(diǎn)"分別為點(diǎn)A，B，

，

過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C．當(dāng)△ABC的面積為5時(shí)，求b的值；

（3）如圖②，Q（m，0）為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)Q作直線(xiàn)l⊥x軸，若函數(shù)y＝﹣x2+2（x

m）的圖象記為W1，將W1沿直線(xiàn)l翻折后的圖象記為W2，當(dāng)W1，W2兩部分組成的

圖象上恰有2個(gè)"互反點(diǎn)"時(shí)，直接寫(xiě)出m的取值范圍．

8．已知拋物線(xiàn)y＝x2+6x+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊）

，與y軸交

于C點(diǎn)，且AB＝4．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）如圖1，在x軸下方拋物線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)G，GF∥y軸交線(xiàn)段AC于E點(diǎn)，連接AG，

CG交x軸于點(diǎn)M，若GE恰好平分∠AGC，求G點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

（3）如圖2，P為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)PO與拋物線(xiàn)交于另一點(diǎn)D，過(guò)D作y軸平行

線(xiàn)與直線(xiàn)PC交于點(diǎn)Q，試判斷Q點(diǎn)是否在一條固定的直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)．若是，請(qǐng)求出直線(xiàn)

的解析式；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

9．如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3（a0）

，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）B（3，0）兩點(diǎn)．

，

（1）求拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）連接AC、BC，N為拋物線(xiàn)上的點(diǎn)且在第四象限，當(dāng)S△NBC＝S△ABC時(shí)，求N點(diǎn)的

坐標(biāo)；

（3）在（2）問(wèn)的條件下，過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)l∥x軸，動(dòng)點(diǎn)P（m，3）在直線(xiàn)l上，動(dòng)點(diǎn)Q

（m，0）在x軸上，連接

PM、PQ、NQ，當(dāng)m為何值時(shí)，PM+PQ+QN最小，并求出

PM+PQ+QN的最小

值．

10．已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c（a＜0）過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）和C（0，3）與x軸交于另一點(diǎn)B，

，

頂點(diǎn)為D．

（1）求a、b滿(mǎn)足的關(guān)系式；

（2）對(duì)于拋物線(xiàn)上的任意兩點(diǎn)P1（x1，y1）P2（x2，y2）

，

，當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，恒有|x1﹣1|＝|x2

﹣1|．

①求拋物線(xiàn)解析式；

②AC與BD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)H，在x軸上方的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使得∠OPB＝∠

AHB．若存在，求出一個(gè)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

11連接AC，BC，點(diǎn)P是直線(xiàn)AC下方拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）連接AP，CP，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，△ACP的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；

（3）試探究：過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線(xiàn)1，交線(xiàn)段AC于點(diǎn)D，在直線(xiàn)l上是否存在點(diǎn)E，

使得以點(diǎn)D，C，B，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c，與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)E、

B．且點(diǎn)A（0，5）B（5，0）

，

，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與AB交于點(diǎn)M．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）若點(diǎn)P是直線(xiàn)AB上方拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，

連接PB，PM，求△PMB面積的最大值；

（3）若點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，在直線(xiàn)AB上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)M、E、P、Q為

頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

13．已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx過(guò)點(diǎn)A（1，4）B（﹣3，0）

、

，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)AC∥x軸，交拋物

線(xiàn)于另一點(diǎn)C，在x軸上有一點(diǎn)D（4，0）

，連接CD．

（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

（2）若在拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)Q，使得CD平分∠ACQ，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）在直線(xiàn)CD的下方的拋物線(xiàn)上取一點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作NG∥y軸交CD于點(diǎn)G，以NG

為直徑畫(huà)圓在直線(xiàn)CD上截得弦GH，問(wèn)弦GH的最大值是多少？

14．如圖①，已知拋物線(xiàn)L：y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3）B（1，0）

，

，過(guò)點(diǎn)A作AC∥x軸

交拋物線(xiàn)于點(diǎn)C，∠AOB的平分線(xiàn)交線(xiàn)段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線(xiàn)的關(guān)系式；

（2）若動(dòng)點(diǎn)P在直線(xiàn)OE下方的拋物線(xiàn)上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)△OPE面積最大時(shí)，求出

P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）將拋物線(xiàn)L向上平移h個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后所得拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)落在△OAE內(nèi)（包

括△OAE的邊界）

，求h的取值范圍；

（4）如圖②，F(xiàn)是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l上的一點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使△POF成

為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，

直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

15．已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0）B（4，0）D（0，﹣8）

，

，

．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c向上平移，使頂點(diǎn)E落在x軸上的P點(diǎn)，此時(shí)的拋物線(xiàn)

記為C，過(guò)P作兩條互相垂直的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C交于不同于P的M，N兩點(diǎn)（M位于N

的右側(cè)）

，過(guò)M，N分別作x軸的垂線(xiàn)交x軸于點(diǎn)M1，N1．

①求證：△PMM1∽△NPN1；

②設(shè)直線(xiàn)MN的方程為y＝kx+m，求證：k+m為常數(shù)．

16．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0）B（3，0）兩點(diǎn)，

，

與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣3）

．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，PH⊥x軸于點(diǎn)H，與BC交于

點(diǎn)M，連接PC．

①求線(xiàn)段PM的最大值；

②當(dāng)△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

17．如圖1，已知拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)

D．

（1）如圖1，若A為（﹣1，0）B為（3，0）

，

，求該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若C、D重合，且△ABC為等邊三角形，求c的值；

（3）如圖2，在（1）的條件下，連接AD，與BC相交于點(diǎn)E，點(diǎn)G是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，

在對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)F，使得∠EFG＝90°，且

F的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)y＝ax2﹣2x+c與x軸交于點(diǎn)A

（1，0）

，點(diǎn)B（﹣3，0）

，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，點(diǎn)P在第二象限的拋物線(xiàn)上，連

接PC、PO，線(xiàn)段PO交線(xiàn)段BC于點(diǎn)E．

（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

（2）若△PCE的面積為S1，△OCE的面積為S2，當(dāng)

時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）已知點(diǎn)C關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)N，連接BN，點(diǎn)H在x軸上，當(dāng)∠HCB

＝∠NBC時(shí)，

①求滿(mǎn)足條件的所有點(diǎn)H的坐標(biāo)

②當(dāng)點(diǎn)H在線(xiàn)段AB上時(shí)，點(diǎn)Q是

平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，保持QH

＝，連接BQ，將線(xiàn)段BQ繞著點(diǎn)

Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，

得到線(xiàn)段QM，

連接MH，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段MH的

取值范圍．

19．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0）B（﹣3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C．

，

（1）求該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）設(shè)該拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．

①在圖1中，當(dāng)﹣3＜t＜0時(shí)，求△PBO的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；

②在圖2中，若點(diǎn)P在該拋物線(xiàn)上，點(diǎn)E在該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，且以A，O，P，E為

頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

③在圖3中，若P是y軸左側(cè)該拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，是否

存在點(diǎn)P使得以點(diǎn)P，M，A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

20．如圖1所示拋物線(xiàn)與x軸交于O，A兩點(diǎn)，OA＝6，其頂點(diǎn)與x軸的距離是6．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)y＝x+m與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)Q．

①當(dāng)△POQ與△PAQ的面積之比為1：3時(shí)，求m的值；

②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線(xiàn)上時(shí)，過(guò)點(diǎn)B（3，3）的直線(xiàn)AB與直線(xiàn)PQ交于

點(diǎn)C，求PC+CQ的最大值．

參考答案

1．解：1）當(dāng)y＝0時(shí)，x2+2（k﹣2）x﹣2k＝0，

（

∴（x﹣2）x+k）＝0，

?

（

∴x1＝2，x2＝﹣k，

∵二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，

∴k＝﹣2，

∴該二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣4x+4；

（2）①設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，km+2）

，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，m2+（k﹣2）m﹣2k）

，

∴PN＝km+2﹣[m2+（k﹣2）m﹣2k]＝﹣m2+2m+2+2k＝﹣（m﹣1）2+3+2k，

∴當(dāng)m＝1時(shí)，PN取得最大值，最大值為3+2k；

②如圖，

存在唯一的Q點(diǎn)，使∠EQO＝90°：

設(shè)直線(xiàn)y＝kx+2交x軸于G，交y軸于H，OE的中點(diǎn)記作I，作IQ⊥GH于Q，連接IH，

當(dāng)IQ＝

，∠EQO＝90°且有唯一的點(diǎn)Q，

當(dāng)y＝0時(shí)，kx+2＝0，

∴x＝﹣，

∴OG＝，

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，

∴OH＝2，

∴GH＝

＝

，

由（1）知：OE＝k，

∴OI＝IQ＝，

∵S△GOH＝S△HOI+S△GIH，

∴

，

∴2×＝2×+

，

∴k＝．

2．解：1）在

（

中，令x＝0得y＝，令y＝0得x＝3，

∴B（3，0）C（0，）

，

，

把B（3，0）C（0，）代入y＝ax2+3x+c得：

，

，

解得

，

∴拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式是y＝﹣x2+3x+；

（2）在拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使得以E、F、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，理由如下：

∵y＝﹣x2+3x+＝﹣（x﹣1）2+6，

∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1，

∵E（0，

∴F（2，

）F關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)，

，

）

，

設(shè)Q（1，t）P（m，﹣m2+3m+）

，

，

①當(dāng)EF，PQ是對(duì)角線(xiàn)時(shí)，EF的中點(diǎn)即是PQ的中點(diǎn)，如圖：

∴

，

解得m＝1，

∵E（0，

∴EQ＝FQ，

∴以E、F、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，

）F關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)，

，

∴P（1，6）

；

②當(dāng)EQ，F(xiàn)P為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，EQ，F(xiàn)P的中點(diǎn)重合，如圖：

∴

，

解得

，

∴P（﹣1，0）Q（1，0）

，

，

而F（2，

）

，

∴FQ＝2＝PQ，

∴以E、F、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，

∴P（﹣1，0）

；

③當(dāng)EP，F(xiàn)Q為對(duì)角線(xiàn)，EP，F(xiàn)Q的中點(diǎn)重合，如圖：

∴

，

解得

，

∴P（3，0）Q（1，0）

，

，

而F（2，

）

，

∴FP＝QP＝2，

∴以E、F、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，

∴P（3，0）

，

綜上所述，P的坐標(biāo)是（1，6）或（﹣1，0）或（3，0）

．

3．解：1）將點(diǎn)B（3，0）代入y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）

（

，

∴m2+m＝0，

解得m＝0（舍）或m＝﹣1，

∴y＝﹣x2+4x﹣3，

令x＝0，則y＝﹣3，

∴C（0，﹣3）

，

設(shè)直線(xiàn)BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，

將點(diǎn)B（3，0）C（0，﹣3）代入，

，

得

解得

，

，

∴y＝x﹣3；

（2）①如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AP∥BC，則S△PBC＝S△ABC，

∵直線(xiàn)BC的解析式為y＝x﹣3，

∴直線(xiàn)AP的表達(dá)式為y＝x﹣1．

聯(lián)立

．

解得

（舍）或

，

∴P（2，1）

；

②由（1）知直線(xiàn)BC的表達(dá)式為y＝x﹣3，

設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y＝k'x+b'，

∴

解得

，

，

∴y＝3x﹣3，

設(shè)點(diǎn)P（t，﹣t2+4t﹣3）

，則點(diǎn)D（t，t﹣3）

，

∴PD＝﹣t2+4t﹣3﹣（t﹣3）＝﹣t2+3t，

，

，

∴

∴當(dāng)

＝﹣（t﹣

）2+

，

時(shí)，PD+DE取最大值

；

（3）如圖2，在拋物線(xiàn)上取點(diǎn)Q，使∠ACQ＝45°，

過(guò)點(diǎn)B作BM⊥BC，交CQ的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，

∵B（3，0）C（0，﹣3）

，

∴OB＝OC＝3，BC＝3

，

∴△OBC為等腰直角三角形，

∴△BMN為等腰直角三角形，

∵∠ACQ＝45°，

∴∠OCA＝∠BCM，

∵A（1，0）

，

∴

∴

∵

∴

，

，

，

，

∴BN＝NM＝1，

∴M（4，﹣1）

，

∴直線(xiàn)CQ的解析式為

，

設(shè)點(diǎn)

∴

整理得：

解得

∴

，

，

，

或n＝0（舍）

，

．

4．解：1）將B（2，0）代入y＝﹣x2+c得：0＝﹣4+c，

（

解得：c＝4，

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2+4．

當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+4＝0，

解得：x1＝﹣2，x2＝2，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0）

．

設(shè)直線(xiàn)AC的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b（k0）

，

將A（﹣2，0）C（0，2）代入y＝kx+b得：

，

，

解得：

，

∴直線(xiàn)AC的函數(shù)表達(dá)式為y＝x+2．

（2）聯(lián)立直線(xiàn)AC和拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式得：

，

解得：

，

，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3）

，

∴S△＝×|2﹣（﹣2）|×|3|＝6．

ABD

故答案為：6．

（3）當(dāng)點(diǎn)Q在y軸正半軸軸時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AC于點(diǎn)E，如圖1所示．

∵點(diǎn)A，B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，

∴AQ＝BQ，

∵∠AQB＝135°，

∴∠BAQ＝（180°﹣135°）＝22.5°．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0）

，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）

，

∴OA＝OC＝2，

∴∠OAC＝（180°﹣90°）＝45°，AC＝

OA＝2

，

∴∠CAQ＝∠OAC﹣∠BAQ＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠BAQ，

∴AQ平分∠OAC，

∴OQ＝EQ．

∵S△＝CQ?OA＝AC?EQ＝AC?OQ，

ACQ

∴（2﹣OQ）2＝2

?

∴OQ＝2

﹣2，

?OQ，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，2

﹣2）

．

當(dāng)點(diǎn)Q在y軸負(fù)半軸時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，2﹣2

）.

故答案為：0，2

（

﹣2）或（0，2﹣2

）

．

（4）連接BC，則AC⊥BC，即AD⊥BC，利用待定系數(shù)法可求出直線(xiàn)BC的函數(shù)表達(dá)式

y＝﹣x+2．

分兩種情況考慮，如圖2所示．

①當(dāng)四邊形ADMN為矩形時(shí)，設(shè)直線(xiàn)DM的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x+m，

將D（1，3）代入y＝﹣x+m得：﹣1+m＝3，

解得：m＝4，

∴直線(xiàn)DM的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x+4．

聯(lián)立直線(xiàn)DM和拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式得：

，

解得：

，

，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，4）

，

又∵四邊形ADMN為矩形，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣2+0﹣1，0+4﹣3）

，即（﹣3，1）

；

②當(dāng)四邊形ADNM為矩形時(shí)，同理可得出直線(xiàn)AM的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x﹣2，

聯(lián)立直線(xiàn)AM和拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式得：

，

解得：

，

，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，﹣5）

，

又∵四邊形ADNM為矩形，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1+3﹣（﹣2）3﹣5﹣0）

，

，即（6，﹣2）

．

綜上所述，存在這樣的點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、點(diǎn)D、點(diǎn)M、點(diǎn)N為頂點(diǎn)的四邊形是以AD

為邊的矩形，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣3，1）或（6，﹣2）

．

5．解：1）將（3，0）（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，

（

，

得

，

解得

，

∴

；

（2）連接AM，設(shè)AB與OM的交點(diǎn)為N，作NH⊥OA于點(diǎn)H，則NH∥OB，

∵A（3，0）B（0，4）

，

，

設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y＝kx+4，

∴3k+4＝0，

∴k＝﹣，

∴y＝﹣x+4，

設(shè)點(diǎn)M

∵S△BMN：S△ABM＝1：4，

∴S△BMN：S△ABM＝1：4，

，點(diǎn)N

，

∴BN：AN＝1：3，

∵NH∥OB，

∴△ANH∽△AOB，

∴

解得

∴

，即

，

，

，

∴直線(xiàn)OM的解析式為y＝4x，

聯(lián)立方程組

，

解得

，

∵點(diǎn)M在第一象限，

∴

，

；

∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為

（3）∵A（3，0）B（0，4）

，

，

∴OA＝3，OB＝4，

∴AB＝5，

①當(dāng)0＜t3時(shí)，P（t，4﹣t）Q（3﹣t，0）

，

，

∵四邊形BPQG是菱形，

當(dāng)BP＝PQ時(shí)，t2＝（t﹣3+t）2+（t）2，

解得t＝

或t＝5（舍）

；

當(dāng)BP＝BQ時(shí)，3﹣t）2+42＝t2，

（

解得t＝

（舍）

；

當(dāng)BQ＝PQ時(shí)，3﹣t）2+42＝（t﹣3+t）2+（t）2，

（

解得t＝0（舍）或t＝

（舍）

；

②當(dāng)3＜t5時(shí)，P（t，4﹣t）Q（0，t﹣3）

，

，

∵四邊形BPQG是菱形，

當(dāng)BP＝BQ，t2＝（7﹣t）2，

∴t＝3.5；

當(dāng)BP＝PQ時(shí)，t2＝（t）2+（4﹣t﹣t+3）2，

解得t＝7（舍）或t＝

（舍）

；

當(dāng)BQ＝PQ時(shí)，7﹣t）2＝（t）2+（4﹣t﹣t+3）2，

（

解得t＝0（舍）或t＝

綜上所述：t的值為

；

或3.5或

．

6．解：1）∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C（0，3）

（

，

∴將點(diǎn)C（0，3）代入拋物線(xiàn)y＝mx2﹣3mx+n中得：n＝3．

∴拋物線(xiàn)y＝mx2﹣3mx+3．

則對(duì)稱(chēng)軸是：

，

∵AB＝5，

∴A（﹣1，0）B（4，0）

，

，

將點(diǎn)A（﹣1，0）代入拋物線(xiàn)y＝mx2﹣3mx+3中得：

，

∴二次函數(shù)的解析式為：

（2）①∵C（0，3）B（4，0）

，

，

設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為：y＝kx+b

．

則

，解得：

，

∴直線(xiàn)BC的解析式為：

．

，

．

．

設(shè)點(diǎn)N（a，0）0＜a＜4）

（

，則點(diǎn)

∴

∵PN：PM＝1：2，

∴PM＝2PN．

即

，化簡(jiǎn)得：a2﹣6a+8＝0，

解得：a1＝2，a2＝4（舍去）

，

∴此時(shí)的N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）

；

②在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)Q，使得△CNQ為直角三角形．

△CNQ為直角三角形，分別以點(diǎn)C、Q、N為直角頂點(diǎn)，共3種情況：

第一種情況：如圖所示，以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥y軸交于點(diǎn)H．

∵∠QCN＝90°，∠QHC＝90°，∠CON＝90°，

∴∠HCQ+∠OCN＝90°，∠HCQ+∠HQC＝90°，

∴∠OCN＝∠HQC，

∴△HQC∽△OCN，

∴

，

由①可知點(diǎn)N（2，0）

，

∴ON＝2，

∵

，

設(shè)CH＝q，則

，

解得：q＝1，

∴yQ＝CH+CO＝1+3＝4∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

；

第二種情況：如圖所示，以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)，有兩個(gè)位置，分別為x軸上方和下方，設(shè)

對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)F．

當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)H．

同理可證：△HQC∽△FNQ，

∴

∵

，

，

設(shè)FQ＝q，則HQ＝FQ+HF＝q﹣3，

∴

，解得：q＝

或

（舍去）

，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，

）

；

當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)H．

同理可證：△HQC∽△FNQ，

∴

∵

，

，

設(shè)FQ＝q，則HQ＝FQ+HF＝﹣q+3，

∴

，解得q＝

或

（舍去）

，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，

）

；

）或（，

）

；

綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，

第三種情況：如圖所示，以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)，設(shè)對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)F．

同理可證：△FNQ∽△OCN，

∴

∵

，

，

設(shè)FQ＝q，則

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

，解得：

，

，

綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

7．解：1）y＝﹣x+3中，x+y＝3，

（

或（，

）或（，

）或

．

∴y＝﹣x+3的圖象上不存在"互反點(diǎn)"

；

y＝x2+x中，當(dāng)y＝﹣x時(shí)，﹣x＝x2+x，

解得x＝0或x＝﹣2，

∴（0，0）（﹣2，2）是y＝x2+x的圖象上的"互反點(diǎn)"

，

；

（2）y＝

解得x＝﹣

（x＜0）中，當(dāng)y＝﹣x時(shí)，﹣x＝

，

，

）

，

，

∴A（﹣

y＝x+b中，當(dāng)y＝﹣x時(shí)，﹣x＝x+b，

解得x＝﹣b，

∴B（﹣b，b）

，

∴BC＝|b|，

∴S△＝×|b|×|

ABC

﹣b|＝5，

；

解得b＝4

或b＝﹣2

（3）函數(shù)y＝﹣x2+2關(guān)于直線(xiàn)x＝m的對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)解析式為y＝﹣（x﹣2m）2+2，

由定義可知，

"互反點(diǎn)"在直線(xiàn)y＝﹣x上，

聯(lián)立方程組

，

整理得x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0，

＝（4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＝0，

解得m＝﹣，

當(dāng)m＜﹣時(shí)，y＝﹣（x﹣2m）2+2與y＝﹣x沒(méi)有交點(diǎn)，此時(shí)y＝﹣x與y＝﹣x2+2有兩

個(gè)交點(diǎn)，

∴m＜﹣時(shí)，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)"互反點(diǎn)"

；

當(dāng)x＝m時(shí)，y＝﹣m2+2，

∴函數(shù)y＝﹣x2+2與直線(xiàn)x＝m的交點(diǎn)為（m，﹣m2+2）

，

當(dāng)點(diǎn)（m，﹣m2+2）在直線(xiàn)y＝﹣x上時(shí)，﹣m2+2＝﹣m，

解得m＝﹣1或m＝2

當(dāng)m＝﹣1時(shí)，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有3個(gè)"互反點(diǎn)"

，

∴m＞﹣1時(shí)，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)"互反點(diǎn)"

；

當(dāng)m＝2時(shí)，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有1個(gè)"互反點(diǎn)"

，

∴m＜2時(shí)，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)"互反點(diǎn)"

；

∴﹣1＜m＜2時(shí)，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)"互反點(diǎn)"

；

綜上所述：﹣1＜m＜2或m＜﹣時(shí)，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)"互反點(diǎn)"

．

8．解：1）∵拋物線(xiàn)y＝x2+6x+c的對(duì)稱(chēng)軸為x＝﹣3，AB＝4，

（

∴A（﹣5，0）B（﹣1，0）

、

，

設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y＝a（x+3）2﹣4，

把A（﹣5，0）代入y＝a（x+3）2﹣4中，得4a﹣4＝0，

解得，a＝1，

∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝（x+3）2﹣4，即y＝x2+6x+5；

（2）令x＝0，則y＝5，

∴C（0，5）

，

設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y＝kx+b，

則

解得：

，

，

∴直線(xiàn)AC的解析式為y＝x+5，

設(shè)G（t，t2+6t+5）

，設(shè)直線(xiàn)GE與x軸交于點(diǎn)F，

如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥GE于H，

∵GE恰好平分∠AGC，

∴∠AGF＝∠CGH，

∴△AFG∽△CHG，

∴

＝

，即

＝

，

解得，t1＝0（舍去）t2＝﹣

，

∴G（﹣，﹣

）

，即G的橫坐標(biāo)是﹣；

（3）Q點(diǎn)在一條固定的直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，理由如下：

設(shè)P（m，m2+6m+5）

，

∵C（0，5）

，

∴直線(xiàn)CP解析式為y＝（m+6）x+5，

由O（0，0）P（m，m2+6m+5）得直線(xiàn)OP解析式為y＝

，

x，

解

得

，

，

∴xD＝，

在y＝（m+6）x+5中，令x＝得y＝

+5＝10+

，

∴Q（，10+

令x＝，y＝10+

則y＝10+6x，

）

，

，

即Q點(diǎn)在直線(xiàn)y＝6x+10上運(yùn)動(dòng)．

9．解：1）將A（﹣1，0）B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，

（

，

得：

，解得：

，

∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣x2+2x+3．

又∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，4）.

（2）連接AN，如圖1所示．

∵S△NBC＝S△ABC，且兩三角形有相同的底BC，

∴AN∥BC．

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）

．

設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y＝kx+c（k0）

，

將B（3，0）C（0，3）代入y＝kx+c，

，

得：

，解得：

，

∴直線(xiàn)BC的解析式為y＝﹣x+3．

設(shè)直線(xiàn)AN的解析式為y＝﹣x+d，

將A（﹣1，0）代入y＝﹣x+d得：1+d＝0，

解得：d＝﹣1，

∴直線(xiàn)AN的解析為y＝﹣x﹣1．

聯(lián)立兩函數(shù)解析式得：

，

解得：

（不符合題意，舍去）

，

，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，﹣5）

．

（3）過(guò)點(diǎn)M作MM′∥PQ，且MM′＝PQ，連接M′Q，如圖2所示．

∵M(jìn)M′∥PQ，且MM′＝PQ，

∴四邊形MM′QP為平行四邊形，

∴M′Q＝MP，

∴當(dāng)點(diǎn)M′，Q，N三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，PM+QN取最小值．

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，3）

，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，0）

，

∴PQ＝3，

∴MM′＝3，

∴點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（1，4﹣3）

，即（1，1）

．

設(shè)直線(xiàn)M′N(xiāo)的解析式為y＝px+q（p0）

，

將M′（1，1）N（4，﹣5）代入y＝px+q，

，

得：

，解得：

，

∴直線(xiàn)M′N(xiāo)的解析式為y＝﹣2x+3．

又∵點(diǎn)Q在直線(xiàn)M′N(xiāo)上，

∴0＝﹣2m+3，

∴m＝，此時(shí)M′N(xiāo)＝M′Q+QN＝MP+QN＝

＝3

．

，

∴當(dāng)m為時(shí)，PM+PQ+QN最小，PM+PQ+QN的最小值為3+3

10．解：1）∵拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c（a＜0）過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）和C（0，3）

（

，

∴

，

∴a﹣b+3＝0，

∴a﹣b＝﹣3；

（2）①∵對(duì)于拋物線(xiàn)上的任意兩點(diǎn)P1（x1，y1）P2（x2，y2）

，

，當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，恒有|x1﹣

1|＝|x2﹣1|，

∴該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1．

∴

＝1．

∴b＝﹣2a．

∵a﹣b＝﹣3，

∴a﹣（﹣2a）＝﹣3，

∴a＝﹣1．

∴b＝﹣2a＝2．

∴拋物線(xiàn)解析式為y＝﹣x2+2x+3；

②在x軸上方的拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P，

使得∠OPB＝∠AHB，

符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為0，

（

3）

．理由：

令y＝0，則﹣x2+2x+3＝0，

解：x＝3或﹣1，

∴B（3，0）

．

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4）

．

設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y＝dx+e，

∴

解得：

，

，

∴直線(xiàn)AC的解析式為y＝3x+3．

設(shè)直線(xiàn)BD的解析式為y＝kx+n，

，

解得：

．

∴直線(xiàn)BD的解析式為y＝﹣2x+6．

∴

，

解得：

，

∴H（，

）

．

過(guò)點(diǎn)H作HE⊥OB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥HB于點(diǎn)F，如圖，

則HE＝

，OE＝．

∵B（3，0）A（﹣1，0）C（0，3）

，

，

，

∴OB＝3，OC＝3，OA＝1．

∴BE＝OB﹣OE＝

∴BH＝

，AB＝OA+OB＝4．

＝

．

∵∠HEB＝∠OFB＝90°，∠HBE＝∠OBF，

∴△HEB∽△OFB，

∴

，

∴

∴BF＝

，AF＝

，

．

，

∴HF＝HB﹣BF＝

∴AF＝HF，

∵AF⊥BD，

∴△AFH為等腰直角三角形，

∴∠AHB＝45°．

∵OB＝OC＝3，∠COB＝90°，

∴∠OCB＝∠OBC＝45°，

∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，滿(mǎn)足∠OPB＝∠AHB＝45°，

∴在x軸上方的拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P，

使得∠OPB＝∠AHB，

符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為0，

（

3）

．

11．解：1）將A（﹣3，0）B（1，0）代入y＝x2+bx+c得：

（

，

，

解得：

，

∴y＝x2+2x﹣3；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PM∥y軸交直線(xiàn)AC于點(diǎn)M，

∵A（﹣3，0）C（0，﹣3）

，

，

設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為：y＝kx+n，

∴

∴

，

，

∴AC的解析式為：y＝﹣x﹣3，

∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，

∴P的坐標(biāo)是（m，m2+2m﹣3）

，則M的坐標(biāo)是（m，﹣m﹣3）

，

∴PM＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，

∵點(diǎn)P是直線(xiàn)AC下方拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

∴﹣3＜m＜0，

∴S＝?PM?OA＝（﹣m2﹣3m）＝﹣m2﹣m（﹣3＜m＜0）

；

（3）分兩種情況：

①如圖2，四邊形CDEB是菱形，

設(shè)D（t，﹣t﹣3）

，則E（t+1，﹣t）

，

∵四邊形CDEB是菱形，

∴CD＝BC，

∴（t﹣0）2+（﹣t﹣3+3）2＝12+32，

∴t＝±

∵t＜0，

∴t＝﹣

∴E（﹣

，

，

+1，

）

；

②如圖3，四邊形CBDE是菱形，

設(shè)D（t，﹣t﹣3）

，則E（t﹣1，﹣t﹣6）

，

∵四邊形CBDE是菱形，

∴CE＝BC，

∴（t﹣1﹣0）2+（﹣t﹣6+3）2＝12+32，

∴t＝0（舍）或﹣2，

∴E（﹣3，﹣4）

；

綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣

+1，

）或（﹣3，﹣4）

．

12．解：1）∵點(diǎn)A（0，5）B（5，0）在拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c上，

（

，

∴

∴

，

，

∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+4x+5；

（2）如圖，

∵A（0，5）B（5，0）

，

，

∴直線(xiàn)AB的解析式為y＝﹣x+5，

∵點(diǎn)M是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn)AB的交點(diǎn)，

∴M（2，3）

，

由（1）知，二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+4x+5，

過(guò)點(diǎn)P作PH∥y軸交AB于H，

設(shè)P（m，﹣m2+4m+5）0＜m＜5）

（

，

∴H（m，﹣m+5）

，

∴PH＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m，

∴S△PMB＝PH（xB﹣xM）＝（﹣m2+5m）5﹣2）＝﹣（x﹣）2+

（

∴當(dāng)x＝時(shí)，S△PMB最大＝

，

，

；

即△PMB面積的最大值為

（3）∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與y＝﹣x+5交于點(diǎn)M，

∴M（2，3）

，

設(shè)Q（a，﹣a+5）P（m，﹣m2+4m+5）

，

，

若EM＝PQ，四邊形EMPQ為平行四邊形，

∴

，

解得

或

，

∴Q（﹣1，6）或（0，5）

；

若EM＝PQ，四邊形EMQP為平行四邊形，同理求出Q（9，﹣4）

；

若EM為對(duì)角線(xiàn)，則

，

解得

（不合題意舍去）或

綜合以上可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（﹣1，6）或（0，5）或（9，﹣4）或（﹣5，10）

．

13．解：1）∵拋物線(xiàn)y＝ax2+bx過(guò)點(diǎn)A（1，4）B（﹣3，0）

（

、

，

∴

，

解得：

，

∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y＝x2+3x；

（2）當(dāng)y＝4時(shí)，則x2+3x＝4，

解得：x1＝﹣4，x2＝1，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣4，4）

，

∴AC＝1﹣（﹣4）＝5．

∵A（1，4）D（4，0）

，

，

∴AD＝

＝5．

取點(diǎn)E（﹣1，0）

，連接CE交拋物線(xiàn)于點(diǎn)Q，如圖1所示．

∵AC＝5，DE＝4﹣（﹣1）＝5，AC∥DE，

∴四邊形ACED為平行四邊形，

∵AC＝AD，

∴四邊形ACED為菱形，

∴CD平分∠ACQ．

設(shè)直線(xiàn)CE的表達(dá)式為y＝mx+n（m0）

，

將C（﹣4，4）E（﹣1，0）代入y＝mx+n，得：

、

，

解得：

，

∴直線(xiàn)CE的表達(dá)式為y＝﹣x﹣．

聯(lián)立直線(xiàn)CE與拋物線(xiàn)表達(dá)式成方程組，得：

，

解得：

，

，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣，﹣）

；

（3）設(shè)直線(xiàn)CD的表達(dá)式為y＝kx+c（k0）

，

將C（﹣4，4）D（4，0）代入y＝kx+c，得：

、

，

解得：

，

∴直線(xiàn)CD的表達(dá)式為y＝﹣x+2．

設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，x2+3x）

，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（x，﹣x+2）

，

∴NG＝﹣x+2﹣（x2+3x）＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+

，

∵﹣1＜0，

∴當(dāng)x＝﹣時(shí)，NG取最大值，最大值為

．

以NG為直徑畫(huà)⊙O′，取GH的中點(diǎn)F，連接O′F，則O′F⊥BC，如圖2所示．

∵直線(xiàn)CD的表達(dá)式為y＝﹣x+2，NG∥y軸，O′F⊥BC，

∴tan∠GO′F＝

∴

＝

＝，

，

∴GH＝2GF＝

O′G＝

×

NG，

∴弦GH的最大值為

＝

．

14．解：1）∵拋物線(xiàn)L：y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3）B（1，0）

（

，

，

∴

，解得

，

∴拋物線(xiàn)的解析式為：y＝x2﹣4x+3；

（2）如圖，過(guò)P作PG∥y軸，交OE于點(diǎn)G，

設(shè)P（m，m2﹣4m+3）

，

∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，

∴∠AOE＝45°，

∴△AOE是等腰直角三角形，

∴AE＝OA＝3，

∴E（3，3）

，

∴直線(xiàn)OE的解析式為：y＝x，

∴G（m，m）

，

∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，

∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG

＝PG?AE

＝×3×（﹣m2+5m﹣3）

＝﹣（m2﹣5m+3）

＝﹣（m﹣）2+

，

∵﹣＜0，

∴當(dāng)m＝時(shí)，△OPE面積最大，

此時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）

；

（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得拋物線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2，頂點(diǎn)為（2，﹣

1）

，

拋物線(xiàn)L向上平移h個(gè)單位長(zhǎng)度后頂點(diǎn)為F（2，﹣1+h）

．

設(shè)直線(xiàn)x＝2交OE于點(diǎn)DM，交AE于點(diǎn)N，則E（3，3）

，

∵直線(xiàn)OE的解析式為：y＝x，

∴M（2，2）

，

∵點(diǎn)F在△OAE內(nèi)（包括△OAE的邊界）

，

∴2﹣1+h3，

解得3h4；

（4）設(shè)P（m，m2﹣4m+3）

，分四種情況：

①當(dāng)P在對(duì)稱(chēng)軸的左邊，且在x軸下方時(shí)，如圖，過(guò)P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l

于N，

∴∠OMP＝∠PNF＝90°，

∵△OPF是等腰直角三角形，

∴OP＝PF，∠OPF＝90°，

∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，

∴∠OPM＝∠PFN，

∴△OMP≌△PNF（AAS）

，

∴OM＝PN，

∵P（m，m2﹣4m+3）

，

則﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，

解得：m＝

∴P的坐標(biāo)為（

（舍）或

，

，

）

；

②當(dāng)P在對(duì)稱(chēng)軸的左邊，且在x軸上方時(shí)，

同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，

解得：m1＝

（舍）或m2＝

，

∴P的坐標(biāo)為（

，

）

；

③當(dāng)P在對(duì)稱(chēng)軸的右邊，且在x軸下方時(shí)，

如圖，過(guò)P作MN⊥x軸于N，過(guò)F作FM⊥MN于M，

同理得△ONP≌△PMF，

∴PN＝FM，

則﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，

解得：m1＝

或m2＝

（舍）

；

P的坐標(biāo)為（

，

）

；

④當(dāng)P在對(duì)稱(chēng)軸的右邊，且在x軸上方時(shí)，如圖，

同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，

解得：m＝

或

，

（舍）

，

P的坐標(biāo)為：

（

）

；

，

）（

或

，

）（

或

，

）

綜上所述，P的坐標(biāo)是：

點(diǎn)

（

或（

，

）

．

方法二：作直線(xiàn)DE：y＝x﹣2，

E（1，﹣1）是D點(diǎn)（2，0）繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°并且OD縮小

倍得到，

倍的軌

易知直線(xiàn)DE即為對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，且到O點(diǎn)距離縮小

跡，

聯(lián)立直線(xiàn)DE和拋物線(xiàn)解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2，

解得x1＝

，x2＝

，

同理可得x3＝

或x4＝

；

，

）（

或

，

）（

或

，

）

綜上所述，P的坐標(biāo)是：

點(diǎn)

（

或（

，

）

．

15．1）解：將A（﹣2，0）B（4，0）D（0，﹣8）代入y＝ax2+bx+c，

（

，

，

∴

，

解得

，

∴y＝x2﹣2x﹣8，

∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，

∴E（1，﹣9）

；

（2）①證明：∵PN⊥PM，

∴∠MPN＝90°，

∴∠NPN1+∠MPM1＝90°，

∵NN1⊥x軸，MM1⊥x軸，

∴∠NN1P＝∠MM1P＝90°，

∴∠N1PN+∠PNN1＝90°，

∴∠MPM1＝∠PNN1，

∴△PMM1∽△NPN1；

②證明：由題意可知平移后的拋物線(xiàn)解析式為y＝（x﹣1）2，

設(shè)N（x1，kx1+m）M（x2，kx2+m）

，

，

聯(lián)立方程組

，

整理得x2﹣（2+k）x+1﹣m＝0，

∴x1+x2＝2+k，x1?x2＝1﹣m，

∵△PMM1∽△NPN1，

∴

＝

，即

＝

，

∴k+m＝（k+m）2，

∴k+m＝1或k+m＝0，

∵M(jìn)、N與P不重合，

∴k+m＝1，

∴k+m為常數(shù)．

16．解：1）將A，B，C代入函數(shù)解析式得，

（

，

解得

，

∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)＝x2﹣2x﹣3；

（2）①設(shè)BC的解析式為y＝kx+b，

將B，C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得，

，

解得

，

∴BC的解析式為y＝x﹣3，

設(shè)M（n，n﹣3）P（n，n2﹣2n﹣3）

，

，

PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，

當(dāng)n＝時(shí)，PM最大，

＝

∴線(xiàn)段PM的最大值；

②解法一：當(dāng)PM＝PC時(shí)，n2+3n）2＝n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，

（﹣

解得n1＝n2＝0（不符合題意，舍）n3＝2，

，

n2﹣2n﹣3＝﹣3，

P（2，﹣3）

．

當(dāng)PM＝MC時(shí)，n2+3n）2＝n2+（n﹣3+3）2，

（﹣

解得n1＝0（不符合題意，舍）n2＝3﹣

，

，n3＝3+

（不符合題意，舍）

，

n2﹣2n﹣3＝2﹣4

，

P（3﹣

，2﹣4

）

．

，2﹣4

）或（2，﹣3）

．

綜上所述：P（3﹣

解法二：當(dāng)PM＝PC時(shí)，

∵BC：y＝x﹣3，

∴∠ABC＝45°，

∵PH⊥AB，

∴∠BMH＝∠CMP＝45°，

∴PM＝PC時(shí)，△CPM為等腰直角三角形，CP∥x軸，

設(shè)P（n，n2﹣2n﹣3）

，則CP＝n，

MP＝﹣n2+3n，

∴n＝﹣n2+3n，

解得n＝0（舍去）或n＝2，

∴P（2，﹣3）

，

當(dāng)PM＝CM時(shí)，設(shè)P（n，n2﹣2n﹣3）

，

則

＝﹣n2+3n，

＝﹣n2+3n，

∵n＞0，

∴

n＝﹣n2+3n，

解得n＝3﹣

∴P（3﹣

，

，2﹣4

）

，

，2﹣4

）或（2，﹣3）

．

綜上所述：P（3﹣

17．解：1）將點(diǎn)A（﹣1，0）B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，

（

、

∴

，

解得

，

∴y＝﹣x2+2x+3；

（2）C、重合，

若

D

則拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，x＝﹣

即

＝﹣

＝0，

∴b＝0，

∴拋物線(xiàn)為y＝﹣x2+c，C（0，c）

，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠OBC＝∠OAC＝60°，AC＝BC，

∵OC⊥AB，

∴∠ACO＝∠BCO＝30°，

∴OB＝OA＝

∴A（﹣

將B（

c，

c，0）

，

c）2+c，

c，0）B（

，

c，0）代入y＝﹣x2+c得0＝﹣（

∴c＝0（不合題意，舍去）或3，

∴c的值為3；

（3）存在點(diǎn)F，使得∠EFG＝90°，且tan∠FEG＝，理由如下：

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1，

設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y＝kx+b，

∴

，

∴

，

∴y＝﹣x+3，

設(shè)直線(xiàn)AD的解析式為y＝k1x+b1，

∴

，

∴

，

∴y＝2x+2，

聯(lián)立方程組

，

解得

，

∴E（，）

，

設(shè)F（1，t）

，

如圖1，當(dāng)G點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，F(xiàn)點(diǎn)在E點(diǎn)下方時(shí)，

過(guò)點(diǎn)F作MN⊥y軸，E點(diǎn)作EM⊥x軸交MN于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥MN交于N點(diǎn)，

過(guò)

∵∠EFG＝90°，

∴∠EFM+∠FEM＝90°，∠EFM+∠GFN＝90°，

∴∠FEM＝∠GFN，

∴△EFM∽△FGN，

∴

＝

，

∵tan∠FEG＝，

∴

，

∴FN＝EM，GN＝MF，

∵EM＝﹣t，MF＝1﹣＝，

∴FN＝﹣t，GN＝，

∴G（﹣t，t+）

，

∴t+＝﹣（﹣t）2+2（﹣t）+3，

∴t＝2

+或t＝﹣2

+，

+）

；

∴F（1，2

+）或（1，﹣2

如圖2，當(dāng)G點(diǎn)對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，F(xiàn)點(diǎn)在E點(diǎn)下方時(shí)，

過(guò)E點(diǎn)作EK垂直對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥y軸，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥HF交于H，

∵∠EFG＝90°，

∴∠HFG+∠HFE＝90°，

∵∠HFE+∠EFK＝90°，

∴∠HFG＝∠EFK，

∴△HGF∽△KEF，

∴

，

∵tan∠FEG＝，

∴

，

∴HG＝EK，HF＝KF，

∵KF＝﹣t，EK＝1﹣＝，

∴HF＝﹣t，HG＝，

∴G（t﹣，t﹣）

，

∴t﹣＝﹣（t﹣）2+2（

t﹣）+3，

∴t＝

+（舍去）或t＝﹣

+）

；

+，

∴F（1，﹣

如圖3，當(dāng)F點(diǎn)在E點(diǎn)上方時(shí)，此時(shí)G點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，

過(guò)點(diǎn)F作PQ∥x軸，過(guò)點(diǎn)E作EP⊥PQ交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)G作GQ⊥PQ交于點(diǎn)Q，

∵∠EFG＝90°，

∴∠PFE+∠QFG＝90°，

∵∠PFE+∠PEF＝90°，

∴∠QFG＝∠PEF，

∴△PEF∽△QFG，

∴

，

∵tan∠FEG＝，

∴

，

∴PF＝2QG，PE＝2FQ，

∵PF＝，PE＝t﹣，

∴QG＝，F(xiàn)Q＝t﹣，

∴G（t﹣，t﹣）

，

∴t﹣＝﹣（

t﹣）2+2（

t﹣）+3，

解得t＝

或t＝

，

∵＜t＜4，

∴t＝

，

）

；

+

）或（1，﹣2

+

）或（1，﹣

∴F（1，

綜上所述：F點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2

（1，

+

）或

）

．

18．解：1）把點(diǎn)A（1，0）

（

，點(diǎn)B（﹣3，0）代入拋物線(xiàn)y＝ax2﹣2x+c中，

得：

解得：

，

．

∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）如圖1，過(guò)P作PG⊥y軸于G，過(guò)E作EH⊥y軸于H，

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，

∴C（0，3）

，

∴BC的解析式為：y＝x+3，

∵△PCE的面積為S1，△OCE的面積為S2，且

，

∴

＝，

∵EH∥PG，

∴△OEH∽△OPG，

∴

＝

＝

＝，

∴設(shè)E（3m，3m+3）

，則P（5m，﹣25m2﹣10m+3）

，

∴

＝

∴25m2+15m+2＝0，

（5m+2）5m+1）＝0，

（

m1＝﹣，m2＝﹣，

當(dāng)m＝﹣時(shí)，5m＝﹣2，則P（﹣2，3）

，

當(dāng)m＝﹣時(shí)，5m＝﹣1，則P（﹣1，4）

，

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣2，3）或（﹣1，4）

；

（3）①由對(duì)稱(chēng)得：N（﹣2，3）

，

∵∠HCB＝∠NBC，

如圖2，連接CN，有兩種情況：

i）當(dāng)BN∥CH1時(shí)，∠H1CB＝∠NBC，

∵CN∥AB，

∴四邊形CNBH1是平行四邊形，

∴H1（﹣1，0）

；

ii）當(dāng)∠H2CB＝∠NBC＝∠H1CB，

法一：∵∠CBO＝∠BCO＝45°，

∴∠CH1B＝∠H2CO，

∴△CH1O∽△H2CO，

∴H1O：CO＝CO：H2O，即1：3＝3：H2O，

∴H2O＝9，即H2（﹣9，0）

；

法二：設(shè)H2（n，0）

，直線(xiàn)CH2與BN交于點(diǎn)M，

∴BM＝CM，

∵B（﹣3，0）N（﹣2，3）

，

，

∴同理可得BN