波動和聲物理力學答案

第十章波動和聲思因為波是振動狀態(tài)的傳播，在媒質(zhì)中各體元都將重復波源的振動，所以一旦掌握了波源的振動規(guī)律，就可以得到波動規(guī)律，對不對？為什么？解：不對。因為要知道波動規(guī)律，不僅要知道波源的振動規(guī)律，還要知道媒質(zhì)的情況。在振源和無色散媒質(zhì)的條件下傳播機械波。（1）若波源頻率增加，問波動的波長、頻率和波速哪一個將發(fā)生變化？如何變？（2）波源頻率不變但媒質(zhì)改變，波長、頻率和波速又如何變？（3）在聲波波源頻率一定的條件下，聲波先經(jīng)過溫度較高的空氣，后又穿入溫度較低的空氣，問聲波的頻率、波長和波速如何變化？解：（1）頻率、波長將發(fā)生變化。頻率增加，波長減小。（2） 波速、波長變化，波的頻率不變。I （3） 因為v=,^R^，聲速與溫度有關(guān)，所以聲波先經(jīng)過溫度較高的空氣，波速大，□穿入溫度較低的空氣，波速變小。聲波頻率不變。波長變短。平面簡諧波中體元的振動和前一章所談質(zhì)點作簡諧振動有什么不同？解：（1）平面簡諧波中作簡諧振動的體元的園頻率①并非決定于振動系統(tǒng)本身性質(zhì)，而取決于波源的頻率，前一章所談質(zhì)點作簡諧振動的頻率決定于振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)。（2）平面簡諧波中體元振動的動能、勢能可同時達到最大值，能量以波速向外傳播，而且體元的勢能是因形變而為體元所有。前一章所談質(zhì)點作簡諧振動時，當動能最大時勢能為零，勢能最大時動能為零，振動系統(tǒng)的能量守衡，不向外傳播，而勢能屬于振動質(zhì)點和其它物體所共有，如：彈簧振子的勢能為質(zhì)點和彈簧所共有。10.4平面簡諧波方程y=Acos?（t--）中x取作某常數(shù)，則方程表示位移y作簡諧振v動；若取等于某常數(shù)，也表示位移作簡諧振動。這句話對不對？為什么？解：不對。因為平面簡諧波方程y=Acos譏t--）中x取作某常數(shù)，，而?不決定于振動v系統(tǒng)本身性質(zhì)，而取決于波源的頻率，所以不表示位移y作簡諧振動。當t等于某常數(shù)時，表示t時刻波線上各體元位移分布、波形，不表示位移y作簡諧振動。10.5波動方程空二巴圧的推導過程用到那些力學基本規(guī)律？其使用范圍如何？dt2 pdx2解：波動方程的推導過程用到胡克定律、牛頓第二定律。使用范圍：彈性媒質(zhì)并且各質(zhì)點的形變是在彈性限度內(nèi)。用手抖動張緊的彈性繩的一端，手抖的越快，振幅越大，波在繩上傳播得越快，又弱又慢的抖動，傳播得較慢，對不對，為什么？解：不對，因為波速僅與介質(zhì)有關(guān)，而于波源的頻率、振幅無關(guān)。手抖的快，波源頻率大，但波速不變，所以傳播的并不快，抖度即幅度決定于振源的振幅，所以幅度并不一定大波速和媒質(zhì)內(nèi)體元振動的速度有什么不同？解：波速是一定振動狀態(tài)（位相）向前傳播的速度，媒質(zhì)內(nèi)體元振動的速度是質(zhì)點位移隨時間變化的速度。所謂聲壓即有波傳播的媒質(zhì)中的壓強，對不對？解：不對。因為在有聲波傳播的空間，某一點在某一瞬時的壓強p與沒有聲波時壓強po的差，叫做該點處該瞬時的聲壓。舉例說明波的傳播的確伴隨著能量的傳播，波傳播能量與粒子攜帶能量有什么不同？解：(1)每個體兀的能量dE=pdvw2A2sin2w(t-—),每個體兀的能量由振動狀態(tài)決定，v而振動狀態(tài)又以波速傳播，所以能量也以波速傳播。例如：一質(zhì)點的振動能引起鄰近質(zhì)點的振動，鄰近質(zhì)點的振動又能引起較遠質(zhì)點的振動，質(zhì)點振動具有能量，說明能量也以波速傳播。(2)波傳播能量與粒子攜帶能量的區(qū)別：每個體兀的能量在波傳播過程中是隨時間作周期性變化的，而粒子攜帶能量不隨時間變化，如光子能量hv不隨時間變化。通過單位面積波的能量就叫能流密度。這種說法是否正確？能流密度和聲強有什么區(qū)別和聯(lián)系？解：(1)不對，因為能流密度的定義為單位時間通過與波的傳播方向垂直的單位面積的能量。(2)聯(lián)系：聲波平均能流密度的大小叫聲強。區(qū)別：能流密度是矢量，方向沿波傳播方向，聲強為標量。能否想出一個測量聲壓從而測出聲強的辦法？解：用聲壓計測出聲壓，代入聲強和聲壓的關(guān)系式I=人二即可測出聲強。2Z若兩列波不是相干波，則當相遇時相互穿過且互不影響，若為相干波則相互影響。這句話對不對？解：不對。因為不論兩列波是否為相干波，是否相遇，都各自以原有的振幅、波長和頻率獨立傳播，彼此互不影響。試舉出駐波和行波不同的地方。解：(1)行波中每個體兀的能量以波速傳播。駐波中沒有能量的定向傳播。(2)行波波形以波速向前傳播，駐波波形不變，不向前傳播。(3)行波是波，駐波不是波。若入射平面波遇到界面而形成反射平面波和透射平面波，問入射波和反射波的振幅是否可能相同？試解釋之。解：。不可能相同。'因為反射波和透射波能量都來自于入射波。但當兩媒質(zhì)波阻相差懸殊時，根據(jù)反射系數(shù)=(Z1-Z2)2，透射系數(shù)=1-反射系數(shù)。其中Z］與z+z 112z2為媒質(zhì)1和2的波阻。此時主要是反射，可認為反射波入射波振幅相同。210.15用手抖動兩端固定的弦使其振動，能否分析基頻和諧頻哪一個衰減得更快一些？如何分析？解：諧頻衰減得更快一些。因為阻尼的作用是難以避免的，振動質(zhì)點要克服外界阻力做功，能量就不斷減少，從而振幅不斷減小，振動發(fā)生衰減。諧頻的頻率高，振動的快，單位時間內(nèi)比基頻減少的能量多，所以諧頻衰減得更快一些。為什么用超聲波而不是普通聲波進行水中探測和醫(yī)學診斷。解：水中超聲波的衰減系數(shù)比在空氣中小得多，而且超聲波在軟組織和肌肉中衰減系數(shù)也較小，更兼超聲波波長短，直進性強，遇障礙物時易形成反射，所以用超聲波而不是普通聲波進行水中探測和醫(yī)學診斷。群速與相速有什么不同？解：相速是行波中一定的振動位相向前傳播的速度，群速是波包向前傳播的速率。無色散時二者相等，有色散時二者不等。習題10.2.1頻率在20至20000Hz的彈性波能使人耳產(chǎn)生聽到聲音的感覺。00C時，空氣中的聲速為331.5m/s，求這兩種頻率聲波的波長。解：根據(jù)公式X=-得V

.u331.5入.u331.5入=—= =1v20

1u 331.5入=—= 2v 2000016.58m=16.58x10-3m210.2.2一平面簡諧聲波的振幅為0.001m，頻率為1483Hz,在200C的水中傳播，寫出其波方程。解：此聲波在200C的水中傳播，其波速為u=1483m/s角頻率w=2兀v=2兀x1483=2966兀A=0.001m波方程為y=Acos(wt+WX)u=0.001cosj(966ct+2兀x)10.2.3已知平面簡諧波的振幅A=0.1cm，波長1m,周期為10-2s，寫出波方程(最簡形式)。又距波源9m和10m兩波面上的相位差是多少？解：選波源處為坐標原點，初相位為零的時刻為計時起點11v= = =102/sT10-2波方程y=(_波方程y==Acos2冗vt干——l九丿=10-3cosL冗Co21+咒力x=9m處振動相位a=2冗(02t+9)x=10m處振動相位a=2冗G21+10)位相差a-a=2兀21c,10.2.4寫出振幅為A,v=f波速為v=c,沿ox軸正方向傳播的平面簡諧波方程.波源在原點O,且當t=0時，波源的振動狀態(tài)被稱為零，速度沿oxc,解：根據(jù)題意波源的振動方程為y=Acos(wt+9)v=-AwsinWt+a)t=0y=Acosa=00v=-Awsina>00解之得a=--2x則波方程y=Acos[2nv(t- )+a]ux兀=Acos[2兀f(t-)-]c210.2.5已知波源在原點(x=0)的平面簡諧波方程為y=Acos(bt-cx),A,b,c均為常量.試求(1)振幅、頻率、波速和波長；(2)寫出在傳播方向上距波源/處一點的振動方程式，此質(zhì)點振動的初相位如何？解：(1)振幅A頻率v波速v

波長k=「=豐(2)距波源/處一點的振動方程式y(tǒng)=Acos(bt-c/)其振動初位相為-c/10.2.6一平面簡諧波逆x軸傳播，波方程為y=Acos2-v(t+-+3)，試利用改變計時起點的方法將波方程化成最簡形式。解：設(shè)相對于原來計時起點的某一時刻為t，相對于新的計時起點此瞬時為t/，且新計時起點可使原點初位相為零，貝I」 2—t/=2-v(t+3)t/=t+3這樣原波方程化為 y=Acos2-v(t/+X)計時起點提前3秒。u6f510.2.7平面簡諧波方程y=5cos2-(t+—)，試用兩種方法畫出t=s時的波形圖。(SI)6f5解：1)描點法x125311526_1575025y54.32.50-4-52)平移法兀 12=5cos—(x+—)25兀 12兀 12先做出y=5cos-x的波形曲線，再向左平移12個單位長，即得做之圖線25體元的位移-時間曲線。畫出t=3s,6s時的波形圖。解：根據(jù)已知得出平面簡諧波方程為txS=0.01cos2-(一)120.3x=0.20m處體元的振動方程為t 2 - 4S=0.01cos2-( 一)=0.01cos(t一-)12 3 6 34S/m

10.2.9二圖分別表示向右和向左傳的兩列平面簡諧波在某一瞬時的波形圖，說明此時xi、x2、x3以及E、E、E各質(zhì)元的位移和速度為正還是為負？它們的相位如何？（對于、和E只要求說明其相位在第幾象限）23解：根據(jù)波動就是振動狀態(tài)在空間的傳播，并且沿波的傳播方向各體元有一定位相落后設(shè)質(zhì)元振動最高處位相為2兀，這樣可判斷各點的相位。再根據(jù)圖形判斷位移的正負。根據(jù)波的 x1x2x312g3位移正最大負0正最大負0速度0負負最大0正正最大

位相2兀II象限兀22兀III象限3—兀210.2.10圖（a）、（b）分別表示t=0s和t=2s時的某一平面簡諧波的波形圖。試寫出此平面簡諧波波方程。4x/m4x/m九x2

波速u=— =— =0.25m/s22u0.25頻率v= = =0.125/s九2由圖知t=0時y=A則初位相a=0傳播方向為沿著ox正方向故波方程為y=2cos2kv（t一）u=2cos0.25=2cos0.25兀（t一x0.25=2cos冗（0.251—V）10.3.1一圓形橫截面的銅絲，受張力1.0N,橫截面積為1.0mm2。求其中傳播縱波和橫波時的波速各多少？銅的密度為8.9X103kg/m3，銅的楊氏模量為12X109N/m2解：由已知得T=1.0Np解：由已知得T=1.0Np=8.9x103kg/m3Y=12x109N/m2根據(jù)v橫'、根據(jù)v橫匸Vp=1.06x10m/sv=1.16x103m/s縱10.3.2 已知某種溫度下水中聲速為1.45X103m/s,求水的體變模量。解：根據(jù)v解：根據(jù)v流得K=v2p=（1.45x103）2x103=2.1x109Kg/ms210.4.1在直徑為14cm管中傳播的平面簡諧聲波。平均能流密度9erg/s.cm2,v=300Hz,u=300m/s.（1）求最大能量密度和平均能量密度，（2）求相鄰同相位波面間的總能量。解：（1）根據(jù)平均能流密度的大小為I=瓦

I 9乂10-7得平均能量密度為-= =3x10-5J/m3v 10-4x3x102又因為&=丄P?2A2而￡ =pro2A22最大所以￡ =2￡=6x10-5J/m3最大⑵相鄰同位相波面間的距離為九則管在九長的體積為V=nR2九=nR2—v總能量E=V￡=3.14x(7x10-2)2xX3x10-5=4.62x10-7J30010.4.2空氣中聲音傳播的過程可視作絕熱過程，其過程方程式為pvy=常量。求證聲壓，其中p0和v°表示沒有聲波傳播時一定質(zhì)量空氣的壓強p=p1-p0可表示作pa-YP0，其中p0和v°表示沒有聲波傳播時一定質(zhì)量空氣的壓強v0和體積，v是有聲波時空氣的體積。證明：由絕熱過程公式pvY=常量=0兩邊微分 pyVy-1dV+Vy=0則dp=-也匚空則dp=-也匚空dV=-py—VV?V0Vy而dVaV—V10V-V則Pa—yp—1 00V010.4.3面向街道的窗口面積約40m2,街道上的噪聲在窗口的聲強級為60dB，問有多少聲功率傳入室內(nèi)（即單位時間內(nèi)進入多少聲能）？解：根據(jù)聲強級公式L=10lg—dp沁p-p=P100—=106由已知L=60所以—=106I=Ix106=10-12x106=10-6w/m200窗口的面積為40m2則傳入室內(nèi)的聲功率為N=IS=10-6x40=4.0x10-5W10.4.4距一點聲源10m的地方，聲音的聲強級為20dB。求（1）距聲源5m處的聲強級；（2）距聲源多遠，就聽不見1000Hz的聲音了？解：（1）根據(jù)聲強級公式L=10lg—[dB]r1r1=10m處L=10lgdB]10由于聲源為點聲源，0由于聲源為點聲源，0故傳播的波為球面波，I r2—1-=~2—I r2—1-=~2—一I r221Ir2I= —=2r22其中I1為100251r1=10m處的聲強，I12為r2=5m處的聲強。I4IIL=10lg曠=10lgi=10lg4+10lg「=10lg4+L=10x0.60+20=26db5III10000（2）由（1）知10lg仃=20得I=100II100又剛好能聽見的1000Hz聲音的聲強約10-12W/m2為標準聲強I0設(shè)聲強為I處距點聲源為r00Ir2根據(jù)球面波的特點r=十得Ir201100I r2曠=—0—I 1000r=100m0音。10.5.1聲音干涉儀用于顯示聲波的干涉，見圖。薄膜S在電磁鐵的作用下振動。D為聲音檢測器，SBD長度可變，SAD長度固定。聲音干涉儀內(nèi)充滿空氣。當B處于某一位置時，在D處聽到強度為100單位的最小聲音，將B移動則聲音加大，當B移動1.65cm時聽到強度為900單位的最強音。（1）求聲波的頻率，（2）求到達D處兩聲波振幅之比。已知音。解：根據(jù)題意S的振動向兩個方向傳播成為兩列傳播方向相反的相干波，干涉結(jié)果為振動最強和最弱的點相距4尢（1）由已知得一=1.65cmX=6.6cm=6.6x10-2m4u342.4v= = =5188HzX6.6x10-2（2）由聲強公式I=—?2A2pu2得出2A2―1-A22由于兩列波的頻率相同且在同一媒質(zhì)中傳播，所以①=①得出2A2―1-A22由于兩列波的頻率相同且在同一媒質(zhì)中傳播，所以①=①12pu=pu）112'1001——V90=310.5.2兩個波源發(fā)出橫波，振動方向與紙面垂直，兩波源具有相同的相位，波長0.34m。(1)至少求出三個x數(shù)值使得在P點合振動最強，(2)求出三個x數(shù)值使得在P點合振動最弱。L-x解：由于兩個波源均發(fā)出橫波，在同一媒質(zhì)中傳播，波長又相同，故頻率一定相同。兩波源又具有相同的位相，即位相差恒定，由此得出兩波源為相干波源。兩波源在P點引起的振動為y=Acos(wt一kL)11y=Acos[wt一k(L一x)]22kx其位相差A=[wt—k(L—x)]—(wt—kL)=1)要使P點的合振動為最強kxA=kx=2n兀(n=0,1,2,...)2n冗x= =n入=0.34n2冗九當n=0,1,2時x=0x=0.34m x=0.68m2)要使P點的合振動為最弱(2n+(2n+1)冗2冗=(2n+1)九九A=kx=(2n+1)兀 (n=0，1，2，…)當n=0,1,2時x=0.17m x=0.51m x=0.85m10.5.3試證明兩列頻率相同、振動方向相同、傳播方向相反而振幅大小不同的平面簡諧波相疊加可形成一駐波與一行波的疊加。證明：根據(jù)題意，設(shè)這兩列波方程分別為y=Acos(wt—kx) (1)11y=Acos(wt+kx) (2)22其中A>A12根據(jù)波的疊加原理，可把第一列波視為兩列頻率相同、振動方向相同、傳播方向相同、初相相同、振幅分別為A和A/的波疊加而成，即2y=Acos(wt—kx)+A/cos(wt—kx)=y/+y〃1211顯然y/和y疊加而成駐波，而y//為一行波，即121y+y=Acos(wt一kx)+Acos(wt+kx)+A/cos(wt一kx)1222=(2Acoskx)cosot+A/cosc^t一kx)證畢210.5.4入射波y=10x10-4cos[2000兀(t-—)]在固定端反射，坐標原點與固定端相距340.51m，寫出反射波方程。無振幅損失。(SI)解：由已知條件可知反射波與入射波有相同的振幅、頻率、波長，因此只需求出反射波在原點的初相Q即可得出反射波的波方程。對入射波而言，設(shè)固定端比原點位相落后Q，在原點x=0，質(zhì)點的振動方程為在1Acoswt在固定端x=L質(zhì)點的振動表達式為y=Acos(wt-kL)2TOC\o"1-5"\h\z2兀 2兀則?=kL=L=0.51一1 九 九在固定端反射，有半波損失，即反射波比入射波在固定端位相落后兀則在固定端，反射波的位相為? =wt一? —兀212兀根據(jù)已知條件，反射波在原點的位相比在固定端的位相又落后0.51絲九故反射波在原點的初相2兀?=—?—兀一?=—x0.51x2—兀1 1九2冗x2=— x0.51—冗=—61冗341000x則反射波方程為y/=10x10-4cos[2000兀(t+ )—61兀]34x=10x10-4cos[2000兀(t+ )一兀]34tx入射波方程為y=Acos[2兀(+ )]，在x=0處的自由端反射，求反射波的波方程。無振幅損失。解：由于是在x=0處的自由端反射，即反射處與原點距離為零，并且自由端反射無半波損失，故反射波與入射波不僅振幅、頻率、波長、振動方向相同，而且初相也相同則反射波方程為txy=Acos2兀(—— )T九圖示某一瞬時入射波的波形圖，在固定端反射。試畫出此瞬時反射波的波形圖。無振幅損失。MP解：(1)首先假設(shè)無MN,將波形圖繼續(xù)向右方延伸

（2） 取PQ讓其到MN的距離為半個波長，將此半個波長的波去掉（即半波損失）（3） 將b點右邊的波形改為向左傳播的波，并平移到A點（即虛線部分），此波形圖即反射波形圖。10.5.7若10.5.6題圖中為自由端反射，畫出反射波波形圖。入射波解：（1）將圖形繼續(xù)向右方延伸（2）由于是自由端反射，無半波損失，在反射端入射波與反射波位相相同，因此只需把0點右方的波形改為向左傳播即可。10.5.8一平面簡諧波自左向右傳播，在波射線上某質(zhì)元A的振動曲線如圖示。后來此波在前進方向上遇一障礙物而反射，并與該入射平面簡諧波疊加而成駐波，相鄰波節(jié)波腹距離為3m,以質(zhì)元A的平衡位置為oy軸原點，寫出該入射波波方程。由振動圖線可知：振幅A=0.2mt/s周期由振動圖線可知：振幅A=0.2mt/s周期T=2s波速v設(shè)A點的振動表達式為x=Acos?t+?）由圖中可知當t由圖中可知當t=0時x=0v= =Asin@t+9)<0dt則0=Acos?得?=-2從而得入射波方程tx=0.2cos[2兀(2兀 兀=0.2cot一一y+一］6210.5.9同一媒質(zhì)中有兩個平面簡諧波波源作同頻率、同方向、同振幅的振動。二波相對傳播，波長8m。波射線上A、B兩點相距20m。一波在A處為波峰時，另一波在B處相位為--。求AB連線上因干涉而靜止的各點的位置。2解：根據(jù)題意，兩波源作同頻率、同方向、同振幅的振動，兩波相對傳播，波長均為8m,故兩波在媒質(zhì)中相遇，疊加而成駐波。以A為坐標原點建立A—x軸，設(shè)由A向B傳播的波方程為

y=Acos(①t一kx) 其中k=1 九8 4由B向A傳播的波方程為 y=Acosffl(t+kx+Q)2由已知條件：一波在A處為波峰時，另一波在B處位相為-巴，得此瞬時2wt一kx=2兀?t=2兀wt+kx兀+?=-即2兀+兀x20+?=兀得?=一&兀2422故y=15兀Acos(wt+kx-—兀)=Acos(wt+kx+)222兀y+y=Acos(wt一kx)+Acos(wt+kx+—)122TOC\o"1-5"\h\z兀 兀=2Acoskx+—)cosWt+—)44由于干涉而靜止的點為cos(kx+ )=04即kx+—=(2n+1)一 (n=0,1,2,...)42\o"CurrentDocument"兀 兀 兀貝I」——x+ =(2n+1)——4 4 2x=4n+1x=5m，x=9mx=5m，x=9m，12x=13m30x=17m410.5.10一提琴弦長50cm，兩端固定。不用手指按時，發(fā)出的聲音是A調(diào)：440Hz。若欲發(fā)出C調(diào)528Hz,手指應按在何處？解：琴弦發(fā)出聲音的音調(diào)是指基波頻率I j 根據(jù)弦振動頻率公式v= 在這里n=1即J= =—n2厶\lp 12厶+p 2L當手指不按時L=當手指不按時L=L=0.5m當手指按時L=L基頻率為v=440Hz1基頻率為V=528Hz22L2L440x0.5=0.4167m=41.67x10-2m528即手指按在41.67x10-2m處。倍，問弦10.5.11張緊的提琴弦能發(fā)出某一種音調(diào)，若欲使它發(fā)出的頻率比原來提高內(nèi)張力應增加多少倍？

倍，問弦解：弦振動的頻率公式V樂器發(fā)出聲音的音調(diào)指基頻即n=1設(shè)變化后的頻率為v/且v/=2v張力為T/則有v1 'T/v/=—2八p解：弦振動的頻率公式V樂器發(fā)出聲音的音調(diào)指基頻即n=1設(shè)變化后的頻率為v/且v/=2v張力為T/則有v1 'T/v/=—2八pIT/因為v/=2v所以丫一=2即T/=4TT弦內(nèi)張力應增加3倍。10.7.1 火車以速率v駛過一個在車站上靜止的觀察者，火車發(fā)出的汽笛聲頻率為f。求觀察者聽到的聲音的頻率的變化。設(shè)聲速是v0。