江西省宜春市樟樹臨江實驗學(xué)校2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

江西省宜春市樟樹臨江實驗學(xué)校2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知命題：，，那么是(

)A．，

B．，C．，

D．，參考答案：A2.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋···＋>(n>1，n∈N*)，在證明n＝k＋1這一步時，需要證明的不等式是（

）A．＋＋···＋>B．＋＋···＋＋>C．＋＋···＋＋>D．＋＋···＋＋＋>參考答案：D略3.5人站成一排，甲、乙兩人之間恰有1人的不同站法的種數(shù)為：

A、18

B、24

C、36

D、48參考答案：C4.下列說法中，正確的是(

)．

A．?dāng)?shù)據(jù)5，4，4，3，5，2的眾數(shù)是4

B．根據(jù)樣本估計總體，其誤差與所選擇的樣本容量無關(guān)

C．?dāng)?shù)據(jù)2，3，4，5的標(biāo)準(zhǔn)差是數(shù)據(jù)4，6，8，10的標(biāo)準(zhǔn)差的一半D．頻率分布直方圖中各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻數(shù)參考答案：C5.已知（）A．

B．

C．

D．參考答案：C

略6.直線在y軸上的截距是()A．|b|

B．－b2

C．b2

D．±b參考答案：B略7.已知隨機(jī)變量的值等于（

）A．0.5

B．0.2

C．0.3

D．0.4參考答案：D略8.設(shè)全集，集合，，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A9.當(dāng)0<x<時，函數(shù)f（x）=的最小值為

（

）A．2

B．2

C．4

D．4參考答案：C10.下列命題：①，；②，；③；④“”的充要條件是“且”中，其中正確命題的個數(shù)是（

）．A． B． C． D．參考答案：D或，所以①錯誤，②正確；或，所以③正確；且，所以④正確；綜上，正確命題的個數(shù)是．故選．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖像都過，如果，那么

．參考答案：12.已知圓，直線l：，當(dāng)圓上僅有2個點到直線l的距離為1，則b的取值范圍為

．參考答案：由圓上僅有個點到直線的距離為可得圓心到直線的距離滿足，由于，即，解得，

13.在我國明代數(shù)學(xué)家吳敬所著的《九章算術(shù)比類大全》中，有一道數(shù)學(xué)名題叫“寶塔裝燈”，內(nèi)容為“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅燈點點倍加增；共燈三百八十一，請問頂層幾盞燈？”（“倍加增”指燈的數(shù)量從塔的頂層到底層按公比為2的等比數(shù)列遞增）．根據(jù)此詩，可以得出塔的頂層和底層共有

盞燈．參考答案：195【考點】等比數(shù)列的前n項和．【分析】由題意可知燈的盞燈的數(shù)量從塔的頂層到底層構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為2，然后由等比數(shù)列的前7項和等于381列式計算即可．【解答】解：由題意可知燈的盞燈的數(shù)量從塔的頂層到底層構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為2，設(shè)塔的頂層燈的盞燈為x，則x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381，解得x=3，可以得出塔的頂層和底層共有x+64x=195盞燈．故答案為：195．14.若函數(shù)exf（x）（e=2.71828…，是自然對數(shù)的底數(shù)）在f（x）的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f（x）具有M性質(zhì)，下列函數(shù)：①f（x）=（x>1）

②f（x）=x2

③f（x）=cosx

④f（x）=2-x中具有M性質(zhì)的是__________.參考答案：①④15.半徑為R的半圓卷成一個圓錐，則它的體積為

．參考答案：

【考點】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）．【分析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，高為h，根據(jù)圓錐是由半徑為R的半圓卷成，求出圓錐的底面半徑與高，即可求得體積．【解答】解：設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，高為h，則2πr=πR，∴∵R2=r2+h2，∴∴V=×π××=故答案為：16.設(shè)，，若是的充分條件，則的取值范圍是

。參考答案：.因為是的充分條件，所以，則，解得.17.給出下列命題：

①向量的大小是實數(shù)

②平行響亮的方向一定相同

③向量可以用有向線段表示

④向量就是有向線段

正確的有_________________________參考答案：①③三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)的極小值為.（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.參考答案：（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）詳見解析【分析】（1）先由函數(shù)的極小值為，求出，利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可；（2）不等式恒成立問題，通常采用最值法，方法一,令，可以證明，方法二,要證，即證，再構(gòu)造函數(shù)證明即可得解.【詳解】（1）由題得的定義域為，，令，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）方法一：要證，即證，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.所以.由題知.因為，所以，即.方法二：由（1）知.解得，要證，即證.當(dāng)時，易知.令，則.當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.所以，即.令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即，所以，則當(dāng)時，，所以.綜上，.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及證明不等式，屬綜合性較強(qiáng)的題型.19.已知函數(shù)（Ⅰ）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，且對于任意，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；參考答案：解:⑴由y=x3+x－2，得y′=3x2+1，由已知得3x2+1=4，解之得x=±1.當(dāng)x=1時，y=0;當(dāng)x=－1時，y=－4.又∵點P0在第三象限,∴切點P0的坐標(biāo)為(－1,－4)…………….5分⑵∵直線,的斜率為4,∴直線l的斜率為,∵l過切點P0,點P0的坐標(biāo)為(－1,－4)∴直線l的方程為即………………10分略20.已知圓C過點P(1,1)，且與圓M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)關(guān)于直線x＋y＋2＝0對稱．(1)求圓C的方程；(2)設(shè)Q為圓C上的一個動點，求·的最小值；(3)過點P作兩條相異直線分別與圓C相交于A、B，且直線PA與直線PB的傾斜角互補(bǔ)．O為坐標(biāo)原點，試判斷直線OP和AB是否平行？請說明理由．參考答案：(1)設(shè)圓心C(a，b)，則解得則圓C的方程為x2＋y2＝r2.將點P的坐標(biāo)代入得r2＝2，故圓C的方程為x2＋y2＝2.(2)設(shè)Q(x，y)，則x2＋y2＝2，且·＝(x－1，y－1)(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，所以·的最小值為－4(可由線性規(guī)劃或三角代換求得)．(3)由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設(shè)PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)，由得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0，因為點P的橫坐標(biāo)x＝1一定是該方程的解，故可得xA＝．同理，xB＝，所以kAB＝＝＝＝1＝kOP，所以，直線AB和OP一定平行．21.（本小題滿分12分）現(xiàn)對某市工薪階層關(guān)于“樓市限購令”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽查了50人，他們月收入的頻數(shù)分布及對“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表．月收入（單位百元）[15,25[25，35[35，45[45，55[55，65[65,75頻數(shù)510151055贊成人數(shù)4812521（Ⅰ）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面2乘2列聯(lián)表并問是否有99%的把握認(rèn)為“月收入以5500為分界點對“樓市限購令”的態(tài)度有差異；

月收入不低于55百元的人數(shù)月收入低于55百元的人數(shù)合計贊成

不贊成

合計

（Ⅱ)若對月收入在[15，25），[25，35）的被調(diào)查人中各隨機(jī)選取1人進(jìn)行追蹤調(diào)查，求選中的2人中不贊成“樓市限購令”人數(shù)至多1人的概率。參考數(shù)據(jù)：參考答案：22.設(shè)正項數(shù)列{an}的前n項和Sn，且滿足Sn=a+（n∈N*）．（Ⅰ）計算a1，a2，a3的值，猜想{an}的通項公式，并證明你的結(jié)論；（Ⅱ）設(shè)Tn是數(shù)列{}的前n項和，證明：Tn＜．參考答案：【考點】8E：數(shù)列的求和．【分析】（Ⅰ）由已知條件利用遞推導(dǎo)思想求出a1=1，a2=2，a3=3．由此猜想an=n，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．（Ⅱ）證法一：由，利用裂項求和法和放縮法進(jìn)行證明．證法二：利用用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．【解答】（Ⅰ）解：當(dāng)n=1時，，解得a1=1，，解得a2=2，，解得a3=3．猜想an=n….3分，證明：（?。┊?dāng)n=1時，顯然成立．（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時，ak=k….4分，則當(dāng)n=k+1時，，結(jié)合an＞0，解