人教b版數(shù)學(xué)必修實(shí)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算

實(shí)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算1.n次方根（1）定義：給定大于1的正整數(shù)n和實(shí)數(shù)a，如果存在實(shí)數(shù)x，使得xn=a，則x叫做a的n次方根.（2）表示：n為奇數(shù)n為偶數(shù)a∈Ra>0a=0a<0___________0不存在【思考】對(duì)于式子中a一定是非負(fù)數(shù)嗎？如不是，其范圍是什么？提示：不一定是非負(fù)數(shù)，其范圍由n的奇偶決定；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a∈R；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a≥0.2.根式（1）當(dāng)有意義時(shí)，

稱為根式，n稱為根指數(shù)，a稱為被開方數(shù).（2）性質(zhì)：①②【思考】與中的字母a的取值范圍是否一樣？提示：取值范圍不同.式子中隱含a是有意義的，若n為偶數(shù)，則a≥0，若n為奇數(shù)，a∈R；式子中，a∈R.3.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪n為正整數(shù)，

有意義，且a≠0時(shí)，規(guī)定

正分?jǐn)?shù)___，

負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪s是正分?jǐn)?shù)，as有意義且a≠0時(shí)，規(guī)定a-s=【思考】分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中的有什么規(guī)定？提示：

為既約分?jǐn)?shù)，如果沒有特殊說明，一般總認(rèn)為分?jǐn)?shù)指數(shù)中的分?jǐn)?shù)都是既約分?jǐn)?shù).4.無理數(shù)指數(shù)冪當(dāng)a>0且t是無理數(shù)時(shí)，at是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).【思考】當(dāng)a>0時(shí)，式子ax中的x的范圍是什么？提示：x∈R.

提示：（1）×.當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，x=（2）×.（3）√.由無理數(shù)指數(shù)冪的意義可知正確.2.=________.

【解析】=32=9.答案：93.若x<0，則|x|+=________.

【解析】因?yàn)閤<0，所以原式=-x-x+1=1-2x.答案：1-2x類型一n次方根概念及相關(guān)的問題【典例】1.化簡等于 （）A.-2π

B.6

C.2π

D.-62.等于（）A.2

B.

C.

D.23.若+（a-3）0有意義，則a的取值范圍是________.

【思維·引】1.根據(jù)根指數(shù)的奇偶、π和3的大小化簡.2.將被開方數(shù)配成完全平方后化簡.3.根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)，0次冪的底數(shù)不等于0，求a的范圍.【解析】1.選D.=π-3-π-3=-6.2.選A.3.由得a≥2，且a≠3.答案：[2，3）∪（3，+∞）

【內(nèi)化·悟】1.對(duì)于根式化簡需要注意哪些？提示：注意n的奇偶和a的符號(hào).2.怎樣求根式中變量的范圍？提示：根指數(shù)是正的偶數(shù)時(shí)，被開方數(shù)非負(fù)，根指數(shù)為奇數(shù)時(shí)，被開方數(shù)為任意實(shí)數(shù).【類題·通】根式化簡與求值的思路及注意點(diǎn)（1）思路：首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式，然后運(yùn)用根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡.（2）注意點(diǎn)：①正確區(qū)分（

）n與兩式；②運(yùn)算時(shí)注意變式、整體代換，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的運(yùn)用，必要時(shí)要進(jìn)行討論.【習(xí)練·破】1.已知a∈R，n∈N*，給出下列4個(gè)式子：

其中無意義的有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.0個(gè)【解析】選A.①中-22n<0，所以無意義，②中根指數(shù)為3，有意義，③中（-2）2n>0，有意義，④中根指數(shù)為3，有意義.2.計(jì)算【解析】

==0.【加練·固】的值為（）A.-6

B.2-2

C.2

D.6【解析】選A.=-6，

所以原式=-6+4--4=-6.類型二分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的求值問題【典例】求下列各式的值. （1）

（2）

（3）

【思維·引】（1）將底數(shù)化為真分?jǐn)?shù)后求值.（2）將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)后求值.（3）先化為同底，再利用指數(shù)運(yùn)算法則求值.【解析】（1）原式=（2）原式==21=2.（3）原式=【內(nèi)化·悟】如果式子中含有多層根號(hào)，應(yīng)怎樣化簡求值？提示：先由內(nèi)向外分別化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算.【類題·通】1.根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的方法及思路（1）方法：根指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)（式）的指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子.（2）思路：在具體計(jì)算中，通常會(huì)把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)解題.提醒：如果根式中含有多重根號(hào)，要由里向外用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪寫出.2.關(guān)于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的求值若式子中含有根式，先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)，若式子中分?jǐn)?shù)指數(shù)冪底數(shù)不同，則先化同一底數(shù)，最后利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則先化簡后求值.【習(xí)練·破】求下列各式的值（1）

（2）

（3）

【解析】（1）原式=（2）原式==31=3.（3）原式=【加練·固】計(jì)算=________.

【解析】原式==36×22=2916.類型三分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的化簡問題角度1式子化簡【典例】（2019·衡陽高一檢測）

=________.

【思維·引】先將分母的根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)，再利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則化簡.【解析】答案：

【素養(yǎng)·探】在利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則化簡時(shí)，常常用到核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算，化簡式子或求值.本例中將式子變?yōu)?，試化簡該?【解析】原式=角度2條件求值【典例】已知，求的值.【思維·引】將已知的式子反復(fù)利用完全平方公式，將x的指數(shù)升高，再代入求值.【解析】由已知可得：x+x-1=（

）2-2=（

）2-2=3.+x-2=（x+x-1）2-2=32-2=7.原式=【類題·通】1.關(guān)于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則的應(yīng)用首先要分析式子的特點(diǎn)，確定化簡的層次和順序，一般從里到外依次化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，其次先進(jìn)行乘方運(yùn)算，再進(jìn)行同底數(shù)冪的運(yùn)算.2.解決條件求值問題的步驟【習(xí)練·破】1.化簡=________.

【解析】答案：

2.已知x+x-1=4，（0<x<1），求【解析】因?yàn)閤+x-1=4，所以（x+x-1）2=（x+x-1）2-4=12，因?yàn)?<x<1，所以x-x-1=-2，所以-x-2=（x+x-1）（x-x-1）=-8.又因?yàn)?x+x-1