數(shù)學人教八年級上冊（2013年新編）12-3-1 角的平分線的性質（當堂達標）

12.3.1角的平分線的性質夯實基礎篇一、單選題：1．用直尺和圓規(guī)作已知角的平分線的示意圖如右，則說明∠CAD=∠DAB的依據是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】A【知識點】三角形全等的判定（SSS）；作圖-角的平分線【解析】【解答】解：從角平分線的作法得出，△AFD與△AED的三邊全部相等，則△AFD≌△AED．故選A．【分析】利用三角形全等的判定證明．2．如圖，在中，，是的角平分線，于點E，若，.則的長是（）A． B． C． D．【答案】D【知識點】角平分線的性質【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AD是△ABC中∠CAB的角平分線，DE⊥AB于E，∴DE=DC，∴BD=4cm，BC=6cm，∴DC=BC-BD=6-4=2cm，∴DE=2cm.故答案為：D.【分析】由角平分線的性質“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”可得DE=DC，由線段的構成得DC=BC-BD，把已知條件代入計算即可求解.3．如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于點D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】B【知識點】角平分線的性質【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于點D，∴EC=DE，∴AE+DE=AE+EC=3cm.故答案為：B.【分析】直接利用角平分線的性質得出DE=EC，進而得出答案.4．如圖，直線a、b、c表示互相交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的站址有（）A．一處 B．二處 C．三處 D．四處【答案】D【知識點】角平分線的性質【解析】【解答】∵△ABC內角平分線的交點到三角形三邊的距離相等，∴△ABC內角平分線的交點滿足條件；如圖：點P是△ABC兩條外角平分線的交點，過點P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，∴PE=PF，PF=PD，∴PE=PF=PD，∴點P到△ABC的三邊的距離相等，∴△ABC兩條外角平分線的交點到其三邊的距離也相等，滿足這條件的點有3個；綜上，到三條公路的距離相等的點有4個，∴可供選擇的地址有4個．故答案為：D．

【分析】根據到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上可知三個內角的平分線交點、任意兩外角的平分線交點均可，共四處。5．如圖，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，AD是角平分線，DE⊥AB，垂足為E，則△BDE的周長為（）A．17 B．18 C．20 D．25【答案】C【知識點】直角三角形全等的判定（HL）；角平分線的性質【解析】【解答】解：∵AD是∠BAC的平分線，∠C=90°，DE⊥AB，∴ED=CD，在Rt△ADE和△RtADC中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），∴AC=AE，∴△BDE的周長=BE+BD+ED=AB-AC+BC=（13-5）+12=20.故答案為：C.【分析】利用角平分線的性質得到ED=CD，從而BC=BD+CD=DE+BD=12，即可求得△BDE的周長.6．如圖，是的角平分線，，，，分別是垂足，若，，則的長為（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】A【知識點】角平分線的性質【解析】【解答】解：∵，∴∴又∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴即AC=．故選：A．【分析】由AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，根據角平分線的性質，可得DE=DF，又由，△ABD的面積是△ACD的2倍，所以可得，即可求得答案．7．如圖，在中，平分，與交于點D，于點E，若，的面積為5，則的長為（）A． B． C． D．【答案】C【知識點】三角形的面積；角平分線的性質【解析】【解答】解：過點D作DF⊥BC，交BC的延長線于點F，如圖，∵的面積為，∴，∵，∴DF=2，∵平分，∴DE=DF=2故答案為：C．【分析】過點D作DF⊥BC，交BC的延長線于點F，根據三角形面積公式求出DF的長，再根據角平分線的性質即可得出DE的長．二、填空題：8．如圖，要在河流的南邊，公路的左側M區(qū)處建一個工廠，位置選在到河流和公路的距離相等，并且到河流與公路交叉A處的距離為1cm（指圖上距離），則圖中工廠的位置應在.【答案】∠BAC的平分線上，與A相距1cm的地方【知識點】角平分線的性質【解析】【解答】工廠的位置應在∠BAC的平分線上，與A相距1cm的地方；理由：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．【分析】根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等即可得出工廠的位置應在∠BAC的平分線上，且到A相距1cm的地方。9．如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，，DE=2，AB=4，則AC的長是．【答案】3【知識點】角平分線的性質【解析】【解答】如圖，過點D作DF⊥AC于F。

∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC

∴DF=DE=2

又∵+=7

∴

∴AB+AC=7

又∵AB=4

∴AC=3.

故答案為：3.

【分析】過點D作DF⊥AC于F，根據角平分線的性質得DF=DE=2，然后用+列出方程求解即可。10．如圖，BD是∠ABC的角平分線，DE⊥AB于E，△ABC的面積是15cm2，AB＝9cm，BC＝6cm，則DE＝cm．【答案】2【知識點】三角形的面積；角平分線的性質【解析】【解答】解：作DF⊥BC于F，設DE為x，∵BD是∠ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF=x，∴×AB×DE+×BC×DF=15，即4.5x+3x=15，解得，x=2cm，故答案為2．【分析】作DF⊥BC于F，設DE為x，根據角平分線的性質得到DE=DF=x，根據三角形的面積公式列出方程，解方程即可．11．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M、N，再分別以點M、N為圓心，大于MN的長半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP，交邊BC于點D，若CD=4，AB=15，則△ABD的面積是.【答案】30【知識點】角平分線的性質【解析】【解答】解：由題意得：AP是∠BAC的平分線，過點D作DE⊥AB于E.又∵∠C＝90°，∴DE＝CD，∴△ABD的面積AB?DE15×4＝30.故答案為：30.【分析】過點D作DE⊥AB于E，根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等得出DE＝CD=4，進而根據三角形的面積計算方法算出答案.12．如圖，在中，是邊上的高，平分，交于點，，，則的面積為.【答案】5【知識點】角平分線的性質【解析】【解答】作EF⊥BC于F，∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，∴EF=DE=2，∴S△BCE=BC?EF=×5×2=5.故答案為：5.【分析】作EF⊥BC于F，根據角平分線的性質求得EF=DE=2，然后根據三角形面積公式求得即可.13．如圖，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=20cm，則△DEB的周長為cm．【答案】20【知識點】全等三角形的判定與性質；角平分線的性質【解析】【解答】解：∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠ECD∵DE⊥BC于E，∴∠DEC=∠A=90°，在△ACD與△ECD中，∵，∴△ACD≌△ECD(ASA)，∴AC=EC，AD=ED，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠B=45°，∴BE=DE，∴△DEB的周長為：DE+BE+BD=AD+BD+BE=AB+BE=AC+BE=EC+BE=BC=20cm，故答案為：20.

【分析】根據平分線性質結合三角形全等判斷易證△ACD≌△ECD(ASA)，從而得到AC=EC，AD=ED，根據題意可得∠B=45°，從而得到BE=DE，再對線段進行等量替換可求出答案。14．如圖，在△ABC中∠ABC和∠ACB平分線交于點O，過點O作OD⊥BC于點D，△ABC的周長為18，OD=4，則△ABC的面積是．【答案】36【知識點】角平分線的性質【解析】【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA，∵OB是∠ABC的平分線，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE=OD=4，同理OF=OD=4，△ABC的面積=×AB×4+×AC×4+×BC×4=36．【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA，根據角平分線的性質求出OE=OD=4和OF=OD=4，根據三角形面積公式計算即可．三、解答題：15．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點E，點F在AC上，BE＝FC，求證：BD＝DF.【答案】解：∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點E，AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∠FCD＝∠DEB＝90o，在△CDF和△EDB中，∴△CDF≌△EDB（SAS），∴BD＝DF【知識點】全等三角形的判定與性質；角平分線的性質【解析】【分析】根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等得出CD＝DE，然后利用SAS判斷出△CDF≌△EDB，根據全等三角形的對應邊相等，即可得出結論。16．如圖所示，已知點P是△ABC三條角平分線的交點，PD⊥AB，若PD=5，△ABC的周長為20，求△ABC的面積．【答案】解:過P做PE⊥BC于E，PF⊥AC于F∵PA是∠BAC的角平分線∴PD=PF=5同理PE=PD=5∴S△ABC=S△ABP+S△BCP+S△ACP=×(AB×DP+BC×EP+AC×FP)=×5×(AB+BC+AC)=50【知識點】角平分線的性質【解析】【分析】過P做PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，由角平分線的性質，可得PE=PD=PF=5,然后，將使用三角形面積公式求出三角形APB,三角形CPB,三角形APC的面積，然后求和即可發(fā)現(xiàn)做的思路.17．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，點F在邊AC上，連接DF．（1）求證：AC=AE；（2）若AC=8，AB=10，求DE的長；（3）若CF=BE，直接寫出線段AB，AF，EB的數(shù)量關系.【答案】解：（1）∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠C=∠AED=90°，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC=AE．（2）∵∠C=90°，AC=8，AB=10，∴BC=6，∴△ABC的面積等于24，由（1）得：△ACD≌△AED，∴DC=DE，∵S△ACB=S△ACD+S△ADB，∴S△ACB=AC?CD+AB?DE，又∵AC=8，AB=10，∴24=×8×CD+AB?DE∴DE=；（3）∵AB=AE+EB，AC=AE，∴AB=AC+EB，∵AC=AF+CF，CF=BE∴AB=AF+2EB．故答案為：AB=AF+2EB．【知識點】全等三角形的判定與性質；角平分線的性質【解析】【分析】（1）先過點D作DE⊥AB于E，由于DE⊥AB，那么∠AED=90°，則有∠ACB=∠AED，聯(lián)合∠CAD=∠BAD，AD=AD，利用AAS可證．（2）由△ACD≌△AED，證得DC=DE，然后根據S△ACB=S△ACD+S△ADB即可求得DE．（3）由AC=AE，CF=BE，根據AB=AE+EB，AC=AF+CF即可證得．能力提升篇一、單選題：1．如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長分別是20、30、40，其三條角平分線將△ABC分為三個三角形，則S△ABO︰S△BCO︰S△CAO等于（）A．1︰1︰1 B．1︰2︰3 C．2︰3︰4 D．3︰4︰5【答案】C【知識點】角平分線的性質【解析】【解答】解：過點O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分別是D，E，F(xiàn)，

∵OA平分∠BAC，OD⊥AB，OF⊥AC

∴OD=OF，同理OD=OE

∴OD=OE=OF

∵S△ABO=，S△AOC=，S△BOC=

∴S△ABO︰S△BCO︰S△CAO=∶∶=AB：BC：AC=2：3：4

故答案為：C。

【分析】根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等可得OD=OE=OF，根據三角形的面積計算方法分別表示出三個三角形的面積，則三個三角形的面積之比就等于底之比，即AB：BC：AC=2：3：4。2．如圖是的角平分線，于E，點F，G分別是，上的點，且，與的面積分別是10和3，則的面積是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【知識點】三角形的面積；直角三角形全等的判定（HL）；角平分線的性質【解析】【解答】解：如圖，過點D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，DH⊥AC∴DF=DH，在Rt△DEF和Rt△DGH中，，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S△EDF=S△GDH=3，同理Rt△ADF≌Rt△ADH，∴S△ADF=S△ADH=∴S△AED=，故答案為：A.【分析】過點D作DH⊥AC于H，根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DF=DH，然后利用“HL”證明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根據全等三角形的面積相等可得S△EDF=S△GDH，然后根據S△ADF=S△ADH列出方程求解即可.3．如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB于點E，則下列結論:①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④若AC=4BE，則S△ABC=8S△BDE.其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【知識點】余角、補角及其性質；三角形的面積；角平分線的性質；三角形全等的判定（AAS）；角平分線的定義【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，

∴∠DAC=∠DAE.

∵∠C=90°，DE⊥AB，

∴∠C=∠E=90°.

∵AD=AD，∠DAC=∠DAE，∠C=∠E=90°，

∴△DAC≌△DAE，

∴∠CDA=∠EDA，

∴①AD平分∠CDE，正確.

無法證明∠BDE=60°，

∴③DE平分∠ADB錯誤.

∵BE+AE=AB，AE=AC，AC=4BE，

∴AB=5BE，AE=4BE，

∴S△ADB=5S△BDE，S△ADC=4S△BDE，

∴S△ABC=9S△BDE，④錯誤.

∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B，

∴∠BDE=∠BAC，

∴②∠BAC=∠BDE正確.

故答案為：B.

【分析】根據角平分線的概念以及性質可得∠DAC=∠DAE，∠C=∠E=90°，然后可證△DAC≌△DAE，根據全等三角形的性質可判斷①的正誤；無法推出∠BDE=60°，進而可判斷③的正誤；由線段的和差關系可推出AB=5BE，AE=4BE，利用三角形的面積公式不難判斷④的正誤；根據同角的余角相等可判斷②的正誤.二、填空題：4．如圖所示，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內角∠ABC平分線BP交于點P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝．【答案】【知識點】三角形的外角性質；直角三角形全等的判定（HL）；角平分線的性質【解析】【解答】延長BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，

設∠PCD=x°，

∵CP平分∠ACD，

∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，

∵BP平分∠ABC，

∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，

∴PF=PM，

∵∠BPC=40°，

∴∠ABP=∠PBC=∠PCD?∠BPC=(x?40)°，

∴∠BAC=∠ACD?∠ABC=2x°?(x°?40°)?(x°?40°)=80°，

∴∠CAF=100°，

在Rt△PFA和Rt△PMA中，

PA=PA

PM=PF，

∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL)，

∴∠FAP=∠PAC=50°.

【分析】根據外角與內角性質得出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案.5．如圖，在∠AOB的邊OA、OB上取點M、N，連接MN，P是△MON外角平分線的交點，若MN=2，S△PMN=2，S△OMN=7．則△MON的周長是；【答案】11【知識點】全等三角形的判定與性質；角平分線的性質【解析】【解答】解：如圖：作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，連結OP，

∵PM、PN分別平分∠AMN，∠BNM，

∴PF=PG=PE，

∵S△PMN=·MN·PF=2，MN=2，

∴PF=PG=PE=2，

由題易得：

△GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP，

∴GM=GF，F(xiàn)N=NE，OG=OE，

∴S△OPG=S△OPE=×（2+2+7）=，

即S△OPG=·OG·PG=，

∴OG=，

∴C△MON=OM+ON+MN，

=OM+ON+MF+FN，

=OM+ON+MG+NE，

=OG+OE，

=2OG，

=2×，

=11.

故答案為：11.【分析】作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，連結OP，根據角平分線的性質定理得PF=PG=PE，再由三角形面積公式得PF=PG=PE=2，據條件易得：△GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP，由全等三角形性質得GM=GF，F(xiàn)N=NE，OG=OE，S△OPG=·OG·PG=得OG=，由三角形周長和等量代換可得答案.6．如圖，ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP交于點P，延長BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，則下列結論中正確的是.①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP.【答案】①②③④【知識點】三角形的外角性質；直角三角形全等的判定（HL）；角平分線的性質；角平分線的判定【解析】【解答】解：①過點作于，平分，，，，∵平分，，，∴，，又∵，，CP平分∠ACF，故①正確；②∵，，∴，在和中，，，，同理：，，，，，，，，②正確；③∵，，∴，，平分，平分，，，，即，③正確；④由②可知，，，，，故④正確.故答案為：①②③④.【分析】過點P作PD⊥AC于D，由角平分線上的點到角兩邊的距離相等得PM=PN，PM=PD，推出PN=PD，進而根據到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上判斷出CP平分∠ACF，據此判斷①；證△PAM≌△PAD，△PCD≌△PCN，得到∠APM=∠APD，∠CPD=∠CPN，推出∠MPN=2∠APC，利用四邊形內角和為360°求出∠ABC+∠MPN的度數(shù)，據此判斷②；由三角形的任意一個外角等于與之不相鄰的兩個內角的和得∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠MAP=∠ABP+∠APB，由角平分線的概念可得∠CAE=2∠PAM，∠ABC=2∠ABP，據此判斷③；由全等三角形的面積相等得S△APD=S△APM，S△CPD=S△CPN，據此判斷④.三、解答題：7．在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點，且∠EDF+∠EAF=180°，求證DE=DF．【答案】證明：過D作DM