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2022-2023學(xué)年湖北省荊門市掇刀職業(yè)高級中學(xué)東校區(qū)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.三棱錐P﹣ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=1,PA=,則該三棱錐外接球的表面積為()A.5π B.π C.20π D.4π參考答案:A【考點】球的體積和表面積.【分析】根據(jù)題意,證出BC⊥平面PAC,PB是三棱錐P﹣ABC的外接球直徑.利用勾股定理結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出PB=,得外接球半徑R=,從而得到所求外接球的表面積【解答】解:PA⊥平面ABC,AC⊥BC,∴BC⊥平面PAC,PB是三棱錐P﹣ABC的外接球直徑;∵Rt△PBA中,AB=,PA=∴PB=,可得外接球半徑R=PB=∴外接球的表面積S=4πR2=5π故選A.2.下課后教室里最后還剩下2位男同學(xué)和2位女同學(xué),如果剩下的同學(xué)只能一個一個地離開教室,則第二位走的是男同學(xué)的概率是(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:A略3.已知定義在上的函數(shù)滿足:的圖象關(guān)于點對稱,且當時恒有,當時,,則(
)(其中為自然對數(shù)的底)A.
B.
C.
D.參考答案:A4.已知命題,則是(
)A.B.C.D.參考答案:C略5.在△ABC中,∠A=60°,a=,b=3,則△ABC解的情況(
)A.無解 B.有一解 C.有兩解 D.不能確定參考答案:A【考點】正弦定理.【專題】計算題;解三角形.【分析】由a,b及sinA的值,利用正弦定理即可求出sinB的值,求解即可.【解答】解:由正弦定理得:即,解得sinB=,因為,sinB∈,故角B無解.即此三角形解的情況是無解.故選A.【點評】此題考查學(xué)生靈活運用正弦定理化簡求值,掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),是一道基礎(chǔ)題.6.如果復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點在第二象限,則A.B.C.
D.參考答案:D7.設(shè)函數(shù)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點,則實數(shù)a的取值范圍是:A、, B、, C、, D、,參考答案:A略8.圓與直線的位置關(guān)系是()A.相交
B.相切C.相離D.直線過圓心參考答案:A略9.已知中,,,的對邊分別為三角形的重心為.,則
(
)
參考答案:B略10.設(shè)全集,集合,則=(
).(A)
(B)
(C)
(D)參考答案:A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.將某班的60名學(xué)生編號為01,02,…,60,采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為5的樣本,且隨機抽得的一個號碼為03,則剩下的四個號碼依次是.參考答案:15,27,39,51【考點】系統(tǒng)抽樣方法.【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特征可知抽樣是等距抽樣的原則,構(gòu)造一個等差數(shù)列,將四個學(xué)生的號碼從小到大成等差數(shù)列,建立等式關(guān)系,解之即可.【解答】解:用系統(tǒng)抽樣抽出的5個學(xué)生的號碼從小到大成等差數(shù)列,公差為12,隨機抽得的一個號碼為03則剩下的四個號碼依次是15,27,39,51,故答案為:15,27,39,5112.函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)為
.參考答案:【考點】導(dǎo)數(shù)的運算.【分析】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式進行求導(dǎo)即可.【解答】解:函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′==,故答案為:13.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E為線段B1C上的一點,則三棱錐A-DED1的體積為_____.參考答案:以△為底面,則易知三棱錐的高為1,故14.函數(shù)f(x)=x﹣lnx的單調(diào)減區(qū)間為.參考答案:{x|0<x<1}【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【分析】先求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),然后令導(dǎo)函數(shù)小于0求x的范圍即可.【解答】解:∵f(x)=x﹣lnx∴f'(x)=1﹣=令<0,則0<x<1故答案為:{x|0<x<1}15.設(shè)是的兩個非空子集,如果存在一個從到的函數(shù)滿足;(i);(ii)對任意,當時,恒有.那么稱這兩個集合“保序同構(gòu)”.現(xiàn)給出以下4對集合:①;②;③;④其中,“保序同構(gòu)”的集合對的對應(yīng)的序號是_________(寫出所有“保序同構(gòu)”的集合對的對應(yīng)的序號).參考答案:②③④略16.若中心在原點,對稱軸為坐標軸的橢圓過點,且長軸長是短軸長的倍,則其標準方程為
.參考答案:或17.已知,則▲參考答案:1三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.設(shè)橢圓()經(jīng)過點,,是橢圓的左、右焦點,且的面積為.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)為坐標原點,過橢圓內(nèi)的一點作斜率為的直線與橢圓交于,兩點,直線,的斜率分別為,,若對任意實數(shù),存在實,使得,求實數(shù)的取值范圍.參考答案:(1)設(shè)的焦點,,∵,面積為,∴,∴,由,得∴橢圓的方程為.(2)設(shè)直線的方程為,由·得,設(shè),,則.
.由對任意成立,得,∴,又在橢圓內(nèi)部,∴,∴,即.19.(14分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.(1)求證:PC⊥BC;(2)求點A到平面PBC的距離.參考答案:(1)證明:∵PD⊥平面ABCD,BC平面ABCD,∴PD⊥BC.----------------------------------------------------------1分∴平面PBC⊥平面PCD.∵PD=DC,PF=FC,∴DF⊥PC.又∴平面PBC∩平面PCD=PC,∴DF⊥平面PBC于F.易知DF=,故點A到平面PBC的距離等于.(方法二):連接AC,設(shè)點A到平面PBC的距離為h.∵AB∥DC,∠BCD=90°,∴∠ABC=90°.
由AB=2,BC=1,得△ABC的面積S△ABC=1.由PD⊥平面ABCD,及PD=1,得三棱錐P-ABC的體積V=S△ABC·PD=.∵PD⊥平面ABCD,DC平面ABCD,∴PD⊥DC.又∴PD=DC=1,∴PC==.由PC⊥BC,BC=1,得△PBC的面積S△PBC=.∵VA-PBC=VP-ABC,∴S△PBC·h=V=,得h=.故點A到平面PBC的距離等于.20.已知圓若圓的切線在軸和軸上的截距的絕對值相等,求此切線的方程.參考答案:解:圓當直線截距相等且不為0時,設(shè)直線方程為:,即,則
解得,所以方程為:當直線截距互為相反數(shù)且不為0時,設(shè)直線為:同理可求得:.所以直線方程為:當直線截距為0時,過坐標原點,y軸不合題意.設(shè)直線為解得:所以直線方程為:綜上可知:直線方程為:或或略21.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且(I)求角A的大小;
(II)若,△ABC的面積為,求的值.參考答案:(Ⅰ)
由正弦定理得:
------------2分即
-------------------------------5分
-------------------------------6分(Ⅱ)由,得-------------------------7分由及余弦定理得,
-------------------------------------------10分
------------------------12分22.求曲線y=x3的過(1,1)的切線方程.參考答案:【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程.【專題】計算題;導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用.【分析】①若(1,1)為切點,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f(x)在x=2處的導(dǎo)數(shù),從而求出切線的斜率,再用點斜式寫出切線方程;②若不是切點,設(shè)出切點坐標,求出切線的斜率,由點斜式寫出切線方程,把原點代入切線方程中化簡可求出切點的橫坐標,把橫坐標代入即可求出切點的縱坐標,且得到切線的斜率,即可求出切線方程.【解答】解:y=x3的導(dǎo)數(shù)y′=3x2,①若(1,1)為切點,k=3?12=3,∴切線l:y﹣1=3(x﹣1)即3
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