第三講分離變量法-課件

第三講分離變量法分離變量法是求解線性偏微分方程定解問題的普遍方法之一，它適用于各種類型的偏微分方程?；舅枷胧菍⒍嘣瘮?shù)化為單元函數(shù)，將偏微分方程化為常微分方程進(jìn)行求解。具體做法是首先求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的特解，然后由疊加原理作出這些解的線性組合，最后由其余的定解條件確定疊加系數(shù)。由于要將滿足齊次偏微分方程和齊次邊界條件的解通過變量分離,將其轉(zhuǎn)化為常微分方程的定解問題.為此，我們首先復(fù)習(xí)二階線性常微分方程求解公式及傅里葉級(jí)數(shù)理論。2020/10/281

一、基礎(chǔ)知識(shí)2020/10/282精品資料2020/10/2832、傅立葉級(jí)數(shù)若函數(shù)f(t)的周期為T=2L，則傅里葉展開式為2020/10/284狄利克雷收斂定理：若函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)且在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則1、當(dāng)x是連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于該點(diǎn)的函數(shù)值；2、當(dāng)x是間斷點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于該點(diǎn)左右極限的平均值。2020/10/285

二.有界弦的自由振動(dòng)

例1.研究兩端固定均勻的自由振動(dòng).求解定解問題特點(diǎn):方程齊次,邊界齊次.2020/10/286

設(shè)且不恒為零，代入方程和邊界條件中得①

由不恒為零，有：取參數(shù)2020/10/287④

②

…..……..③④利用邊界條件2020/10/288則

⑤

特征值問題

參數(shù)稱為特征值，下面分三種情形討論特征值問題的求解函數(shù)X(x)稱為特征函數(shù)。2020/10/289由邊值條件(i)方程通解為(ii)時(shí)，通解由邊值條件得：C1=C

2=0

從而，無意義.

無意義2020/10/2810

由邊值條件：從而即：(iii）時(shí)，通解故而得2020/10/2811再求解T：其解為所以兩端固定弦本的征振動(dòng)疊加…….⑤

2020/10/2812代入初始條件得：將展開為Fourier級(jí)數(shù)，比較系數(shù)得

定解問題的解是Fourier正弦級(jí)數(shù)，這是在x＝0和x=l處的第一類齊次邊界條件決定的。2020/10/2813則無窮級(jí)數(shù)解為如下混合問題的解上，，且定理：若在區(qū)間2020/10/2814解：令,得化簡:引入?yún)?shù)得例2：研究兩端自由棒的自由縱振動(dòng)問題.第二類邊界條件2020/10/2815得C1=C

2=0從而，無意義分離變量：

時(shí)，由邊值條件2020/10/2816(ii) 時(shí),,(iii)時(shí),則而由邊值條件由邊值條件從而2020/10/2817本征值本征函數(shù)T的方程其解為2020/10/2818所以故代入初始條件:將展開為傅立葉余弦級(jí)數(shù)，比較系數(shù)得

解為傅立葉余弦級(jí)數(shù)，由端點(diǎn)處的二類齊次邊界條件決定.2020/10/2819

三.有限長桿的熱傳導(dǎo)問題

對于齊次熱傳導(dǎo)方程的定解問題,其解題過程和波動(dòng)方程的過程類似.所以下面的例題我們僅給出主要步驟.2020/10/2820其中為給定的函數(shù).

例１．齊次熱傳導(dǎo)方程的定解問題

2020/10/2821令代入方程及邊界條件中,并引入?yún)?shù)得當(dāng)或時(shí),特征值問題當(dāng)時(shí),由邊界條件

2020/10/2822從而特征函數(shù)為：

2020/10/2823T的方程

解得

所以2020/10/2824將疊加,利用初始條件確定系數(shù)將初始條件代入上式，得所以系數(shù)2020/10/2825分離變量流程圖2020/10/2826例２．細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題

長為的均勻細(xì)桿，設(shè)與細(xì)桿線垂直截面上各點(diǎn)的溫度相等，側(cè)面絕熱，端絕熱，端熱量自由散發(fā)到周圍介質(zhì)中，介質(zhì)溫度恒為0，初始溫度為求此桿的溫度分布。

解：定解問題為

2020/10/2827設(shè)且

得本征值問題

由及齊次邊界條件，有

2020/10/2828當(dāng)或時(shí),當(dāng)時(shí),

由得

由得故

即

令有函數(shù)方程2020/10/2829ry圖1由圖1看出，函數(shù)方程有成對的無窮多個(gè)實(shí)根故本征值為：

2020/10/2830對應(yīng)的本征函數(shù)的方程：解為故可以證明函數(shù)系在上正交由初始條件得將展成以為基底的付氏級(jí)數(shù)，確定

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