向量法解立體幾何及經(jīng)典例題(上課用)

向量法解立體幾何及經(jīng)典例題(上課用)

本文介紹了向量法解立體幾何中的平行和垂直關(guān)系判定方法。首先，對(duì)于直線和平面，我們可以用它們的方向向量和法向量來(lái)判定它們的平行和垂直關(guān)系。對(duì)于直線，任意兩點(diǎn)之間的向量都是它的方向向量，與其平行的任意非零向量也是它的方向向量；對(duì)于平面，若一個(gè)向量垂直于平面，則它是平面的法向量。我們可以用待定系數(shù)法來(lái)求平面的法向量，即建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z)，求出平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的坐標(biāo)a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)，根據(jù)法向量定義建立方程組n·a=0，n·b=0，解方程組即可得到平面的法向量。其次，對(duì)于線線、線面和面面的平行關(guān)系判定，我們可以用向量的點(diǎn)乘和向量的倍數(shù)關(guān)系來(lái)判定。對(duì)于線線平行，只需證明它們的方向向量平行即可；對(duì)于線面平行，只需證明直線的方向向量與平面的法向量垂直即可；對(duì)于面面平行，只需證明兩個(gè)平面的法向量平行即可。同樣地，對(duì)于線線、線面和面面的垂直關(guān)系判定，只需證明它們的方向向量或法向量垂直即可。最后，我們可以通過(guò)一些例題來(lái)加深理解。例如，對(duì)于四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=6，E是PB的中點(diǎn)，DF:FB=CG:GP=1:2，要證明AE//FG；對(duì)于直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延長(zhǎng)A1C1的法至點(diǎn)P，使C1P＝A1C1，連接AP交棱CC1于D，要證明B1D⊥平面ABD，平面EGF∥平面ABD。如果$\anglePAB$和$\anglePAD$不垂直，則$\anglePAB+\anglePAD<90^\circ$，而$\angleBAP+\angleDAP=90^\circ$，因此$\angleBAP+\angleDAP<\anglePAB+\anglePAD$，與已知矛盾。所以$\anglePAB$和$\anglePAD$垂直。同理可證$\anglePBC$和$\anglePDC$垂直。（2）已知$PA=PC=1$，$PB=PD=2$，求$\angleAPB$的大小。由余弦定理，$AB^2=AP^2+BP^2-2AP\cdotBP\cos\angleAPB$，$CD^2=CP^2+DP^2-2CP\cdotDP\cos\angleCPD$。因?yàn)?AB=CD$，$AP=CP=1$，$BP=DP=2$，$\angleBAP=\anglePDC=90^\circ$，$\anglePAB=\anglePDC$，$\anglePBC=\anglePAD$，代入上式得到$\cos\angleAPB=-\frac{1}{4}$，因此$\angleAPB=\arccos\left(-\frac{1}{4}\right)$。2、（2016年全國(guó)Ⅰ卷22題）點(diǎn)$P$在以$z$軸正向?yàn)檩S的圓錐曲面$x^2+y^2-z^2=0$上，且$P$到平面$x+y+z=0$的距離為$1$，則點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為_(kāi)_______。設(shè)$P$的坐標(biāo)為$(x,y,z)$，則$x^2+y^2-z^2=0$表示$P$在圓錐曲面上，$x+y+z=0$表示$P$在平面上。由于$P$到平面的距離為$1$，因此$\frac{|x+y+z|}{\sqrt{3}}=1$，即$|x+y+z|=\sqrt{3}$。又因?yàn)?P$在圓錐曲面上，所以$x^2+y^2=z^2$，代入平面方程得到$x+y=\pm\sqrt{3}$。解得$x=\pm\frac{1}{2}$，$y=\pm\frac{1}{2}$，$z=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$P$的坐標(biāo)為$(\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2},\pm\frac{\sqrt{2}}{2})$。3、（2015年全國(guó)Ⅱ卷21題）已知四面體$ABCD$的底面$ABC$是等邊三角形，$AB=1$，$E$是底面$ABC$內(nèi)部一點(diǎn)，且$DE\perpAB$，$DE=1$，$AE=2$，$BE=3$，則四面體$ABCD$的體積為_(kāi)_______。設(shè)$M$為$DE$與$AB$的交點(diǎn)，則$AM=2$，$BM=1$，$DM=\sqrt{DE^2+EM^2}=\sqrt{2}$。又因?yàn)?AB=BC=CA=1$，所以$\triangleABC$的高$h=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\triangleABD$的高$h_1=DM=\sqrt{2}$，$\triangleACD$的高$h_2=EM=\frac{\sqrt{3}}{2}$。因此四面體$ABCD$的體積$V=\frac{1}{3}S_{\triangleABC}h=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{24}$。4、（2014年全國(guó)Ⅰ卷21題）已知函數(shù)$f(x)=\ln\sqrt{1+x^2}-\arctanx$，$x\in(-\infty,+\infty)$，則$f(x)$的值域?yàn)開(kāi)_______。對(duì)于任意$x\in(-\infty,+\infty)$，有$\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$。又因?yàn)?\fracfl31rfr{dx}\ln\sqrt{1+x^2}=\frac{x}{1+x^2}$，$\fracl11fjfj{dx}\arctanx=\frac{1}{1+x^2}$，所以$\fracbnt1h1n{dx}f(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{x}{1+x^2}=\frac{1-x^2}{1+x^2}$。因此當(dāng)$x\in(-1,1)$時(shí)，$f(x)$單調(diào)遞減，當(dāng)$x<-1$或$x>1$時(shí)，$f(x)$單調(diào)遞增。又因?yàn)?\lim_{x\to\pm1}f(x)=\ln\sqrt{2}-\frac{\pi}{4}$，所以$f(x)$的值域?yàn)?\left(-\infty,\ln\sqrt{2}-\frac{\pi}{4}\right]$。5、（2013年全國(guó)Ⅰ卷22題）已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}$，$x\in(-1,1)$，則$f(x)$的值域?yàn)開(kāi)_______。因?yàn)?\frac{1+x}{1-x}>0$，所以$f(x)$的定義域?yàn)?(-1,1)$。又因?yàn)?\lim_{x\to-1^+}f(x)=+\infty$，$\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty$，所以$f(x)$的值域?yàn)?(-\infty,+\infty)$。2．（2018年1卷18題）已知正方形ABCD中，PA=PD=AB=DC，且∠APD=90°，求二面角A-P-B-C的余弦值。3．（2019年1卷18題）已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，B1B1，A1D的中點(diǎn)。（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值。4．（2020年1卷18題）如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD?！鰽BC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點(diǎn)，PO=6DO。（1）證明：PA⊥平面PBC；（2）求二面角B-PC-E的余弦值。6．例3：已知空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1-B1C1A，A1為原點(diǎn)，A1B1，A1C1，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸。點(diǎn)B1(1,0,1)，D(0,1,x)，P(0,2,0)。（Ⅰ）在△PAA1中有C1D=AA1，即D(0,1,4)。設(shè)平面BA1D的一個(gè)法向量為n1=(a,b,c)，則n1·AB1=a+c=0，n1·AD=b+c=0。令n1=(1,-1,1)，則n1·B1P=1×(-1)+2×(-1)+1×1=-2，故PB1∥平面BA1D。例4：已知在空間直角坐標(biāo)系中，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA、BC、B1B所在直線分別為x軸、y軸、z軸。點(diǎn)D(0,2,2)，B1(0,0,4)，BA=a，則A(a,0,0)。所以BA=(a,0,0)，BD=(0,2,2)，B1D=(0,2,-2)。由于B1D·BD=0+4-4=0，所以B1D⊥BD，B1D⊥BA。又因?yàn)锽A∩BD=B，所以B1D垂直于平面ABD。根據(jù)已知條件，可以得到E(0,0,3)，G(2,1,4)，F(xiàn)(0,1,4)，因此EG=√2，B1D·EF=√2，即B1D垂直于EG，B1D垂直于EF。又因?yàn)镋G∩EF=E，所以B1D垂直于平面EGF。結(jié)合BA∩BD=B，可以得到平面EGF平行于平面ABD。例5：已知空間直角坐標(biāo)系如圖所示，其中A(0,0,0)，B(3,1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,32)，E(0,0,22)，F(xiàn)(3,1,2)。根據(jù)已知條件，可以得到C1E=(0,-2,-2)，CF=(3,-1,2)，C1E·CF=2-2=0，因此CF垂直于C1E。例6：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，取BC中點(diǎn)O，連接AO。由于△ABC為正三角形，所以AO垂直于BC。又因?yàn)槠矫鍭BC垂直于平面BCC1B1，所以AD垂直于平面BCC1B1。取B1C1中點(diǎn)O1，以O(shè)1為原點(diǎn)，OB、OO1、OA的方向?yàn)閤、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，D(-1,1,0)，A1(0,1,3)。例7：已知菱形ABCD，且∠DAB=60°，則△ABD為等邊三角形。又因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以BE=EA=1/2。連接BD，則∠EDB=30°，∠BDC=60°，因此∠EDC=90°。建立坐標(biāo)系D-ECP，設(shè)AD=AB=1，則PF=FD=√3/3，ED=√3/2?？梢缘玫絇(1/2,1/2,1)，E(1/2,0,1/2)，PB=(√3/3,-1/3,-3/2)，PE=(-√3/6,-1/3,-3/4)。平面PED的一個(gè)法向量為DC=(0,1,0)，設(shè)平面PAB的法向量為n=(x,y,1)，則n⊥PB，n⊥PE。根據(jù)向量的點(diǎn)積運(yùn)算，可以得到3x-2y-3=0，即3x-2y=3。題目：剔除下面文章的格式錯(cuò)誤，刪除明顯有問(wèn)題的段落，然后再小幅度的改寫(xiě)每段話。解題步驟：1.刪除明顯有問(wèn)題的段落：第一段和最后一段都是公式，無(wú)法確定是否有問(wèn)題，故保留。2.剔除格式錯(cuò)誤：整篇文章的格式都有問(wèn)題，需要重新排版。3.改寫(xiě)每段話：例8：方法一（綜合法）（1）已知CD‖AB，求異面直線AB與MD所成的角。作AP⊥CD于點(diǎn)P，連接MP。因?yàn)镺A⊥平面ABCD，所以CD⊥MP。又因?yàn)锳D=2，所以DP=2/√3。所以cos∠MDP=√3/3，所以∠MDC=∠MDP=π/3。因此AB與MD所成角的大小為π-π/3=2π/3。方法二（向量法）作AP⊥CD于點(diǎn)P，分別以AB、AP、AO所在直線為x、y、z軸建立坐標(biāo)系。設(shè)AB與MD所成的角為θ，則cosθ=AB·MD/|AB||MD|=√3/3。因此θ=π/3。因此AB與MD所成角的大小為2π/3。例9：已知ADE與ADF均在平面BEDF內(nèi)，求直線AD與平面B'EDF所成的角。因?yàn)锳DE與ADF的夾角相等，所以AD在平面BEDF內(nèi)的射影在∠EDF的平分線上。又因?yàn)锽'EDF為菱形，所以DB為∠EDF的平分線。因此直線AD與平面B'EDF所成的角為∠ADB'=∠EDB'=π/2。例10：已知平面SCD的一法向量為n=(x,y,z)，且n⊥SC、n⊥SD，求直線AD與平面SCD所成的角。設(shè)AD與平面SCD所成角為θ。因?yàn)锳D⊥平面SAB，所以AD是平面SAB的一個(gè)法向量。因此n⊥AB，所以n=(2,-1,1)。因?yàn)閚⊥SC，所以2+y-z=0。因?yàn)閚⊥SD，所以2x-z=0。解得z=1，所以n=(2,-1,1)。因此cosθ=AD·n/|AD||n|=√6/6。因此θ=π/3。因此直線AD與平面SCD所成的角的大小為2π/3。2，PACD∴P為四邊形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，即P為平面ABCD的垂足，證畢。（2）證明：∵AB∥CD，∴ABCD為平行四邊形。又∵PAAB，PDCD，∴P為ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，即P為平行四邊形ABCD的垂足，證畢。2，（1）設(shè)平面ABC的法向量為n，∵nAB，∴n與向量AB的叉積為0，即n與向量AB共線，同理n與向量AC共線，∴n=k(1,-1,2)，代入點(diǎn)A(1,2,3)得k=1，∴平面ABC的方程為x-y+2z-3=0。（2）設(shè)點(diǎn)D(x,y,z)，∵D在平面ABC上，∴x-y+2z-3=0，又∵AD⊥平面ABC，∴n?AD=0，代入n和A得3x-3y+6z-21=0，即x-y+2z-7=0，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,3,2)。3，（1）設(shè)MN的方向向量為m，則向量MN=λm，∴MN?AB=0，即(1-λ)×1+λ×(-2)+2×3=0，解得λ=1，∴向量MN=(-1,3,2)。（2）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x,y,z)，則AN⊥MN，∴向量AN?向量MN=0，代入點(diǎn)A和向量MN得3x-2y+6z-11=0，又∵N在直線AC上，∴N的坐標(biāo)為(2,1,0)。4，（1）設(shè)點(diǎn)D到平面ABC的距離為d，則d=|3x-2y+6z-21|/√(32+(-2)2+62)=3，∴點(diǎn)D到原點(diǎn)的距離為√(12+22+32)=√14。（2）設(shè)點(diǎn)M(x,y,z)，則向量AM=(x-1,y-2,z-3)，又∵AM⊥平面ABC，∴AM?n=0，代入n和A得3x-3y+6z-15=0，又∵M(jìn)在平面ACD上，∴x+y+z=4，解得M的坐標(biāo)為(2,1,1)