河北省邯鄲市六校高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

2021級高二期中考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第二冊第五章、選擇性必修第三冊.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.現(xiàn)有3幅不同的油畫，4幅不同的國畫，5幅不同的水彩畫，從這些畫中選一幅布置房間，則不同的選法共有（）A.10種 B.12種 C.20種 D.60種【答案】B【解析】【分析】分三類計(jì)數(shù)相加即可得解.【詳解】分三類：第一類，從3幅不同的油畫中任選一幅，有種；第二類，從4幅不同的國畫中任選一幅，有種；第三類，從5幅不同的水彩畫任選一幅，有種，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得共有種不同的選法.故選：B2.某物體沿直線運(yùn)動，其位移s（單位：m）與時間t（單位：s）之間的關(guān)系為，則在這段時間內(nèi)，該物體位移的平均速度為（）A.2 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平均速度的含義，進(jìn)行計(jì)算即可求得答案.【詳解】由題意可得該物體位移的平均速度為（），故選：C3.隨機(jī)變量的分布列為123n則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求出，再根據(jù)方差公式可求出結(jié)果.【詳解】由，得，，.故選：A4.用0，1，2，3，4可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（）A.16 B.36 C.48 D.60【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可求出結(jié)果.【詳解】第一步，從中任選一個數(shù)字排在百位，有種；第二步，從剩下的個數(shù)字中任選個排在十位和個位，有種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).故選：C5.已知函數(shù)，則的極值點(diǎn)的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.0【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，討論a的正負(fù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得到答案.【詳解】由于，故，當(dāng)時，，則時，，時，，故在上都單調(diào)遞增，在在上單調(diào)遞減，故是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，同理判斷當(dāng)時，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故的極值點(diǎn)的個數(shù)為2，故選：B6.一個盒子中裝有白色乒乓球4個，橘黃色乒乓球2個.現(xiàn)從盒子中任取2個乒乓球，記取出的2個乒乓球的顏色為橘黃色的個數(shù)為X，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可知橘黃色球的個數(shù)X的所有可能取值為，分別計(jì)算出其概率即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知取出的橘黃色球的個數(shù)X的所有可能取值為，則，,；所以可得.故選：D7.如圖，小華從圖中處出發(fā)，先到達(dá)處，再前往處，則小華從處到處可以選擇的最短路徑有（）A.25條 B.48條 C.150條 D.512條【答案】C【解析】【分析】利用組合、分步乘法計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】從處到處的最短路徑有條，從處到處的最短路徑有條，則小華從處到處可以選擇的最短路徑有條．故選：C.8.某地區(qū)一個家庭中孩子個數(shù)X的情況如下．X1230P每個孩子的性別是男是女的概率均為，且相互獨(dú)立，則一個家庭中男孩比女孩多的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意分析男孩比女孩多的可能情況，結(jié)合互斥事件以及獨(dú)立事件概率乘法公式運(yùn)算求解.【詳解】一個家庭中男孩比女孩多有三種可能：“1個小孩，且男孩”、“有2個小孩，且為男孩”、“3個小孩，3個男孩或2個男孩”，所以概率故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.由一組樣本數(shù)據(jù)，，，，利用最小二乘法得到兩個變量的回歸直線方程為，則下面說法正確的是（）A.直線至少經(jīng)過點(diǎn)，，，中的一個點(diǎn)B.直線必經(jīng)過點(diǎn)C.相關(guān)系數(shù)r與回歸系數(shù)同號D.相關(guān)系數(shù)r越大，兩個變量之間的線性相關(guān)性越強(qiáng)【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)回歸直線、相關(guān)系數(shù)、回歸系數(shù)的概念逐項(xiàng)分析可得答案.【詳解】對于A，直線有可能不經(jīng)過點(diǎn)，，，中的任何一個點(diǎn)，故A不正確；對于B，顯然正確；對于C，當(dāng)兩個變量正相關(guān)時，相關(guān)系數(shù)r與回歸系數(shù)同為正號，當(dāng)兩個變量負(fù)相關(guān)時，相關(guān)系數(shù)r與回歸系數(shù)同為負(fù)號，故C正確；對于D，相關(guān)系數(shù)r的絕對值越大，兩個變量之間的線性相關(guān)性越強(qiáng)，故D不正確.故選：BC10.已知函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的圖象大致如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）A.在上單調(diào)遞增 B.在上單調(diào)遞增C.曲線在處的切線的斜率為0 D.曲線在處的切線的斜率為4【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可判斷A，B；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷C，D.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，A錯誤；由圖象可知當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，B正確；由于，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知在處的切線的斜率為4，C錯誤，D正確，故選：BD11.某商場開業(yè)期間舉辦抽獎活動，已知抽獎箱中有30張獎券，其中有5張寫有“中獎”字樣．假設(shè)抽完的獎券不放回，甲抽完之后乙再抽，記表示甲中獎，表示乙中獎，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意直接計(jì)算出，，，即可.【詳解】由題意可知，則A正確；，則B錯誤；，則C正確；，則D錯誤；故選：AC.12.已知函數(shù)，函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.有2個零點(diǎn)B.若，則有4個零點(diǎn)C.若只有1個零點(diǎn)，則m的取值范圍是D.若恰有5個零點(diǎn)，則m的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)，確定時函數(shù)的單調(diào)性，并作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象分及討論即可得答案.【詳解】當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取極大值，，，，，，，，的圖象如圖所示：由圖可知有2個零點(diǎn)，則A正確；設(shè)，由，得，當(dāng)時，的解是，所以有2個不同實(shí)根，有2個不同實(shí)根，則有4個不同實(shí)根，故B正確；當(dāng)時，有3個不同實(shí)根，設(shè)．有2個不同實(shí)根，有2個不同實(shí)根，有3個不同實(shí)根，則有7個不同實(shí)根；當(dāng)時，有2個不同實(shí)根，設(shè)，有2個不同實(shí)根，有3個不同實(shí)根，則有5個不同實(shí)根；當(dāng)時，有2個不同實(shí)根，設(shè)，有2個不同實(shí)根，有2個不同實(shí)根，則有4個不同實(shí)根；當(dāng)時，有且只有1個實(shí)根，且，當(dāng)時，則有2個不同實(shí)根；當(dāng)時，只有1個實(shí)根；當(dāng)時，有且只有1個實(shí)根，且，則只有1個實(shí)根．故C錯誤，D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.在的展開式中，的系數(shù)為______.【答案】150【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)即可求得答案.【詳解】由題意可得在的展開式中，通項(xiàng)為，的系數(shù)為，故答案為：15014.某科研院校培育枇杷新品種，新培育的枇杷單果質(zhì)量（單位：g）近似服從正態(tài)分布，現(xiàn)有該新品種枇杷100000個，估計(jì)單果質(zhì)量不低于28g的枇杷有______個.附：若，則，，.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布特殊區(qū)間的概率可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，所以估?jì)單果質(zhì)量不低于28g的枇杷有個.故答案為：.15.某社區(qū)計(jì)劃在該小區(qū)內(nèi)如圖所示的一塊空地布置花卉，要求相鄰區(qū)域布置的花卉種類不同，且每個區(qū)域只布置一種花卉，若有5種不同的花卉可供選擇，則不同的布置方案有______.【答案】540【解析】【分析】給5塊不同的區(qū)域標(biāo)別布置A，B，D區(qū)域的花卉，繼而討論B，E是否布置同種花卉，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，即可得答案.【詳解】如圖：給5塊不同的區(qū)域標(biāo)上字母，可先在A中布置花卉，有5種不同的布置方案，再在B中布置花卉，有4種不同的布置方案，再在D中布置花卉，有3種不同的布置方案，若區(qū)域B，E布置同種花卉，則C有3種不同的布置方案，若區(qū)域B，E布置不同的花卉，則E有2種不同的布置方案，C有3種不同的布置方案，故不同的布置方案有種，故答案為：54016.已知直線與曲線相切，則的最小值是______．【答案】【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)，得到方程組，得到，故，構(gòu)造，利用導(dǎo)函數(shù)求出最小值，得到答案.【詳解】直線與曲線相切，設(shè)切點(diǎn)為，則，所以，因?yàn)椋?，即，又，，故，將代入得，，解得，故，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也時最小值，故，故的最小值為-1.故答案為：-1【點(diǎn)睛】當(dāng)已知切點(diǎn)坐標(biāo)為時，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的幾何意義可得到切線的斜率，再利用求出切線方程；當(dāng)不知道切點(diǎn)坐標(biāo)時，要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合切點(diǎn)既函數(shù)圖象上，又在切線方程上，列出等式，進(jìn)行求解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.近年來，短視頻作為以視頻為載體的聚合平臺，社交屬性愈發(fā)突出，在用戶生活中覆蓋面越來越廣泛，已逐漸成為社交平臺發(fā)展的新方向，同時出現(xiàn)了利用短視頻平臺進(jìn)行直播銷售的模式.已知甲公司和乙公司兩家購物平臺所售商品類似，存在競爭關(guān)系.現(xiàn)對某時段100名觀看過這兩家短視頻的用戶與使用這兩家購物平臺購物的情況進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：選擇甲公司購物平臺選擇乙公司購物平臺合計(jì)用戶年齡段為19~24歲302050用戶年齡段為25~34歲203050合計(jì)5050100參考公式：，其中.（1）依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為使用哪家購物平臺購物與觀看這兩家短視頻的用戶的年齡有關(guān)？（2）為了了解用戶觀看兩家短視頻后選擇哪家公司購物原因，用頻率近似概率，從觀看過這兩家短視頻且使用這兩家平臺購物的用戶中抽取10名用戶進(jìn)行回訪，記抽出的10人中年齡段為19~24歲，且選擇甲公司購物平臺的人數(shù)為，求的期望.【答案】（1）能認(rèn)為使用哪家購物平臺購物與觀看這兩家短視頻的用戶的年齡有關(guān)（2）【解析】【分析】（1）先零假設(shè)，然后計(jì)算，對照臨界值表可得結(jié)論；（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式可求出結(jié)果.【小問1詳解】零假設(shè)為：使用哪家購物平臺購物與觀看這兩家短視頻的用戶的年齡無關(guān)，，所以依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即能認(rèn)為使用哪家購物平臺購物與觀看這兩家短視頻的用戶的年齡有關(guān).【小問2詳解】由列聯(lián)表可知，觀看過這兩家短視頻且使用這兩家平臺購物的用戶中，年齡段為19~24歲，且選擇甲公司購物平臺的人數(shù)頻率為，用頻率估計(jì)概率，所以，故.18.某視頻UP主采購了8臺不同價位的航拍無人機(jī)進(jìn)行測評，并從重量、體積、畫質(zhì)、圖傳、續(xù)航、避障等多方面進(jìn)行綜合評分.以下是價格和對應(yīng)的評分?jǐn)?shù)據(jù)：價格x/百元3681014172232評分y4352607174818998（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程（系數(shù)精確到）；（2）某網(wǎng)友準(zhǔn)備購買一臺評分不低于90分的航拍無人機(jī)，根據(jù)（1）中線性回歸方程，預(yù)估最少需要多少元（結(jié)果精確到整數(shù)）.附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為，.參考數(shù)據(jù)：，.【答案】（1）（2）2400元【解析】【分析】（1）求出，，根據(jù)最小二乘法估計(jì)求得，，即可得答案；（2）由（1）的結(jié)果可列出不等式，即可求得答案.【小問1詳解】由題意得，，故，所以，y關(guān)于x的線性回歸方程為.【小問2詳解】令，解得，即預(yù)估最少需要2400元.19.從6名男生，5名女生中選舉3人分別擔(dān)任班長，學(xué)習(xí)委員和體育委員.（1）若擔(dān)任班長，學(xué)習(xí)委員和體育委員的3人中有女生，則不同的情況有多少種？（2）若擔(dān)任班長和學(xué)習(xí)委員的學(xué)生性別不同，則不同的情況有多少種？【答案】（1）870（2）540【解析】【分析】（1）從11人中人選3人，減去全是選男生的情況，再分配擔(dān)任不同的職務(wù)，可得答案（2）先從男女生中各選一人，分別擔(dān)任班長和學(xué)習(xí)委員，再從剩余的9人中選一人擔(dān)任體育委員即可.【小問1詳解】由題意知擔(dān)任班長，學(xué)習(xí)委員和體育委員的3人中有女生，可從11人中人選3人，減去全是選男生的情況，再分配擔(dān)任不同的職務(wù)，故不同的情況有種；【小問2詳解】若擔(dān)任班長和學(xué)習(xí)委員的學(xué)生性別不同，則不同的情況有種20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，證明：.（2）討論的單調(diào)性.【答案】（1）證明見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)求出的最小值，與的最大值比較可證不等式成立；（2）求導(dǎo)后，分類討論，解導(dǎo)函數(shù)的不等式可得結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時，，，令，得，令，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，而當(dāng)時，，當(dāng)且時，，所以.【小問2詳解】的定義域?yàn)椋?，?dāng)時，，令，得，令，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).當(dāng)時，令，得或，若，即時，令，得或；令，得，所以在和上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；若，即時，在上恒成立，所以在上為減函數(shù)；若，即時，令，得或，令，得，所以在和上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).綜上所述：當(dāng)時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；當(dāng)時，在和上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；當(dāng)時，在上為減函數(shù)；當(dāng)時，在和上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).21.甲、乙兩位圍棋選手進(jìn)行圍棋比賽，比賽規(guī)則如下：比賽實(shí)行三局兩勝制（假定沒有平局），任何一方率先贏下兩局比賽時，比賽結(jié)束，圍棋分為黑白兩棋，第一局雙方選手通過抽簽的方式等可能的選擇棋色下棋，從第二局開始，上一局的敗方擁有優(yōu)先選棋權(quán).已知甲下黑棋獲勝的概率為，下白棋獲勝的概率為，每位選手按有利于自己的方式選棋.（1）求甲選手以2:1獲勝的概率；（2）比賽結(jié)束時，記這兩人下圍棋的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）由題意