第五節(jié)平面標(biāo)量場(chǎng)

第五節(jié)平面標(biāo)量場(chǎng)第1頁(yè)，課件共10頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月u(x,y)是電勢(shì),曲線族u(x,y)=常數(shù)是等勢(shì)線族,由前面的知識(shí)可知,曲線族v(x,y)=常數(shù)垂直于等勢(shì)曲線族u(x,y)=常數(shù),因此,v(x,y)=常數(shù)正是電場(chǎng)線族,并且v的值本身具有物理意義取兩點(diǎn)A(x1,y1)和B(x2,y2),任作一曲線連接A和B,如圖計(jì)算穿過(guò)曲線AB的電通量(指的是通過(guò)一塊柱面的電通量，這塊柱面跟我們研究的平面相交于曲線AB，柱面的母線垂直于所研究的平面，柱高位1.)dsEnABE第2頁(yè)，課件共10頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月曲線AB的切線方向余弦是所以法線n的方向余弦是這樣E法向E方向dsEnABE第3頁(yè)，課件共10頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月則v(x,y)在A和B兩點(diǎn)所取的值之差就是A和B兩點(diǎn)之間穿過(guò)的電通量,函數(shù)v(x,y)叫做通量函數(shù),由以上可知,只要給出了復(fù)勢(shì),就不僅給出了電勢(shì)分布,而且還直接給出電場(chǎng)線族的方程、電通量密度并給出了電荷密度。第4頁(yè)，課件共10頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月同理，在液體的無(wú)旋流動(dòng)中，有所謂平面無(wú)旋液流，由于沒(méi)有渦旋，速度矢量可以表為某個(gè)標(biāo)量的梯度，這個(gè)標(biāo)量叫做速度勢(shì)借助于速度勢(shì)就可把平面無(wú)旋液流問(wèn)題表為平面標(biāo)量場(chǎng)問(wèn)題，在沒(méi)有源和匯的區(qū)域上，速度勢(shì)滿足拉普拉斯方程，某個(gè)區(qū)域上的2.平面無(wú)旋液流解析函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)其實(shí)部或虛部總可以表示該區(qū)域上某種平面無(wú)旋流的速度勢(shì)，解析函數(shù)f(z)就叫做該平面無(wú)旋液流的復(fù)勢(shì)，為確定，設(shè)v(x,y)是速度勢(shì)，則曲線族u(x,y)＝常數(shù)就是流線族，u(x,y)是流量函數(shù)，它在A和B兩點(diǎn)所取的值之差就是A和B兩點(diǎn)之間穿過(guò)的流量。第5頁(yè)，課件共10頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月同理，在物體的穩(wěn)定分布中，有所謂平面溫度場(chǎng)，均勻物體中的穩(wěn)定溫度分布滿足拉普拉斯方程，因此某個(gè)區(qū)域上的解析函數(shù)f(z)＝u(x,y)＋iv(x,y)的實(shí)部或虛部總可以表示該區(qū)域上某種平面溫度場(chǎng)的溫度分布，為確定設(shè)u(x,y)是溫度分布，則曲線族v(x,y)＝常數(shù)就是熱流線族，v(x,y)是熱流量函數(shù)，它在A和B兩點(diǎn)所取的值之差正比于A和B兩點(diǎn)之間穿過(guò)的熱流量。3.平面溫度場(chǎng)借用平面溫度場(chǎng)的詞匯把曲線族u(x,y)＝常數(shù)和v(x,y)＝常數(shù)叫做等溫網(wǎng)第6頁(yè)，課件共10頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1開(kāi)平面上的解析函數(shù)的實(shí)部和虛部分別是yxO如圖，虛線描述曲線族u(x,y)＝常數(shù)實(shí)線描述曲線族v(x,y)＝常數(shù)，后者包括實(shí)軸和虛軸在內(nèi)作為平面靜電場(chǎng)，是兩塊互相垂直的很大的帶電導(dǎo)體平面的靜電場(chǎng)，實(shí)線是等勢(shì)線，虛線是電場(chǎng)線。作為平面無(wú)旋液流來(lái)看，這是液體從虛軸的方向流來(lái)，被x軸阻擋分流的情形，實(shí)線是流線，虛線是等速度勢(shì)線。二.例題第7頁(yè)，課件共10頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2已知平面靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線為拋物線族，求等勢(shì)線解：從電場(chǎng)線方程解出參數(shù)c這里取+號(hào),即電場(chǎng)線方程應(yīng)該是v(x,y)=常數(shù)V(x,y)=我們知道v(x,y)必須是調(diào)和函數(shù)(滿足拉普拉斯方程),但不是調(diào)和函數(shù),我們令F為待定函數(shù)關(guān)系,把它代入v=常數(shù),同樣可得電場(chǎng)線方程下面我們由v(x,y)是調(diào)和函數(shù)這一前提來(lái)確定F(t)第8頁(yè)，課件共10頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月同理可得代入拉普拉斯方程得:即第9頁(yè)，課件共10頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月積分一次再積分一次則