高中數(shù)學(xué)-正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

四．教學(xué)程序1、情境引入一組綜藝節(jié)目中演員演出時精美舞臺造型圖片，引出正切函數(shù)圖像與性質(zhì)。（一）整體感知引導(dǎo)語：前面我們研究了正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，接下來我們研究正切函數(shù)．1．研究思路問題1：（1）根據(jù)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的經(jīng)驗，你認為應(yīng)如何研究正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)？（2）你能用不同的方法研究正切函數(shù)嗎？預(yù)設(shè)的師生活動：師生交流，整理出可能的研究思路．預(yù)設(shè)答案：可以有兩種思路．思路1，按照正余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究思路，先描點畫圖，得到圖象，根據(jù)圖象觀察獲得性質(zhì)，再證明．思路2，也可以換一種研究思路，即先從數(shù)的角度出發(fā)，利用函數(shù)解析式分析其性質(zhì)，然后再根據(jù)性質(zhì)畫圖，之后再觀察圖象得到更多的性質(zhì)．追問：我們選擇思路2進行研究．結(jié)合研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的經(jīng)驗，你覺得應(yīng)該先研究哪個性質(zhì)？預(yù)設(shè)的答案：先研究周期性，再研究奇偶性．設(shè)計意圖：規(guī)劃思路，整體把握，有序研究，在“森林”里研究“樹木”．（二）新知探究2．周期性和奇偶性問題2：類比正弦函數(shù)周期得出過程，判斷正切函數(shù)是周期函數(shù)嗎？如何求正切函數(shù)的周期？預(yù)設(shè)的師生活動：先讓學(xué)生獨立思考，然后交流．預(yù)設(shè)答案：由誘導(dǎo)公式tan（x＋π）＝tanx，x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z．根據(jù)周期函數(shù)的定義及周期的定義可知：正切函數(shù)是周期函數(shù)，并且周期是π．問題3：你能用簡潔的辦法判斷正切函數(shù)的奇偶性嗎？請你試一試．預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生可以獨立完成，之后互相核對、規(guī)范過程．預(yù)設(shè)答案：由誘導(dǎo)公式tan（－x）＝－tanx，x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z．可知：正切函數(shù)是奇函數(shù)．問題4：你認為正切函數(shù)的周期性和奇偶性對研究它的圖象及其他性質(zhì)會有什么幫助？據(jù)此確定的研究方案是什么？可以類比正弦函數(shù)性質(zhì)的研究進行思考．預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生可以獨立完成，交流之后進一步確定后續(xù)的研究路徑．預(yù)設(shè)答案：根據(jù)正切函數(shù)的周期性，只要研究正切函數(shù)在一個周期，比如區(qū)間（－，）內(nèi)的圖象與性質(zhì)即可．再根據(jù)正切函數(shù)的奇偶性，只要研究正切函數(shù)在半個周期，比如區(qū)間[0，）內(nèi)的圖象與性質(zhì)即可．因此接下來的研究方案是：先考察函數(shù)y＝tanx，x∈[0，）的圖象與性質(zhì)，然后再根據(jù)奇偶性、周期性進行拓展．3．正切函數(shù)的圖象問題5：如何畫出函數(shù)y＝tanx，x∈[0，）的圖象呢？圖1追問1：畫函數(shù)圖象的基本方法是描點法，畫正弦函數(shù)圖象是根據(jù)正弦函數(shù)定義的幾何意義，用幾何描點法畫圖的．那么正切函數(shù)定義的幾何意義是什么？畫圖解釋．圖1預(yù)設(shè)的師生活動：先讓學(xué)生畫圖，根據(jù)定義寫出tanx，并給出幾何解釋．預(yù)設(shè)答案：如圖1所示，設(shè)x∈[0，），在直角坐標系中畫出角x的終邊與單位圓的交點B（x0，y0）．過點B作x軸的垂線，垂足為M則tanx＝＝．①追問2：①式雖然解釋清楚了正弦函數(shù)的幾何意義，但利用①式顯然是不方便畫圖的．回想利用正弦函數(shù)的幾何意義為什么可以方便地描點？據(jù)此你將如何優(yōu)化①式，以方便描出正切函數(shù)圖象上的點呢？預(yù)設(shè)答案：正弦函數(shù)的幾何意義就是角的終邊與單位圓交點的縱坐標，是一條線段，而正切函數(shù)的幾何意義是兩條線段的長度比，因此應(yīng)該設(shè)法優(yōu)化這個比，使它在數(shù)值上也可以表示為一條線段，即讓分母中的線段數(shù)值上為1．于是得到：圖2如圖2，過點A(1，0)作x軸的垂線與角x的終邊交于點T，則圖2tanx＝＝＝＝AT．②由②式可知，當x∈[0，）時，線段AT的長度就是相應(yīng)角x的正切值．因此可以利用線段AT畫出函數(shù)y＝tanx，x∈[0，）的圖象．追問3：請你利用②式，在坐標紙上畫出函數(shù)y＝tanx，x∈[0，）的圖象．并觀察圖象有哪些特征？預(yù)設(shè)的師生活動：教師提前給學(xué)生準備好坐標紙，紙上畫著單位圓及坐標系．先讓學(xué)生在坐標紙上畫圖，畫完圖之后觀察圖象，說出特征．然后教師用課件直觀展現(xiàn)函數(shù)y＝tanx，x∈[0，）的圖象的特征．特別是通過演示，直觀解釋“無限逼近直線”．預(yù)設(shè)答案：如圖3所示，可以畫出函數(shù)y＝tanx，x∈[0，）的圖象．圖3觀察圖象可知：當x∈[0，）時，隨著x的增大，線段AT的長度也在增大，而且當x趨向于時，AT的長度趨向于無窮大．相應(yīng)地，函數(shù)y＝tanx，x∈[0，）的圖象從左向右呈不斷上升趨勢，且向右上方無限逼近直線，但不會與該直線相交．圖3設(shè)計意圖：通過一個個追問，幫助學(xué)生理解正切函數(shù)的幾何意義，并利用它畫出函數(shù)的圖象．問題6：你能借助以上結(jié)論，并根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，畫出正切函數(shù)的圖象嗎？正切函數(shù)的圖象有怎樣的特征？預(yù)設(shè)的師生活動：先由學(xué)生獨立完成，而且學(xué)生應(yīng)該能夠完成該問題．之后師生一起再把過程規(guī)范條理了．預(yù)設(shè)答案：如圖4，第一步，因為正切函數(shù)是奇函數(shù)，只要畫函數(shù)y＝tanx，x∈[0，）圖象關(guān)于原點的對稱圖形，就可得到y(tǒng)＝tanx，x∈(－，0]的圖象；第二步，根據(jù)正切函數(shù)的周期性，只要把函數(shù)y＝tanx，x∈(－，）圖象向左、右平移，每次平移π個單位，就可得到正切函數(shù)圖4y＝tanx，x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z的圖象，圖4我們把它叫做正切曲線(tangentcurve)．觀察圖象，可以看出：正切曲線是被與y軸平行的一系列直線x＝＋kπ，k∈Z所隔開的無窮多支形狀相同的曲線組成的．設(shè)計意圖：畫出函數(shù)的圖象，并觀察圖象特征．4．單調(diào)性和值域問題7：從函數(shù)圖象與性質(zhì)研究的基本套路看，還需要研究正切函數(shù)的什么性質(zhì)？觀察函數(shù)y＝tanx，x∈[0，）的圖象，你得到的結(jié)論是什么？預(yù)設(shè)的師生活動：先讓學(xué)生獨立完成，再進行展示交流，并予以規(guī)范．預(yù)設(shè)答案：還需要研究正切函數(shù)的單調(diào)性與值域．（1）單調(diào)性觀察正切曲線可知，正切函數(shù)在-π2由正切函數(shù)的周期性可得，正切函數(shù)在每一個區(qū)間-π2（2）值域當x∈-π2，π2因此，正切函數(shù)的值域是實數(shù)集R．5．應(yīng)用例1．求函數(shù)QUOTEπ2x+π3的定義域、周期及單調(diào)區(qū)間．追問：類比正余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，求解該題目的思路是什么？預(yù)設(shè)答案：通過換元轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝tanx的性質(zhì)問題求解．解：自變量x的取值應(yīng)滿足π2x＋π3≠kπ＋π2，k∈Z，即x≠2k+13，所以，函數(shù)的定義域是x|設(shè)z=，由tan(z＋π)=tanz，得：tanπ2x+π3即tanπ2x+2因為對任意x∈x|tanπ2x+2所以，函數(shù)的周期為2．由-π2＋kπ＜π2x＋π3＜π2＋kπ，k-53＋2k＜x＜13＋2k，k所以，函數(shù)在區(qū)間-53+2k，練習(xí)：第213頁練習(xí)第1，3，5題．（三）歸納小結(jié)問題7：本節(jié)課是按照怎樣的研究套路進行的？獲得了關(guān)于正切函數(shù)圖像與性質(zhì)的哪些基本知識、技能？在應(yīng)用中有哪些經(jīng)驗？預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生梳理，師生一起完善．預(yù)設(shè)答案：按照函數(shù)研究的基本套路確定了研究內(nèi)容．并采用了新的研究路徑：性質(zhì)——圖象——性質(zhì)．知道了正切函數(shù)的周期、奇偶性、單調(diào)性及值域．會畫正切函數(shù)的圖象．特別是知道了函數(shù)圖象無限逼近直線x＝＋kπ，k∈Z．在利用正切函數(shù)求解與例1類似的問題時，要先求定義域．（四）布置作業(yè)教科書習(xí)題5.4第7，8，9，12，13，14，15題．學(xué)情分析本節(jié)課是研究了正弦、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)后，對又一具體三角函數(shù)的學(xué)習(xí)。學(xué)生在知識上已經(jīng)掌握了三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，正弦、余弦函數(shù)圖象及五點作圖的方法；在能力上已經(jīng)具備了一定的形象思維與抽象思維能力；在思想方法上已經(jīng)具有一定的數(shù)形結(jié)合、類比、特殊到一般等數(shù)學(xué)思想．學(xué)生對三角函數(shù)性質(zhì)的討論方法也已經(jīng)有了一個比較清晰的認識，這為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了知識的保障．這節(jié)課的教學(xué)目標設(shè)定明確、具體、恰當；教學(xué)重點、難點突出；教材處理注重展現(xiàn)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，能恰當?shù)貏?chuàng)設(shè)情境，在教學(xué)中設(shè)計了一些較有思考價值的問題串，每個小問題的設(shè)置既明確具體，又有適當?shù)碾y度；教學(xué)方法的設(shè)計注重了啟發(fā)式原則，體現(xiàn)了教師的“兩導(dǎo)”的作用（即引導(dǎo)者、導(dǎo)演），體現(xiàn)了以學(xué)生為主體；學(xué)法指導(dǎo)比較恰當，便于逐步地誘導(dǎo)學(xué)生正確理解重點知識。在教師有效的調(diào)控下，學(xué)生的參與積極的、主動的，教學(xué)效果好。本節(jié)課的背景是：之前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)．本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了正弦余弦函數(shù)圖像及基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上對又一個具體三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，其研究方法與前面正余弦函數(shù)圖像與性質(zhì)的研究方法類似，是對學(xué)生所學(xué)知識的融通和運用，也是學(xué)生對學(xué)習(xí)函數(shù)規(guī)律的總結(jié)和探索。正確理解和熟練掌握正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)也是之后學(xué)好《已知三角函數(shù)求值》的關(guān)鍵。一般來說，對函數(shù)性質(zhì)的研究總是先作圖象，通過觀察圖象獲得對函數(shù)性質(zhì)的直觀認識，然后再從代數(shù)的角度對性質(zhì)作出嚴格表述．但對正切函數(shù)，教科書換了一個新的角度，采取了先根據(jù)已有的知識(如正切函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式等)研究性質(zhì)，然后再根據(jù)性質(zhì)研究正切函數(shù)的圖象．這樣處理，主要是為了給學(xué)生提供研究數(shù)學(xué)問題更多的視角，在性質(zhì)的指導(dǎo)下可以更加有效地作圖、研究圖象，加強了理性思考的成分，并使數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)得更加全面．教師要在學(xué)生探究活動過程中引導(dǎo)學(xué)生體會這種解決問題的方法．通過多媒體教學(xué)，讓學(xué)生通過對圖象的動態(tài)觀察，對知識點的理解更加直觀、形象．以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高課題教學(xué)質(zhì)量．從學(xué)生的實際情況為教學(xué)出發(fā)點，通過各種數(shù)學(xué)思想的滲透，合理運用各種教學(xué)課件，逐步培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成學(xué)會通過對圖象的觀察來整理相應(yīng)的知識點的能力，學(xué)會運用數(shù)學(xué)思想解決實際問題的能力．這樣既加強了類比這一重要數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，也有利于學(xué)生綜合運用能力的提高，有利于學(xué)生把新舊知識前后聯(lián)系，融會貫通，提高教學(xué)效果．評測練習(xí)1．函數(shù)y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的一個對稱中心是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－3\r(3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，0))D．(0,0)2．下列函數(shù)中，同時滿足：①在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞增，②為奇函數(shù)，③以π為最小正周期的函數(shù)是()A．y＝tanxB．y＝cosxC．y＝taneq\f(x,2)D．y＝|sinx|3．與函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的圖象不相交的一條直線是()A．x＝eq\f(π,2)B．x＝－eq\f(π,2)C．x＝eq\f(π,4)D．x＝eq\f(π,8)4．－taneq\f(6π,5)與taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,5)))的大小關(guān)系是________．5．求函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,6)))的定義域、周期及單調(diào)區(qū)間．在本節(jié)課中，我以“矛盾沖突”為主線撞擊學(xué)生的思維，比如：1、在得到正切函數(shù)的概念之后，提出如何研究這一具體函數(shù)的性質(zhì)，啟發(fā)學(xué)生可以“類比”研究正余弦函數(shù)圖像和性質(zhì)的方法；2、在得到正切函數(shù)的部分性質(zhì)之后，提出如何能“豐滿”正切函數(shù)的性質(zhì)，啟發(fā)學(xué)生可以借助圖像進行研究，讓學(xué)生感受“數(shù)缺形少直觀，形缺少數(shù)難入微”的精妙.適當?shù)撵柟绦?、?yīng)用性練習(xí)是學(xué)習(xí)新知識、鞏固新知識所必不可少的。為了促進學(xué)生對新知識的理解和掌握，及時安排學(xué)生完成以下練習(xí)。作為一節(jié)新知識課，在教法上，我打破了傳統(tǒng)的教學(xué)模式。精心設(shè)計問題情境，積極引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生，經(jīng)過類比、觀察、歸納，最終得出。本節(jié)課在設(shè)計和教學(xué)過程中，留下了一些遺憾。比如，想讓學(xué)生了解的內(nèi)容過多，而對學(xué)生的估計不足，使得在教學(xué)過程中，未能充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動作用，教學(xué)中未能完全放開。（一）知識與技能理解并掌握正切函數(shù)的定義域、周期性、奇偶性、單調(diào)性、值域等性質(zhì)；能畫出正切函數(shù)的準確圖象，利用“三點兩線”畫出正切函數(shù)的簡圖，掌握正切函數(shù)圖象結(jié)構(gòu)、特征；能根據(jù)正切函數(shù)圖象觀察性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)理解圖象，用數(shù)形結(jié)合的思想理解和解決一些簡單的三角問題．（二）過程與方法通過復(fù)習(xí)回顧正、余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的探究過程，引導(dǎo)學(xué)生將本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容與之建立起聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的“類比”思維能力；利用誘導(dǎo)公式等探究正切函數(shù)的性質(zhì)；經(jīng)歷由正切函數(shù)的性質(zhì)推測圖象，再由圖象理解性質(zhì)的過程，滲透了“由數(shù)到形和由形到數(shù)”的“數(shù)形結(jié)合”的思想，從而培養(yǎng)學(xué)生自覺運用“數(shù)形結(jié)合”的思想從不同角度解決問題的能力；在正切函數(shù)的圖象分析中，讓學(xué)生體會、感知無限逼近(極限)的思想；通過講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí)等，學(xué)會用數(shù)形結(jié)合的思想理解和處理問題．（三）情感態(tài)度與價值觀在得到正切函數(shù)