2023年湖北省數學中考試題匯編方程與不等式（含解析）

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一、選擇題（本大題共10小題，在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.(2023·湖北省隨州市)如圖，已知開口向下的拋物線與軸交于點，對稱軸為直線則下列結論正確的有()

；

；

方程的兩個根為，；

拋物線上有兩點和，若且，則．

A.個B.個C.個D.個

2.(2023·湖北省黃岡市)已知二次函數的圖象與軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，下列論中；；若點，，均在該二次函數圖象上，則；若為任意實數，則；方程的兩實數根為，，且，則，正確結論的序號為()

A.B.C.D.

3.(2023·湖北省)若關于的一元二次方程有兩個實數根，，且，則()

A.或B.或C.D.

4.(2023·湖北省十堰市)為了落實“雙減”政策，進一步豐富文體活動，學校準備購進一批籃球和足球已知每個籃球的價格比每個足球的價格多元，用元購進籃球的數量比用元購進足球的數量多個如果設每個足球的價格為元，那么可列方程為()

A.B.

C.D.

5.(2023·湖北省隨州市)甲、乙兩個工程隊共同修一條道路，其中甲工程隊需要修千米，乙工程隊需要修千米已知乙工程隊每個月比甲工程隊多修千米，最終用的時間比甲工程隊少半個月若設甲工程隊每個月修千米，則可列出方程為()

A.B.C.D.

6.(2023·湖北省宜昌市)某校學生去距離學校的博物館參觀，一部分學生騎自行車先走，過了后，其余學生乘汽車出發(fā)，結果他們同時到達已知汽車的速度是騎車學生速度的倍，汽車的速度是()

A.B.C.D.

7.(2023·湖北省鄂州市)已知不等式組的解集是，則()

A.B.C.D.

8.(2023·全國)不等式組的解集是()

A.B.C.D.

9.(2023·湖北省宜昌市)解不等式，下列在數軸上表示的解集正確的是()

A.B.

C.D.

10.(2023·湖北省黃岡市)不等式的解集為()

A.B.C.D.無解

二、填空題（本大題共4小題）

11.(2023·湖北省武漢市)我國古代數學經典著作九章算術記載：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”如圖是善行者與不善行者行走路程單位：步關于善行者的行走時間的函數圖象，則兩圖象交點的縱坐標是．

12.(2023·湖北省隨州市)已知關于的一元二次方程的兩個實數根分別為和，則的值為______．

13.(2023·湖北省宜昌市)已知，是方程的兩根，則代數式的值為______．

14.(2023·湖北省黃岡市)已知一元二次方程的兩個實數根為，，若，則實數______．

三、解答題（本大題共5小題，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15.(2023·湖北省宜昌市)

為紀念愛國詩人屈原，人們有了端午節(jié)吃粽子的習俗某顧客端午節(jié)前在超市購買豆沙粽個，肉粽個，共付款元，已知肉粽單價是豆沙粽的倍．

豆沙粽數量肉粽數量付款金額

小歡媽媽

小樂媽媽

求豆沙粽和肉粽的單價；

超市為了促銷，購買粽子達個及以上時實行優(yōu)惠，下表列出了小歡媽媽、小樂媽媽的購買數量單位：個和付款金額單位：元；

根據上表，求豆沙粽和肉粽優(yōu)惠后的單價；

為進一步提升粽子的銷量，超市將兩種粽子打包成，兩種包裝銷售，每包都是個粽子包裝成本忽略不計，每包的銷售價格按其中每個粽子優(yōu)惠后的單價合計，兩種包裝中分別有個豆沙粽，個肉粽，包裝中的豆沙粽數量不超過肉粽的一半端午節(jié)當天統(tǒng)計發(fā)現，，兩種包裝的銷量分別為包，包，，兩種包裝的銷售總額為元求的值．

16.(2023·湖北省黃岡市)

創(chuàng)建文明城市，構建美好家園為提高垃圾分類意識，幸福社區(qū)決定采購，兩種型號的新型垃圾桶若購買個型垃圾桶和個型垃圾桶共需要元，購買個型垃圾桶和個型垃圾桶共需要元．

求兩種型號垃圾桶的單價；

若需購買，兩種型號的垃圾桶共個，總費用不超過元，至少需購買型垃圾桶多少個？

17.(2023·湖北)

已知關于的一元二次方程．

求證：無論取何值時，方程都有兩個不相等的實數根；

設該方程的兩個實數根為，，若，求的值．

18.(2023·湖北省黃岡市)

加強勞動教育，落實五育并舉孝禮中學在當地政府的支持下，建成了一處勞動實踐基地年計劃將其中的土地全部種植甲乙兩種蔬菜經調查發(fā)現：甲種蔬菜種植成本單位；元與其種植面積單位：的函數關系如圖所示，其中；乙種蔬菜的種植成本為元．

當______時，元；

設年甲乙兩種蔬菜總種植成本為元，如何分配兩種蔬菜的種植面積，使最??？

學校計劃今后每年在這土地上，均按中方案種植蔬菜，因技術改進，預計種植成本逐年下降若甲種蔬菜種植成本平均每年下降，乙種蔬菜種植成本平均每年下降，當為何值時，年的總種植成本為元？

19.(2023·湖北省荊州市)

荊州古城旁“荊街”某商鋪打算購進，兩種文創(chuàng)飾品對游客銷售已知元采購種的件數是元采購種件數的倍，種的進價比種的進價每件多元，兩種飾品的售價均為每件元；計劃采購這兩種飾品共件，采購種的件數不低于件，不超過種件數的倍．

求，飾品每件的進價分別為多少元？

若采購這兩種飾品只有一種情況可優(yōu)惠，即一次性采購種超過件時，種超過的部分按進價打折設購進種飾品件，

求的取值范圍；

設計能讓這次采購的飾品獲利最大的方案，并求出最大利潤．

1.【答案】

【解析】解：拋物線開口向下，

，

拋物線交軸于正半軸，

，

，

，

，故正確；

拋物線對稱軸為直線，時，，

時，，

，故正確；

由可得方程的解，，

的拋物線與軸交于點，對稱軸為直線，

拋物線與軸另一個交點為，

方程的兩個根為，，

，，

，

而若方程的兩個根為，，則，，故錯誤；

拋物線開口向下，對稱軸為直線，

若且，則點到對稱軸的距離小于到直線的距離，

，故不正確．

故選：．

根據拋物線開口方向，對稱軸位置，拋物線與軸交點位置判斷；由拋物線的對稱性可判斷；由二次函數與方程的關系，以及根與系數的關系可判斷；由二次函數的性質可判斷．

本題考查二次函數圖象與系數的關系，二次函數的性質，解題關鍵是掌握二次函數與方程的關系．

2.【答案】

【解析】解：拋物線經過，

，正確，

，

拋物線開口向下，

點，，均在該二次函數圖象上，且點到對稱軸的距離最大，點到對稱軸的距離最小，

，錯誤；

，

，

，

，

拋物線的最大值為，

若為任意實數，則，

，正確；

方程的兩實數根為，，

拋物線與直線的交點的橫坐標為，，

由拋物線對稱性可得拋物線與軸另一交點坐標為，

拋物線與軸交點坐標為，，

拋物線開口向下，，

，，正確．

故選：．

由拋物線經過可判斷，由各點到拋物線對稱軸的距離大小可判斷從而判斷，由時取最大值可判斷，由拋物線的對稱性可得拋物線與軸交點坐標，從而判斷．

本題考查二次函數圖象與系數的關系，解題關鍵是掌握二次函數與方程及不等式的關系．

3.【答案】

【解析】解：關于的一元二次方程有兩個實數根，，

，即，且，，

，

，即，

，即，

解得：或．

故選：．

利用根與系數的關系表示出與，已知等式整理后代入計算即可求出的值．

此題考查了根的判別式，以及根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根的判別式與根與系數的關系是解本題的關鍵．

4.【答案】

【解析】解：設每個足球的價格為元，可列方程為：

．

故選：．

直接利用根據單價，表示出籃球與足球價格，再利用元購進籃球的數量比用元購進足球的數量多個得出等式即可．

此題主要考查了由實際問題抽象出分式方程，正確得出等量關系是解題關鍵．

5.【答案】

【解析】解：乙工程隊每個月比甲工程隊多修千米，且甲工程隊每個月修千米，

乙工程隊每個月修千米．

根據題意得：．

故選：．

根據兩個工程隊工作效率間的關系，可得出乙工程隊每個月修千米，利用工作時間工作總量工作效率，結合乙工程隊所用的時間比甲工程隊少半個月，即可列出關于的分式方程，此題得解．

本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．

6.【答案】

【解析】解：設學生的速度為，

由題意可得：，

解得：，

經檢驗：是原方程的解，且符合題意；

，

故選：．

設學生的速度為，根據一部分學生騎自行車先走，過了后，其余學生乘汽車出發(fā)，結果他們同時到達．列出方程，即可求解．

本題考查了分式方程的應用，找到正確的數量關系是解題的關鍵．

7.【答案】

【解析】解：由，得：，

由，得：，

解集為，

，，

解得，，

則．

故選：．

分別求出每一個不等式的解集，根據不等式組的解集得出、的值，代入計算可得．

本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．

8.【答案】

【解析】解：

由移項，合并同類項得：，

系數化為得：；

由移項，合并同類項得：，

系數化為得：，

則原不等式組的解集為：，

故選：．

首先解兩個不等式求得各自的解集，然后取它們解集的公共部分即可．

本題考查解一元一次不等式組，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．

9.【答案】

【解析】解：，

去分母得：，

去括號得：，

移項，合并同類項得：，

那么在數軸上表示其解集如圖所示：

，

故選：．

解不等式求得其解集，然后在數軸上表示其解集即可．

本題考查在數軸上表示一元一次不等式的解集，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．

10.【答案】

【解析】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

則不等式組的解集為，

故選：．

分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．

本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．

11.【答案】

【解析】

【分析】

設善行者經過分鐘追上，根據兩個人所行的路程差為步，列出方程解答即可．

此題考查一元一次方程的實際運用，掌握行程問題中的基本數量關系是解決問題的關鍵．

【解答】

解：設善行者經過分鐘追上，

由題意得，

解得

步

即兩圖象交點的縱坐標是．

故答案為．

12.【答案】

【解析】解：關于的一元二次方程的兩個實數根分別為和，

，，

．

故答案為：．

直接利用根于系數的關系，，再代入計算即可求解．

本題主要考查根與系數的關系，熟記根與系數的關系時解題關鍵．根與系數的關系：，是一元二次方程的兩根時，，．

13.【答案】

【解析】解：，是方程的兩根，

，，

．

故答案為：．

利用根與系數的關系表示出兩根之和與兩根之積，把兩根之和與兩根之積代入即可求出值．

此題考查了一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握根與系數的關系是解本題的關鍵．

14.【答案】

【解析】解：一元二次方程的兩個實數根為，，

，，

，

，

解得，

又方程有兩個實數根，

，

解得，

綜合以上可知實數取值范圍是．

故答案為：．

把兩根之和與兩根之積代入已知條件中，求得的值，再根據根的判別式求得的取值范圍．最后綜合情況，求得的值．

此題考查一元二次方程根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．

15.【答案】解：設豆沙粽的單價為元，肉粽的單價為元；

由題意可得：，

解得：，

元，

答：豆沙粽的單價為元，肉粽的單價為元；

設豆沙粽優(yōu)惠后的單價為元，肉粽優(yōu)惠后的單價為元，

由題意可得：，

解得：，

答：豆沙粽優(yōu)惠后的單價為元，肉粽優(yōu)惠后的單價為元；

由題意可得：，

解得：或，

，

，

．

【解析】設豆沙粽的單價為元，肉粽的單價為元，由購買豆沙粽個，肉粽個，共付款元，列出方程可求解；

設豆沙粽優(yōu)惠后的單價為元，肉粽優(yōu)惠后的單價為元，由題意列出方程組，即可求解；

由，兩種包裝的銷售總額為元，列出方程，即可求解．

本題考查了一元二次方程的應用，二元一次方程組的應用，找到正確的數量關系是解題的關鍵．

16.【答案】解：設型垃圾桶單價為元，型垃圾桶單價為元，

由題意可得：，

解得：，

答：型垃圾桶單價為元，型垃圾桶單價為元；

設型垃圾桶個，

由題意可得：，

，

答：至少需購買型垃圾桶個．

【解析】設型垃圾桶單價為元，型垃圾桶單價為元，根據購買個型垃圾桶和個型垃圾桶共需要元，購買個型垃圾桶和個型垃圾桶共需要元，列出二元一次方程組，即可求解；

設型垃圾桶個，根據總費用不超過元，列出不等式，即可求解．

本題考查了一元一次不等式組的應用以及二元一次方程組的應用，解題的關鍵是：找準等量關系，正確列出二元一次方程組；根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式組．

17.【答案】證明：

，

無論取何值時，方程都有兩個不相等的實數根；

解：該方程的兩個實數根為，，

，，

，

，

，

整理得：，

解得：，，

的值為或．

【解析】要證明方程都有兩個不相等的實數根，即證明即可；

利用根與系數的關系得，，再將變形可得，將，的代入可得關于的一元二次方程，求解即可．

本題主要考查一元二次方程根的判別式的應用、根與系數的關系的關系，熟練掌握根的判別式與根與系數的關系是解題關鍵．一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．根與系數的關系：，是一元二次方程的兩根時，，．

18.【答案】

【解析】解：當時，設甲種蔬菜種植成本單位；元與其種植面積單位：的函數關系式為，

把，代入得：，

解得：，

，

當時，，

當時，，

解得：，

故答案為：；

當時，，

，

拋物線開口向上，

當時，有最小值，最小值為，

此時，，

當時，，

，

當時，有最小值為：，

，

當種植甲種蔬菜的種植面積為，乙種蔬菜的種植面積為時，最??；

由可知，甲、乙兩種蔬菜總種植成本為元，乙種蔬菜的種植成本為元，

則甲種蔬菜的種植成本為元，

由題意得：，

設，

整理得：，

解得：，不符合題意，舍去，

，

，

答：當為時，年的總種植成本為元．

當時，由待定系數法求出一次函數關系式，當時，，再求出當時的值，即可得出結論；

當時，，由二次函數的性質得當時，有最小值，最小值為，再求出當時，，由一次函數的性質